王曉方 王晶宇

(中國科學技術大學近代物理系，中國科學院基礎等離子體物理重點實驗室，合肥 230026)

(2010年1月12日收到;2010年3月29日收到修改稿)

菲涅耳波帶板應用于聚變靶的高分辨X射線成像分析*

王曉方?王晶宇

(中國科學技術大學近代物理系，中國科學院基礎等離子體物理重點實驗室，合肥 230026)

(2010年1月12日收到;2010年3月29日收到修改稿)

在慣性約束核聚變研究中，為了實現(xiàn)1 μm高空間分辨keV-X射線成像，文中發(fā)展了菲涅耳波帶板(FZP)直接成像的分析方法，并通過數(shù)值計算研究了FZP的成像特性.針對鈦Kα線(光子能量4.51 keV，波長0.275 nm)，提出了FZP參數(shù)，對制作技術的要求較低.研究了靶尺度的影響.FZP的有效視場使它能夠對數(shù)毫米大尺度靶實現(xiàn)高分辨成像.還研究了入射光的光譜帶寬對成像的影響.FZP的色差有助于單色成像，但是帶寬超過限度會導致像的反襯度降低.這些結果表明FZP應用于聚變點火靶的高空間分辨X射線成像的能力，也為應用提出了要求.

X射線成像，慣性約束核聚變，菲涅耳波帶板

PACS:52.70.La，52.57.－ z，42.79.Ci

1.引 言

激光驅動的慣性約束核聚變(ICF)，靶球向心壓縮的對稱性要求非常高［1］，不僅要求激光或X射線均勻輻照靶球，而且要減小或抑制壓縮過程中流體力學不穩(wěn)定性.例如，瑞利-泰勒不穩(wěn)定性會導致靶界面上材料混合，甚至靶殼破裂，破壞向心壓縮.為了監(jiān)測靶球壓縮的對稱性，研究流體力學不穩(wěn)定性及其增長，實驗研究常采用背光照相方法，即以光子能量在keV量級的X射線束作為探針光來透視高密度靶球，再對靶球進行高分辨成像.這些研究對X射線成像提出要求:1 mm尺度的視場范圍，1—2 μm的空間分辨能力.

常用的X射線成像技術有針孔成像［2］、反射鏡成像［3］、彎晶單色成像［4］.前者在技術上較容易實現(xiàn)，且視場大，但是空間分辨能力最好在5—10 μm，收集角也較?。?］.后兩者具有較大收集角，理論上空間分辨能力可以達到1 μm.但是，受元件表面加工的精度限制、掠入射像散等影響，實際獲得的視場為幾百微米，空間分辨能力為 2—3 μm［3—5］.因此，有必要發(fā)展其他高分辨成像技術，以獲得更高空間分辨能力，并兼顧較大視場.

隨著半導體微電子技術的發(fā)展，X射線光刻技術取得重大進展.利用光刻技術制作的菲涅耳波帶板(FZP)，是迄今在X射線波段獲得最高空間分辨的光學元件，空間分辨能力可達 10 nm 量級［6，7］，在X射線顯微術中具有重要地位.FZP成像采用正入射方式，操作調(diào)節(jié)較容易，也避免了掠入射導致的像散等不利因素.在X射線波段，半波帶材料對 X射線部分透射，這樣的FZP也稱為相位型FZP.

將FZP應用于ICF研究獲得高分辨X射線成像，近年來日本、法國開展了一些初步實驗.日本大阪大學激光工程研究所在背光照相實驗中，利用FZP直接成像方法，獲得了高空間分辨的 X射線像，分辨能力接近 2 μm［8］.國內(nèi)，中國工程物理研究院激光聚變研究中心也進行了成像的初步實驗研究［9］.

在X射線顯微術中，常采用同步輻射或單色X射線束照射樣品，樣品被成像的區(qū)域也小［6，7］.因此，過去的理論分析 FZP的 X射線成像，例如 FZP的空間分辨能力，常采用夫朗禾費近似的衍射理論［10，11］，無需考慮 FZP 的視場.FZP 應用于 ICF 研究，有別于 X射線顯微術.第一，光源的單色性不同.無論是背光照相還是激光等離子體自發(fā)射的成像，光源的單色性都受限制.入射到 FZP的X射線具有一定帶寬，或者是線譜與連續(xù)譜的混合.美國勞侖斯利弗摩爾實驗室曾利用單色的X射線激光與一定帶寬的連續(xù)譜等離子體X射線，實驗對照研究了FZP成像，觀察到后者照射導致FZP分辨能力和像反襯度下降［12］.第二，成像物體的幾何尺度不同.在ICF研究中，需要對1 mm甚至10 mm尺度的靶成像.對于這樣大尺度的物體，在分析 FZP的X射線成像特性時，不僅夫朗禾費近似，甚至菲涅耳近似也不適用.第三，分辨能力的要求不同.在 ICF研究中，在滿足大視場的同時，空間分辨能力要求在1—2 μm左右.考慮到這些因素，F(xiàn)ZP應用于ICF研究，不僅對FZP的參數(shù)，而且實驗條件如何影響FZP的成像，都需要做分析研究.

本文以ICF研究中對1 mm量級大尺度靶在keV能段的X射線成像實現(xiàn)1 μm高空間分辨為目標，發(fā)展了FZP成像分析的理論，通過數(shù)值計算系統(tǒng)地研究了FZP的成像特性.針對鈦 Kα線(光子能量4.51 keV，波長0.275 nm)，提出了 FZP的參數(shù).首次考慮了靶尺度的影響，分析了FZP成像的視場.還分析了入射光帶寬對成像的影響.有關方法和結果為FZP應用于大視場、高空間分辨X射線成像提供了理論基礎.

2.FZP成像原理與數(shù)值分析方法

X射線背光透視和FZP對靶直接成像的原理如圖1所示.X射線探針光束照射靶，F(xiàn)ZP對靶成的像記錄在像探測器上.為了研究靶的大小、光譜帶寬等參數(shù)對成像的影響，本文將靶視為非相干的擴展源，分析方法采用基本的惠更斯點擴展函數(shù)方法，即采用菲涅耳-基爾霍夫衍射公式［13］來分析點光源經(jīng)FZP后成像的強度分布.

設靶上P0(x0，y0，z0)點微分面元為 dS的點光源，在λ－λ+dλ范圍輻射的振幅為Aλ(P0)，經(jīng)過面積為 Σ，屏函數(shù)為的衍射屏(即 FZP)后，在觀察點P(x，y，z)的振幅由菲涅耳-基爾霍夫衍射公式給出［13］

式中積分區(qū)域 Σ 為 FZP，r，s分別為 P0點到 FZP表面某點以及 Q點到觀察點 P的距離.分別對應FZP法向與物方波矢，像方波矢的夾角.在實際應用中，物點P0和觀察點P都靠近光軸式簡化為

FZP的半波帶外半徑與主焦距(即FZP的一級衍射焦距)關系為

f為FZP的主焦距，與第一半波帶半徑r1關系為f=為入射 X射線的真空波長(本文中，除特別說明外，取λ=0.275 nm).本文取奇數(shù)次半波帶(含F(xiàn)ZP中央第一個半波帶)為透明，偶數(shù)次半波帶為FZP材料.這樣，F(xiàn)ZP對應的屏函數(shù)為

式中 d為 FZP的厚度，k=2π/λ，β，δ取自文獻［14］，與 FZP材料的復折射率關系為=1－δ+iβ.

圖1中，p，q分別表示光軸上FZP到靶，像平面的距離，即物距和像距.p，q，f滿足FZP的成像公式

(2)—(6)式為本文分析FZP成像的基本公式.

在菲涅耳近似下，對(2)式可做進一步簡化.按照圖1定義的坐標系，有:

式中s對q做展開

這樣，s只保留前兩項，得到

同理，對r做菲涅耳近似，得到

式中FT表示二維傅里葉變換運算.

如果是平行光正入射到 FZP，p→∞，q=f，在菲涅耳近似下，得到

當滿足菲涅耳近似條件時，由(7)式可以得到對靶幾何尺度的限制.因FZP的半徑較小，(7)式中略去坐標 (ζ，η)，有定義FZP成像的橫向放大倍數(shù)M=q/p.由物點與像點的幾何對應關系有取 λ =0.275 nm，若取M=10，p ～ f(f=178 mm)，那么要求靶的幾何尺度0.75 mm.因此，菲涅耳近似條件要求靶的幾何尺度不能超過這一范圍.在滿足這一條件下，對(8)或(9)式進行快速傅里葉變換的數(shù)值計算，就可以得到U(P).

當對更大尺度靶成像時，菲涅耳近似條件不再滿足，即(8)或者(9)式不再適用.在這種情況下，有必要對(2)式的積分直接進行數(shù)值計算，來獲得U(P).

3.結果與討論

為了使FZP成像達到1 μm的分辨能力，并考慮到 FZP 制作技術［9，15］，本文建議的 FZP 參數(shù)如下:FZP材料為金，厚度 d為900 nm，直徑 D為140 μm，總半波帶環(huán)數(shù) N為100，第一環(huán)外半徑 r1為7 μm，最外環(huán)半徑 rN為 70 μm，最外環(huán)寬度 Δrout為0.35 μm.對于波長為0.275 nm的X射線，F(xiàn)ZP主焦距f為178 mm.在 keV能段，由于半波帶材料對 X射線吸收小，要求FZP具有較大的厚度.本文選擇的FZP厚度可以使FZP成的像占入射光能量接近最高效率［11］.選擇的最外環(huán)寬度，綜合考慮了分辨能力和FZP制作的技術.盡管最外環(huán)越窄，F(xiàn)ZP的空間分辨能力越高，F(xiàn)ZP的收集角也相應大些，但是波帶板厚度與最外環(huán)寬度之比(即高寬比)相應增大，制作波帶板的技術難度和成本也增加［15］.采用本文的參數(shù)，高寬比約2.6，較容易制作出高質(zhì)量 FZP.從下面結果將看到，使用這樣的FZP已可使成像獲得1 μm的空間分辨能力.

3.1.FZP的空間分辨極限

空間分辨極限通常由瑞利判據(jù)給出.為此，數(shù)值計算了平行光正入射時FZP的成像.圖2給出q=f時FZP焦點位置像的強度分布.可以看到，平行光經(jīng)過FZP聚焦成很小光斑.從強度峰值到第一極小值的寬度為 0.43 μm，對應的半角寬度 Δθ1/2=2.4×10－6rad.因此，按照瑞利判據(jù)，該FZP的最小分辨角為2.4×10－6rad，相應的空間分辨極限為Δr=f·Δθ1/2=0.43 μm.

在夫朗禾費近似下，解析理論［10］給出，當 FZP的半波帶數(shù)N很大(N>200)時，F(xiàn)ZP的最小分辨角為 Δθ1th

/2=1.22λ/D，D為FZP直徑，空間分辨極限Δrth=1.22·Δrout，Δrout為 FZP 最外環(huán)半波帶的寬度.代入本文建議的 FZP有關參數(shù)，得到2.4 ×10－6rad，Δrth=0.43 μm，與前面的數(shù)值計算結果符合.這一結果說明，本文提出的FZP盡管只有100個半波帶，但是分辨極限不受影響.而且，前面已指出，在制作FZP時，選用較寬的半波帶外環(huán)參數(shù)即較小的高寬比，更容易制作出高質(zhì)量的FZP.

3.2.FZP成像的視場

FZP應用于ICF靶的X射線成像，靶尺度和相關物理問題都要求成像系統(tǒng)的視場達到1 mm甚至更大.因此，有必要考慮光源偏離光軸時對成像的影響.本文通過計算偏離光軸不同位置的點光源經(jīng)過FZP的成像，來獲得分辨率、視場等結果.這里假設點光源是發(fā)射波長為λ的單色光源.

實際測量中通常要求FZP成放大的像.作為典型情況，圖3給出放大倍數(shù)M=10的結果.其中，所取物距、像距分別為p=1.1f，q=11f.為了便于比較，圖3(a)中已將點光源離軸時的成像強度峰位置做了平移，使所有情況下像的強度峰值位于零點.從圖中可見，當點光源在軸上時，從像的強度峰值到第一極小位置的寬度為4.70 μm.對應的半角寬度Δθ1/2=2.4×10－6rad，與3.1節(jié)確定的最小分辨角一致.在當前情況下，p=1.1f，因此對應的空間分辨能力為 p·Δθ1/2=0.47 μm.這一結果已經(jīng)很接近該FZP的空間分辨極限(參見3.1節(jié)).

圖3 點光源位置對FZP成像的影響 (a)點光源沿x方向偏離光軸不同位置時，F(xiàn)ZP成像的強度分布，實線為源在光軸上，點線為偏離光軸5 mm，虛線為偏離光軸13 mm，虛點線為偏離光軸17 mm;(b)像的峰值強度和半高全寬度(FWHM)的變化

需要說明的是，空間分辨能力與放大倍數(shù)有關.對M=1，即1∶1成像的計算表明，空間分辨能力為0.86 μm.對于放大成像，空間分辨能力介于M=1情況和3.1節(jié)的分辨極限(相當于放大倍數(shù)無窮大)之間.因此，前面M=10情況確定的分辨能力可以代表實際測量中放大成像的典型情況.

從圖3(a)可以注意到，當點光源偏離光軸一定程度后，像變得發(fā)散，即隨著像峰值強度降低，像的翼部出現(xiàn)增強.在這種情況下，可通過比較像的峰值強度來確認成像質(zhì)量.通常定義成像質(zhì)量保證的允許范圍是:與衍射極限情況(即點光源在光軸上時)相比，像的峰值強度下降不超過20%［13］.另外，圖3(a)也顯示，隨著像的翼部增強，對應衍射極限強度分布的第一極小位置消失.在這種情況下，盡管空間分辨能力仍可借助瑞利判據(jù)給出［13］，但為簡潔，可采用斯帕羅判據(jù)，即近似用像強度的半高全寬度(FWHM)對應的物方寬度來表征空間分辨能力(在衍射極限情況下，瑞利分辨極限與斯帕羅分辨極限之比約為1.2).從圖3(a)和(b)可見，當點光源偏離光軸不大，例如當偏離達5 mm時，像的峰值強度和FWHM都幾乎不變，說明成像質(zhì)量和空間分辨能力都幾乎沒受影響.當點光源偏離光軸13 mm時，像的峰值強度下降到點光源在軸上時的80%.相應地，像的 FWHM從軸上時的3.95 μm增加到 4.27 μm，增加不到 10%.因此，可以確認該FZP成像的有效視場相對于光軸為 ±13 mm，即有效視場范圍為26 mm，對應的視角為7.6°.在這一有效視場內(nèi)，成像的空間分辨能力改變不大，仍接近分辨極限.對于慣性約束核聚變點火研究使用的靶［1］，其尺度約10 mm.因此，該 FZP的有效視場范圍能夠保證對這樣大尺度聚變點火靶的高空間分辨成像.

當點光源更大地偏離光軸時，像的峰值強度進一步下降.例如圖3(a)中點光源偏離光軸17 mm時，像的峰值強度已經(jīng)下降到點光源在軸上時的51%，像的翼部也明顯增強.顯然，這會造成像的反襯度減小.圖3(b)表明，在點光源偏離光軸比較大時，隨著像的峰值強度下降，像的FWHM也快速增加.反襯度減小和 FWHM增加都會造成像質(zhì)量降低.

3.3.FZP的焦深

FZP的焦深定義為偏離像平面位置的一定范圍內(nèi)，光軸上的強度下降不超過20%.對于平面波入射，F(xiàn)ZP 的焦深 ΔZ≈±2(Δrout)2/λ［16］.本文的FZP 最外環(huán)較寬，代入有關數(shù)據(jù)得到ΔZ=±0.89 mm，即FZP具有較大的焦深范圍2|ΔZ|=1.78 mm.這一范圍與本文的數(shù)值計算結果相符.在實際測量中，大的焦深范圍使得靶或FZP的放置容易滿足要求.

這一參數(shù)也決定了在實際測量中像探測器定位精度的要求.由成像公式(6)，可以得到≈ q2/p2=M2.當 δp≈ ΔZ，那么 δq≈ M2ΔZ，由此可估算出探測器允許的放置范圍為q±δq.如果取M=10，則δq≈9 cm.本文還做了數(shù)值計算，定量給出對于M=10，像的峰值強度下降20%對應的像距范圍是q=11f－12.8 cm到q=11f+9.3 cm，與上面估算也較好符合.在FZP成像的實際測量中，很容易將像探測器放置在這一范圍內(nèi).

3.4.入射光的單色性

當入射光非單色，而具有一定光譜帶寬，例如為Kα單色光與連續(xù)譜的混合，或為 K-殼層線輻射的組合，對FZP成像如何影響，本文也進行了模擬.假設入射光為多色光，中心波長為λ=0.275 nm，帶寬為 λ±Δλ/2，在此范圍譜密度不變.下面分析帶寬參數(shù) Δλ/λ取不同值時，位于軸上的點光源經(jīng)FZP成像的情況.

圖4給出放大倍數(shù)M=10，相同能量的單色光與帶寬參數(shù)Δλ/λ取不同值的多色光分別入射時，F(xiàn)ZP成像的強度分布.結果顯示帶寬增加到一定值后，像的峰值強度下降，翼部增強，從而減小像的反襯度.圖4(b)給出像的峰值強度和FWHM隨帶寬參數(shù)的變化.相對于單色光成像，多色光的帶寬參數(shù)增加到 Δλ/λ=1.75%時，像的峰值強度降低到80%.而相應地，像的 FWHM從3.95 μm僅增加到4.00 μm，幾乎沒有改變.這一結果說明，入射光帶寬對成像的影響主要是通過減小反襯度來降低成像質(zhì)量.因此，采用多色光入射，如果帶寬參數(shù)小于1.75%，F(xiàn)ZP的成像質(zhì)量能夠得到保證.

同等能量下單色光和多色光入射，隨著后者帶寬增加造成FZP成像的峰值強度降低，這實際上是FZP的色差性質(zhì)決定的.從波帶板成像公式(6)和焦距公式f=r21/λ知道，對于給定物距和像距，只有波長λ及其附近的光才能成像到q=q(λ)這一像距位置.對于其他波長，將成像到其他位置，因此其他波長的像在這一像距位置是發(fā)散的.本文的數(shù)值計算給出，在入射光能量相等的情況下，對于某一單色光，當其波長偏離λ約0.5%時，該波長成像的峰值強度就下降到波長為 λ時的80%.而前面得到，對于多色光入射，像峰值強度下降到80%對應的帶寬參數(shù)Δλ/λ=1.75%.這說明，對于多色光成像，對像的貢獻來自于波長λ及其附近的光.因此，在多色光入射情況下，F(xiàn)ZP的色差使得探測器接收的像實質(zhì)上是λ及其附近波長的貢獻，即FZP具有較好的單色成像能力.

4.結 論

本文發(fā)展了FZP成像的分析方法，考慮了靶尺度較大、菲涅耳近似條件不能滿足的情況.以Ti-Kα線為中心波長，系統(tǒng)地研究了FZP的X射線成像特性.提出的FZP最外環(huán)寬度為0.35 μm，技術上容易制作出高質(zhì)量FZP元件.該FZP成像的空間分辨極限達到0.43 μm.分析結果表明，對于10倍放大成像，在FZP的26 mm有效視場或7.6°視角內(nèi)，成像的空間分辨能力都接近分辨極限.這樣大的有效視場使得FZP可以對10 mm尺度核聚變點火靶實現(xiàn)高空間分辨成像.當入射光是連續(xù)譜但是帶寬參數(shù)小于1.75%時，F(xiàn)ZP仍然可以實現(xiàn)高質(zhì)量成像.而FZP的色差效應使其成像具有較好的單色性.本文的有關方法和結論對FZP應用于聚變靶、激光等離子體或其他X射線源(例如Kα源)的高空間分辨成像具有指導意義.

魏來參加了部分工作.工作中還與田揚超、董建軍、曹磊峰等進行了討論.在此一并致謝.

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PACS:52.70.La，52.57.－ z，42.79.Ci

Analysis of high-resolution X-ray imaging of an inertialconfinement-fusion target by using a Fresnel zone plate*

Wang Xiao-Fang?Wang Jing-Yu
(Key Laboratory of Basic Plasma Physics of Chinese Acadmy of Sciences，Department of Modern Physics，University of Science and Technology of China，Hefei 230026，China)
(Received 12 January 2010;revised manuscript received 29 March 2010)

Aiming at 1 μm high resolution in imaging an inertial confinement fusion(ICF)target，a method is developed for analyzing the direct imaging by a Fresnel zone plate(FZP)，and numerical calculations are carried out to study the FZP imaging characteristics in the keV X-ray range.For the TiKαline(photon energy 4.51 keV，wavelength 0.275 nm)，the FZP parameters are suggested，for which the technical requirement of fabricating the outmost zone is relatively low.The influence of the target size on the imaging is studied for the first time.It is shown that the FZP has a large effective field of view and the image quality can be guaranteed even for a target of several millimeters.The influence of the spectral bandwidth of a polychromatic incident light on the imaging is also studied.Monochromatic imaging can be obtained due to the achromatic property of the FZP.However，if the bandwidth is larger than a certain limit，the image contrast will be degraded.These results indicate the feasibility of applying an FZP in high-resolution X-ray imaging of an ICF ignition target and put forward the requirements as well.

X-ray imaging，inertial confinement fusion，F(xiàn)resnel zone plate

*國家高技術研究發(fā)展計劃 (批準號:2008AA8041206)和中國科學院知識創(chuàng)新工程(批準號:KJCXZ-YW-N28，KJCX2-YW-N36)資助的課題.

*Project supported by the National High Technology Research and Development Program of China(Grant No.2008AA8041206)and the Program of Knowledge Innovation of Chinese Academy of Sciences(Grant Nos.KJCX2-YW-N28，KJCX2-YW-N36).