黃仙山 劉海蓮2 羊亞平 石云龍

1)(安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理學(xué)院，馬鞍山 243000)

2)(山西大同大學(xué)固體物理研究所，大同 037009)

3)(同濟(jì)大學(xué)物理系，上海 200092)

(2010年3月14日收到;2010年5月4日收到修改稿)

運(yùn)用動(dòng)態(tài)Lorentz庫(kù)實(shí)現(xiàn)對(duì)激發(fā)態(tài)原子動(dòng)力學(xué)特性的調(diào)控*

黃仙山1)劉海蓮1)2羊亞平3)石云龍2)?

1)(安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理學(xué)院，馬鞍山 243000)

2)(山西大同大學(xué)固體物理研究所，大同 037009)

3)(同濟(jì)大學(xué)物理系，上海 200092)

(2010年3月14日收到;2010年5月4日收到修改稿)

從理論上討論了運(yùn)用動(dòng)態(tài)的Lorentz庫(kù)環(huán)境實(shí)現(xiàn)對(duì)處于激發(fā)態(tài)的兩能級(jí)原子演化過(guò)程的調(diào)控.研究發(fā)現(xiàn)，Lorentz庫(kù)環(huán)境的變化導(dǎo)致腔內(nèi)電磁模式與腔外電磁模式之間相互作用，從而產(chǎn)生電磁模式密度重新分配;當(dāng)庫(kù)環(huán)境的變化頻率和原子與環(huán)境之間交換能量的過(guò)程保持一致時(shí)可以實(shí)現(xiàn)相對(duì)穩(wěn)定的相干性演化，衰減效應(yīng)得到明顯的抑制.

動(dòng)態(tài)庫(kù)，激發(fā)態(tài)原子，量子調(diào)控

PACS:42.50.Pq，32.80.Qk

1.引 言

量子世界帶給我們最迷人的特性就是微觀世界的量子相干性，這種量子世界最本質(zhì)的特性使得我們看到了巨大的應(yīng)用前景.利用操縱線性疊加態(tài)進(jìn)行并行計(jì)算的量子計(jì)算機(jī)就是其中最具誘惑力的代表.這些應(yīng)用的前提就是獲得可以操縱或保持量子態(tài)的相干性.然而，現(xiàn)實(shí)中的量子系統(tǒng)并非孤立的，必然要和環(huán)境發(fā)生相互作用，由于受到環(huán)境中巨大數(shù)量自由度的影響，量子系統(tǒng)與環(huán)境之間相互作用的結(jié)果是:量子系統(tǒng)原本的相干性將會(huì)受到破壞，出現(xiàn)不可逆的量子退相干現(xiàn)象，同時(shí)量子系統(tǒng)能量發(fā)生耗散(系統(tǒng)與環(huán)境之間進(jìn)行了能量交換).

處于激發(fā)態(tài)的原子與真空環(huán)境中巨大的電磁模式之間的相互耦合，就是導(dǎo)致原子自發(fā)輻射現(xiàn)象的產(chǎn)生，原子系統(tǒng)相干性被破壞的原因.量子退相干出現(xiàn)的本質(zhì)就是量子系統(tǒng)與環(huán)境之間發(fā)生了不可逆的耦合，使得量子系統(tǒng)由相干的疊加態(tài)變?yōu)橥讼喔傻幕旌蠎B(tài).量子系統(tǒng)本身的“脆弱性”和與環(huán)境之間耦合的必然性，導(dǎo)致了在運(yùn)用量子領(lǐng)域控制量子系統(tǒng)的相干性成了一個(gè)重要的研究方向.

由于微觀量子系統(tǒng)存在波動(dòng)性、隨機(jī)性等特殊性質(zhì)，經(jīng)典的、成熟的控制理論和方法不能直接運(yùn)用于量子系統(tǒng).雖然歷經(jīng)二十多年的努力并取得一定進(jìn)展，但尚缺乏統(tǒng)一方案和做法，量子控制理論［1—4］還處于一個(gè)迅速發(fā)展的過(guò)程.目前文獻(xiàn)中提出的關(guān)于量子控制的方法和理論很多，例如，被廣泛應(yīng)用于控制粒子運(yùn)動(dòng)，改變化學(xué)反應(yīng)的量子系統(tǒng)開(kāi)環(huán)控制［5］、基于連續(xù)測(cè)量的量子反饋控制［2］，以及如何提高系統(tǒng)控制性能的Robust控制等等均在不同領(lǐng)域引起了人們極大的興趣和關(guān)注.然而，量子系統(tǒng)與周圍環(huán)境之間的相互耦合是量子態(tài)進(jìn)行演化的動(dòng)力，也是使得量子系統(tǒng)由線性相干的疊加態(tài)逐漸演變?yōu)橄喔尚韵У幕旌蛻B(tài)的原因所在.我們?cè)O(shè)想通過(guò)實(shí)時(shí)操縱與量子系統(tǒng)耦合的庫(kù)環(huán)境，一定會(huì)對(duì)量子態(tài)的演化產(chǎn)生影響.

在量子信息學(xué)領(lǐng)域，腔量子電動(dòng)力學(xué)方案一直是人們所關(guān)注的重點(diǎn)之一［6—11］.近年來(lái)，隨著光學(xué)微腔制備技術(shù)的提高，為原子微腔方案創(chuàng)造了實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)［12，13］.本文將理論研究通過(guò)改變一個(gè)微腔所產(chǎn)生的Lorentz庫(kù)環(huán)境的半寬度γ和中心共振頻率ωc實(shí)現(xiàn)對(duì)一個(gè)初態(tài)處于激發(fā)態(tài)的兩能級(jí)原子系統(tǒng)演化的調(diào)控.研究發(fā)現(xiàn)，庫(kù)環(huán)境的變化必然導(dǎo)致腔內(nèi)模式與腔外模式之間相互作用，從而產(chǎn)生電磁模式密度重新分配;當(dāng)庫(kù)環(huán)境的變化頻率和原子系統(tǒng)與環(huán)境之間交換能量的過(guò)程保持一致時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)相對(duì)穩(wěn)定的布居振蕩，否則系統(tǒng)演化的周期將被破壞而逐漸失去相干性.

2.基本理論

考慮一個(gè)處于腔中的初態(tài)為激發(fā)的兩能級(jí)原子，在偶極近似和旋波近似下，系統(tǒng)的哈密頓量可以寫成以下形式:

式中ω1為原子共振躍遷頻率，k表示電磁模的動(dòng)量和極化表示輻射場(chǎng)中第k個(gè)模式的產(chǎn)生算符(湮滅算符)d1(ud1)為激發(fā)態(tài)能級(jí)到基態(tài)之間的躍遷偶極矩d1的大小(方向單位矢量)，V0是量子化體積，ek表示真空模k兩個(gè)偏振方向的單位矢量，ωk表示輻射光子的頻率，ε0為真空介電常數(shù).

任意時(shí)刻t 系統(tǒng)狀態(tài)矢量可以寫成

由Schr?dinger方程可以得到系統(tǒng)演化的動(dòng)力學(xué)方程為

對(duì)一般的腔而言，其光子的態(tài)密度為L(zhǎng)orentz型的分布，稱為L(zhǎng)orentz型光子庫(kù)

其中ωc為腔的共振頻率;γ為 Lorentz型光子庫(kù)的半寬度，表征了能量由腔內(nèi)向外泄漏的快慢.原子系統(tǒng)與腔環(huán)境之間的相互作用，不僅體現(xiàn)在腔中每個(gè)電磁模式(量子化的一個(gè)個(gè)諧振子)與原子系統(tǒng)之間的相互作用，同時(shí)，腔中的電磁模式與外界環(huán)境之間也不是孤立的，它們之間也存在耦合，逐漸將腔中的能量傳播出去.原子與腔環(huán)境系統(tǒng)的特性取決于gω與γ之間的關(guān)系(為了方便考慮，本文中均取gω=1).可以設(shè)想，在實(shí)驗(yàn)中通過(guò)實(shí)時(shí)改變微腔的腔長(zhǎng)和反射面的透射率，分別實(shí)現(xiàn)Lorentz型光子庫(kù)的諧振頻率ωc(t)和半寬度γ(t)的變化，從而產(chǎn)生動(dòng)態(tài)的庫(kù)環(huán)境.下面我們將討論激發(fā)態(tài)原子動(dòng)力學(xué)特性受動(dòng)態(tài)Lorentz環(huán)境的影響.

3.運(yùn)用動(dòng)態(tài) Lorentz庫(kù)實(shí)現(xiàn)對(duì)激發(fā)態(tài)原子動(dòng)力學(xué)特性的調(diào)控

激發(fā)態(tài)原子在動(dòng)態(tài)Lorentz庫(kù)環(huán)境中的演化，首先考慮庫(kù)中心諧振頻率ωc受到單次矩形脈沖調(diào)制的情形.由(7)式原子所處的動(dòng)態(tài)庫(kù)環(huán)境可以寫成

圖1給出了庫(kù)的中心諧振頻率ωc(t)受到同一時(shí)刻起點(diǎn)、不同時(shí)間段的單次矩形脈沖調(diào)制的結(jié)果.在調(diào)制的時(shí)間段內(nèi)，原子的共振躍遷頻率與庫(kù)的中心諧振頻率是失諧的;開(kāi)始沒(méi)有調(diào)制時(shí)間內(nèi)，以及調(diào)制以后時(shí)間內(nèi)原子與庫(kù)的中心頻率之間是共振的.

圖1中實(shí)線給出的是沒(méi)有調(diào)制的、原子與庫(kù)的中心頻率之間始終共振的演化.可以看出，單次失諧脈沖調(diào)制對(duì)于系統(tǒng)原來(lái)相干性演化存在一定的破壞性，原子系統(tǒng)在與庫(kù)之間相互作用開(kāi)始演化，當(dāng)調(diào)制脈沖出現(xiàn)，打斷了原子與原來(lái)庫(kù)環(huán)境之間建立的相互作用，同時(shí)與脈沖提供的新的庫(kù)環(huán)境相互作用繼續(xù)演化.隨著調(diào)制脈沖的時(shí)間增加，調(diào)制脈沖變化帶給系統(tǒng)相干性演化的破壞性作用也在逐漸增加.

我們考察了Lorentz庫(kù)的半寬度受到單次矩形脈沖調(diào)制的情形.由(7)式，動(dòng)態(tài)庫(kù)環(huán)境的形式可以寫成

圖1 單次矩形脈沖調(diào)制Lorentz庫(kù)中心頻率 ωc對(duì)上能級(jí)布居數(shù)演化的影響 內(nèi)插圖為局部放大.γ=0.2，原子共振躍遷頻率ω1=100β;庫(kù)的中心諧振頻率ωc=100β，調(diào)制時(shí)間段變?yōu)棣豤=102β;t為相對(duì)時(shí)間，以β為單位;P為原子處于上能級(jí)布居數(shù)，β為無(wú)單位相對(duì)量，下同.

其中庫(kù)的半寬度γ(t)受到同一時(shí)刻起點(diǎn)、不同時(shí)間段單次矩形脈沖調(diào)制.在沒(méi)有調(diào)制時(shí)間，γ=0.2，腔的品質(zhì)因子較大，原子與庫(kù)之間處于強(qiáng)相互作用，腔與兩能級(jí)原子之間的耦合主要體現(xiàn)在原子共振頻率附近的模式與原子之間的相互作用，系統(tǒng)演化的過(guò)程相干性表現(xiàn)比較突出，同時(shí)能量通過(guò)腔向外泄漏的速度會(huì)很慢，原子系統(tǒng)的演化出現(xiàn)具有衰減特征的可回復(fù)的性質(zhì);在調(diào)制時(shí)間段γ=2，品質(zhì)因子下降，γ的變寬，諧振頻率附近模式態(tài)密度下降，原子與庫(kù)之間是弱相互作用特性，原子與腔之間的作用體現(xiàn)為原子與包括共振模式之外的越來(lái)越多的模式之間耦合，能量也會(huì)很快泄漏到腔外，將會(huì)導(dǎo)致原子系統(tǒng)相干性失去的速度變快.從圖2可以看出，隨著調(diào)制脈沖時(shí)間的增加，調(diào)制時(shí)間內(nèi)原子與庫(kù)之間的弱相互作用越長(zhǎng)，能量泄漏到腔外加快，導(dǎo)致系統(tǒng)相干性被破壞速度的加劇.

圖2 單次矩形脈沖調(diào)制Lorentz庫(kù)半寬度γ對(duì)上能級(jí)布居數(shù)演化的影響 原子共振躍遷頻率ω1=100β;庫(kù)的中心諧振頻率ωc=100β，無(wú)調(diào)制時(shí)間γ=0.2，調(diào)制時(shí)間段γ=2

圖3考慮了周期性矩形脈沖調(diào)制Lorentz庫(kù)中心諧振頻率ωc對(duì)于激發(fā)態(tài)原子演化的影響.處于腔中的原子在與環(huán)境相互作用的過(guò)程中發(fā)射和吸收光子，形成了布居數(shù)在激發(fā)能級(jí)與基態(tài)之間的準(zhǔn)周期性的振蕩行為.周期性的脈沖調(diào)制，通過(guò)周期性改變與系統(tǒng)耦合作用的環(huán)境.環(huán)境的改變導(dǎo)致了原子與共振躍遷頻率附近電磁模式的作用強(qiáng)度，從而使得系統(tǒng)原來(lái)的振蕩周期發(fā)生改變，并且在脈沖的周期性調(diào)制下逐步形成系統(tǒng)吸收和發(fā)射新的周期.調(diào)整調(diào)制周期，使得每次脈沖調(diào)制的開(kāi)始與系統(tǒng)開(kāi)始吸收光子發(fā)生回復(fù)的過(guò)程保持同步，將會(huì)導(dǎo)致明顯的衰減抑制，系統(tǒng)將進(jìn)入一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的相干演化過(guò)程.周期性的調(diào)制正如給原子系統(tǒng)施加一個(gè)周期性的外力，當(dāng)外力的作用頻率與系統(tǒng)演化的頻率保持相對(duì)一致的情況下，就會(huì)形成穩(wěn)定的類似“共振”的行為.當(dāng)然，無(wú)論怎樣的周期，由于失諧所帶來(lái)的衰減抑制效應(yīng)在演化的過(guò)程中還是有明顯的體現(xiàn)，如圖3(a)所示.圖 3(b)中給出了同周期完全相反脈沖調(diào)制的結(jié)果，由于調(diào)制時(shí)間和非調(diào)制時(shí)間，原子感受到的環(huán)境不同，出現(xiàn)振蕩幅度交替變化的現(xiàn)象.

圖 3 矩形連續(xù)脈沖調(diào)制Lorentz庫(kù)中心頻率對(duì)上能級(jí)布居數(shù)演化的影響 γ=0.2，原子共振躍遷頻率ω1=100β;圖中虛線為調(diào)制脈沖的示意圖，實(shí)線為沒(méi)有受到調(diào)制的演化.(a)同調(diào)制寬度，不同周期的脈沖調(diào)制，脈沖作用時(shí)間庫(kù)中心頻率ωc=102β，非脈沖時(shí)間庫(kù)中心頻率ωc=100β;(b)同調(diào)制寬度、同周期完全相反兩個(gè)連續(xù)脈沖對(duì)相對(duì)穩(wěn)定布居數(shù)演化的調(diào)控，即庫(kù)中心頻率ωc=102β，ωc=100β變化順序相反

4.結(jié) 論

本文從理論上討論了通過(guò)操縱一個(gè)動(dòng)態(tài)的Lorentz庫(kù)環(huán)境實(shí)現(xiàn)對(duì)一個(gè)初態(tài)處于激發(fā)態(tài)的兩能級(jí)原子系統(tǒng)演化的量子調(diào)控.研究發(fā)現(xiàn)，單次矩形脈沖調(diào)制Lorentz庫(kù)中心頻率ωc或半寬度γ的結(jié)果在一定程度上都對(duì)系統(tǒng)原來(lái)相干性演化存在著破壞性.原子與庫(kù)之間相互作用開(kāi)始演化，調(diào)制脈沖的出現(xiàn)，打斷了原子與原來(lái)庫(kù)環(huán)境之間建立的相互作用，同時(shí)與脈沖調(diào)制時(shí)間所提供的新的庫(kù)環(huán)境相互作用繼續(xù)演化.隨著調(diào)制時(shí)間的增加，庫(kù)環(huán)境的變化帶給系統(tǒng)相干性演化的破壞性作用在逐漸增加.然而，針對(duì)Lorentz庫(kù)的中心頻率ωc實(shí)施連續(xù)矩形脈沖調(diào)制，調(diào)整調(diào)制周期，當(dāng)庫(kù)環(huán)境的連續(xù)改變和原子系統(tǒng)與環(huán)境交換能量的過(guò)程保持一致時(shí)就可以達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定的布居振蕩，否則系統(tǒng)演化的周期將被破壞而逐漸失去相干性.原子所處的庫(kù)環(huán)境的變化必然導(dǎo)致腔內(nèi)模式與腔外模式之間相互作用，從而產(chǎn)生電磁模式密度重新分配;通過(guò)調(diào)控量子系統(tǒng)周圍的庫(kù)環(huán)境，實(shí)現(xiàn)對(duì)量子系統(tǒng)相干性演化的操縱會(huì)為量子器件的研制以及量子信息廣泛的應(yīng)用提供重要的理論參考.

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PACS:42.50.Pq，32.80.Qk

Control of the evolution of an excited atom by using the dynam ic Lorentzian reservior*

Huang Xian-Shan1)Liu Hai-Lian1)2)Yang Ya-Ping3)Shi Yun-Long2)?
1)(School of Mathematics and Physics，Anhui University of Technology，Ma’anshan 243000，China)
2)(Institute of Solid State Physics，Shanxi Datong University，Datong 037009，China)
3)(Physics Department，Tongji University，Shanghai 200092，China)
(Received 14 March 2010;revised manuscript received 4 May 2010)

We theoretically study the use of a dynamic Lorentzian reservoir environment to realize contro of the evolution of an excited two-level atom.It is found that the change of Lorentzian reservoir leads to the interaction between the electromagnetic modes in the cavity and those outside，resulting in the redistribution of the electromagneticmodes density.When the frequency of reservoir change is consistent with the process of exchange of energy between the atom and environment，a relatively stable coherent evolution can be obtained，and the decay is obviously inhibited.

dynamic reservoir，excited atom，quantum control

*安徽高校省級(jí)自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):KJ2010A335)、安徽工業(yè)大學(xué)青年科研基金(批準(zhǔn)號(hào):QZ200824)和國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):41075027，10904032)資助的課題.

?通訊聯(lián)系人.E-mail:shi_yunlong@yahoo.com.cn

*Project supported by the Key Program of the Natural Science Foundation of the Higher Education Institutions of Anhui Province，China(Grant No.KJ2010A335)，the Scientific Research Fund for Young Scholars of Anhui University of technology，China(Grant No.QZ200824)and the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.41075027，10904032).

?Corresponding author.E-mail:shi_yunlong@yahoo.com.cn