陳學文 方禎云 張家偉 鐘 濤 涂衛(wèi)星

1)(重慶大學理論物理研究所，重慶 400030)

2)(重慶科技學院數(shù)理系，重慶 401331)

(2010年1月8日收到;2010年4月16日收到修改稿)

標準模型中兩類中性玻色子混合圈鏈圖傳播子的重整化及其e+e－→μ+μ－反應截面*

陳學文1)2)?方禎云1)張家偉1)鐘 濤1)涂衛(wèi)星1)

1)(重慶大學理論物理研究所，重慶 400030)

2)(重慶科技學院數(shù)理系，重慶 401331)

(2010年1月8日收到;2010年4月16日收到修改稿)

采用電弱統(tǒng)一標準模型，對光子γ和中間玻色子Z0混合圈鏈圖傳播子的構架方式及其重整化問題作了詳細分析與討論，并完成了有關解析計算，獲得了由參與電弱相互作用的各種混合圈構成的γ和Z0的重整化鏈圖傳播子的解析計算結果.此外，我們還將此結果應用于高能物理中備受關注的一類輕子反應e+e－→μ+μ－中，獲得了在γ和Z0所構架出的重整化混合圈鏈圖傳播中e+e－→μ+μ－反應截面的解析計算結果，并將本文所獲得的這一理論計算結果與實驗觀測值作了對比分析，發(fā)現(xiàn)本文理論計算結果與實驗觀測值符合非常好，并由此也獲得了有關輻射修正的重要信息.本文研究結果也可為探討一般復雜傳播子的理論研究與應用提供某些參考.

標準模型，鏈圖傳播子，重整化，輻射修正

PACS:11.10.－ z，11.15.－ q，11.25.Db

1.引 言

電弱統(tǒng)一標準模型(SM)是上世紀粒子物理學中最具影響的唯象理論之一［1］，在描述電磁與弱相互作用中取得了巨大成功，其理論預言的新物理已被許多實驗證實.自SM提出以來，國際上出現(xiàn)許多相關理論研究工作，其中涉及精確檢驗標準模型的理論計算工作一直備受學術界關注，而這些理論計算工作本身也對SM理論的發(fā)展起到了十分重要的推動作用.在涉及理論計算的研究工作中，采用量子場論微擾理論作物理計算是其中重要研究工作之一.由于量子場論微擾計算基于逐階進行，當涉及高階(圈圖)計算時，將會出現(xiàn)發(fā)散困難，需要采用重整化技術有效分離掉非物理的發(fā)散量而保留物理的重整化有限量.然而，做這樣的逐階重整化計算不但十分困難，而且即使能夠完成所有各高階的重整化計算，也無法獲得涉及所有無窮高階(各種圈圖)的具有物理意義的計算結果.這是因為，即使能夠獲得這一計算結果但也仍將會是一個發(fā)散量［2］.這表明目前量子場論仍存在某些不夠完善之處，有可能是某種正確理論的漸近表述［3］.雖然如此，在量子場論中也并非不能考慮涉及部分無窮高階(圈圖)的重整化計算問題.因為按Dyson的重整化思想［2］而建立的無窮高階鏈圖傳播子理論，不但仍可滿足重整化［4］，而且重整化后的計算結果仍可以是一個有限量［5］.這無疑表明了在量子場論微擾理論計算中，仍可以考慮這樣一種較為特殊的涉及無窮高階(圈圖)的重整化計算模式，即重整化鏈圖傳播子計算模式.這是因為，在量子場論中若考慮(采用)各種重整化鏈圖傳播子作計算仍具有理論上的合理性與正確性以及計算上的精確描述性［6］.

重整化有限量的貢獻(輻射修正)通常都十分微小，但對物理問題的深入研究卻十分重要［7—12］.因而能考慮到無窮高階鏈圖修正與僅考慮有限高階的圈圖修正相比，無疑將會更加精細地反映輻射修正的物理效應，進而也會更有利于對物理問題的深入研究.在SM中，由于參與相互作用的粒子間會發(fā)生多種不同物理過程的相互作用，因而要考慮由各種不同物理過程圈圖構成的鏈圖傳播子的構架問題是極其復雜的，致使目前完成的關于SM的大量理論計算工作多屬于低階樹圖近似計算，或有限高階的圈圖輻射修正計算，而未涉及無窮高階混合圈鏈圖輻射修正問題.

在本文中，我們將在SM中采用鏈圖傳播子這一計算模式，對模型中的規(guī)范場與費米場相互作用下所涉及到的光子γ和中間玻色子Z0參與的相互作用部分作相關研究.詳細分析并合理解決了由各種不同物理過程混合圈圖構成的γ和Z0混合圈鏈圖傳播子的構架方式及其重整化問題，給出了一種簡潔有效的處理方法，并最終解析計算出這類十分復雜的混合圈鏈圖傳播子函數(shù)進而，我們又將此結果應用到高能物理中備受關注的一類輕子反應 e+e－→μ+μ－中，獲得了γ和Z0重整化鏈圖傳播下的反應截面，并將此 結 果 與 OPAL collaboration［13］， SLC［14］，Tasso collaboration［15］，Mark［16］，JADE collaboration［17］，L3 collaboration［18］，以及 LEP(ALEPH)［19］等一系列實驗觀測結果作了對比.研究表明，本文所考慮的這種重整化混合圈鏈圖傳播子給出的理論計算結果與實驗結果符合很好.

2.SM模型中的γ和Z0混合圈鏈圖傳播子構架方式及解析結果

在SM中，涉及γ和Z0與費米場相互作用拉氏量為［20］

由相互作用拉氏量可知，光子可與三種輕子(e，μ，τ)和六種夸克(u，c，d，s，t，b)發(fā)生相互作用;中間玻色子除與三種輕子和六種夸克發(fā)生相互作用外，還可與三種中微子(νe，νμ，ντ)發(fā)生弱相互作用.由于t，b夸克的質量很重，因此對光子和中間玻色子圈圖貢獻的作用十分微小，因而在考慮光子和中間玻色子圈圖修正時可以不考慮 t和b帶來的修正.

(1a)式中是用夸克的弱作用本征態(tài)來描述的ψd′，ψs′，夸克弱作用本征態(tài)與其質量本征態(tài) ψd，ψs滿足CKM矩陣變換關系［20］

以上兩式中，e為電磁相互作用耦合常數(shù)，ψl(x)與為輕子(反輕子)旋量場與共軛旋量場算子夸克(反夸克)旋量場與共軛旋量場算子，Aλ(x)為光子矢量場算子，Zλ為中間玻色子場算子，θC為Cabibbo角(本文中取 sinθC=0.23)，θW為溫伯格角，其定義為是輕子、夸克和中微子的矢量和軸矢量中性流耦合常數(shù)，在SM中的值如表1所示.

表 1 在標準模型中的值

表 1 在標準模型中的值

f Qf cf A cf V e，μ，τ － 1/2 － 1/2 － 1/2+2sin2θW u，c，t 2/3 1/2 1/2 － 4/3sin2θW d，s，b － 1/3 － 1/2 － 1/2+2/3sin2θW νe，νμ，ντ 0 1/2 1/2

規(guī)范場(γ，Z0)參與多種相互作用，包括與輕子和夸克發(fā)生相互作用.此外，Z0還與中微子場發(fā)生相互作用.因此在SM中γγ光子真空極化共有如圖1(a)所示的7種“圈圖”，而對于 γZ0和 Z0γ真空極化也同樣共有如圖1(b)所示的7種不同物理過程的“圈圖”，由于Z0還與中微子場發(fā)生耦合，因而Z0圈圖除圖1(a)所示的物理過程外，還有圖1(c)所示的3種物理過程所呈現(xiàn)的自能圈圖.

由上述分析可知，在電弱統(tǒng)一理論中γ，Z0共出現(xiàn)多達31種不同物理過程的真空極化圈圖，因而γ和Z0混合圈鏈圖傳播子必然包含十分復雜的內(nèi)部相互作用.我們經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，對于γ和Z0混合圈鏈圖傳播子，其構成可由單純的光子γ鏈圖傳播子中僅含有各種光子真空極化，不含有中間玻色子參與的相互作用)和單純的中間玻色子Z0鏈圖傳播子中僅含有各種中間玻色子自能相互作用，不含有光子參與的相互作用)，以及 γZ0真空極化經(jīng)各種復雜的排列組合而構成.其構成方式由圖2所示.

圖2 SM中兩類中性玻色子混合鏈圖傳播子構成方式Feynman圖(a)光子混合圈 鏈圖傳播子中間玻色子“混合圈”鏈圖傳播子單純的光子圈鏈圖傳播子單純的中間玻色子圈鏈圖傳播子光子高階(單圈圖)傳播子(其中f=l，q分別表示如下輕子和夸克對d珔)，(s，s珋)由光子產(chǎn)生再湮滅成光子的單圈)，(f)γZ0混合單圈圖傳播子，(g)中間玻色子單圈圖傳播子(其中f=l，q，νl分別表示三種輕子，四種夸克和三種中微子由Z產(chǎn)生再湮滅成Z的單圈)，(h)γ，Z0樹圖傳播子

由圖2可以看出，樹圖階γ和Z0傳播子無內(nèi)部相互作用;而在γ，Z0作“鏈圖”傳播時，傳播子內(nèi)部將出現(xiàn)無窮多個復雜的相互作用過程.而兩種混合圈鏈圖傳播子均含有多達31種不同物理過程的圈圖發(fā)散量，因此計算兩個混合圈鏈圖傳播子函數(shù)的重整化有限量歸結為求31種圈圖發(fā)散的重整化有限量.而對于這31種圈圖重整化有限量的計算十分復雜.文獻［21，22］曾在量子電動力學(QED)理論中詳細計算討論光子圈圖重整化有限量，并給出了有限量的嚴格解析計算結果.在本文中我們借鑒文獻［21，22］的處理方法來處理本文所涉及的另外30種圈圖重整化有限量的分離與計算，差別僅僅出現(xiàn)在質量、耦合常數(shù)、矢量流和軸矢量流常數(shù)上而已.至此，我們經(jīng)過復雜的計算完成了另外30種圈圖重整化有限量的嚴格解析結果

至此，通過(4)，(7)，(8)式便可獲得光子重整化混合圈鏈圖傳播子的構架方式，我們通過相應的計算處理便可將光子重整化混合圈鏈圖傳播子表示成

經(jīng)過同樣的分析討論，我們也可獲得中間玻色子重整化混合圈鏈圖傳播子的解析結果

在標準模型中除了圖2(a)，(b)所示的兩種類型中性玻色子混合圈鏈圖傳播子外，還存在如圖3所示的另外兩種類型的交叉混合圈鏈圖傳播子

圖3 交叉混合圈鏈圖傳播子

表2給出了光子γ和中間玻色子Z0混合圈鏈圖傳播子對其樹圖傳播子修正的模的大小比較.其中，Ecm表示質心系能量和分別表示鏈圖傳播子對樹圖傳播子的修正量.可以看出，鏈圖相對樹圖的修正量十分微小，并符合電磁修正和弱修正的數(shù)量級.

表2 鏈圖傳播子對樹圖傳播子的相對修正量

3.SM中兩類中性玻色子混合圈鏈圖傳播子的重整化

在所獲得的SM里的兩類中性傳播子γ和Z0混合圈鏈圖傳播子的解析計算結果(9)和(10)式中，呈現(xiàn)出的均為有限結果.而為了獲得這樣的計算結果，除了采用Dyson正則化方案從本問題涉及的各種各樣的圈函數(shù)里分離出各種各樣的發(fā)散部分和有限部分之外，還將其中的所有發(fā)散部分在計算中給予去掉而僅保留其有限部分.做這樣的處理是否合理顯然取決于所去掉的發(fā)散部分是否可以通過合理地全部吸收進SM理論中的有關參量中(即重整化)給予說明.下面，我們對此給予討論.

在SM中涉及本文兩類中性玻色子混合圈鏈圖傳播子中的三個物理參數(shù)(不考慮SM中希格斯玻色子質量和費米子質量，因在本文考慮的鏈圖傳播子理論中未涉及這些物理參量):精細結構常數(shù)中間玻色子質量 mZ以及Weinberg參量，其數(shù)值由實驗定出.

對于γZ0混合圈圖，根據(jù) Feynman規(guī)則可得到其與光子真空極化的關系進行正規(guī)化處理后，分離出的重整化有限量即為(4)式，因而對于γZ0混合圈圖，可以引入抵消項來消除發(fā)散.

對圖2和圖3所示的四種混合圈鏈圖傳播子分析后可以看出，對于任意高階圈圖，會對等地(以相同的個數(shù))出現(xiàn)和因而在引入抵消項 δe的同時還會引入引入抵消項相當于重新定義了SM理論中的耦合常數(shù) e;換句話說，對耦合常數(shù) e作了相應重整化處理eeR

至此，我們完成了在SM中考慮(涉及)兩類中性玻色子混合圈鏈圖傳播子理論中的有關重整化問題的處理.

4.兩類中性玻色子混合圈鏈圖傳播下e+e－→μ+μ－反應截面的解析計算

在本文中 ，我們將所獲得的SM模型中的兩類中性玻色子重整化混合圈鏈圖傳播子，應用于高能物理中備受關注的一類輕子反應 e+e－→μ+μ－的計算研究里.

根據(jù)標準模型，e+e－→μ+μ－反應 Feynman圖由圖4給出.

圖4 e+e－→μ+μ－反應Feynman圖

根據(jù)粒子物理學理論，可以證明，e+e－→μ+μ－的非極化微分截面在質心系可以表示為［24］

利用Feynman規(guī)則可得其散射振幅M為

其中，ρ=1/2sinθWcosθW;cV，cA分別表示電子和 μ子的軸矢量流和矢量流常數(shù)(式中把統(tǒng)一用cV，cA表示).

若令(20(a)，20(b))式中 Rγ，RZ=1，RγZ=RZγ=0，便得到樹圖階非極化微分截面

為了進一步討論本文鏈圖傳播子理論對樹圖傳播子理論的修正物理效應，以便能很好地與實驗觀測結果作比較，圖5給出了質心能量從4 GeV到160 GeV時與相關實驗觀測值的比較.可以看出的修正相對較小(修正隨質心能量的變化有所變化，我們通過計算機選點做數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)修正總體在1%—2%之間)，且它們均與實驗結果符合得很好.

根據(jù)(19)式可以看出，弱相互作用帶來了forward－backward不對稱性(A1≠0)，原因在于弱耦合是矢量流-軸矢量流耦合.為了具體計算由于弱作用帶來的不對稱性，定義

對(19)和(20)式完成相應的積分計算后可得到

為了討論由于弱作用帶來的微分截面對散射角的不對稱性，圖6給出了forward-backward不對稱性隨質心能量的變化.

圖5 e+e－→μ+μ－反應非極化總截面隨質心能量的變化以及與實驗結果的比較

圖6 forward-backward不對稱性AFB隨質心能量的變化以及與實驗結果的比較

5.總結與展望

本文在電弱統(tǒng)一標準模型中，考慮傳遞電磁相互作用和弱相互作用時的γ和Z0傳播子中出現(xiàn)各種復雜混合圈時，詳細分析了相應鏈圖傳播子的構架方式及其重整化問題，并最終解決了由31種不同物理過程的重整化圈圖構成γ和Z0的重整化混合圈鏈圖傳播子的構架問題，進而求出了SM中兩類中性玻色子γ和Z0的重整化混合圈鏈圖傳播子函數(shù);并利用這種特殊的傳播子函數(shù)，對 e+e－→μ+μ－反應截面作了嚴格理論計算.而這一理論計算結果與實驗觀測值符合得非常好;這也表明了本文所考慮的計算模式不但是合理正確的，而且具有一定學術參考意義.

關于量子場論重整化問題的研究，自 Dyson［24］于上世紀中期作為開創(chuàng)者與奠基人首先在QED中建立起一套系統(tǒng)的重整化思想以來，在半個多世紀的時間里，對重整化基礎理論與計算方法的研究工作一直未停止過.其中，特別值得提到的是Salam［25］對贗標介子理論、旋量電動力學以及自旋為0的玻色子的電動力學中，可以利用Dyson方程消去微擾論所有高階的一切發(fā)散的相乘重整化的嚴格證明及其可重整化場論的證明;Weinberg［26］對量子場論微擾論中任意高階圈圖發(fā)散度的分析與重整化積分收斂問題的證明;Zimmerman［27］對復雜 Feynman圖的積分性質由Euclidean動量空間延伸到Minkovski動量空間所作出的貢獻，以及對重整化中減除被積函數(shù)式方法的創(chuàng)建;Bogoliubov和Parasiuk［28］對Dyson重整化理論的發(fā)展所作出的貢獻;Hepp［29］對重整化 Feynman積分的收斂性問題作的理論研究;Epstein和 Glaser［30］對保持所有定域場論性質的重整化問題的研究;由’tHooft所建立 起 的 維 數(shù) 正 規(guī) 化 方 法［31］; 由 Appelquist［32］，Bergére 和 Zuber［33］，以及 Bergére 和 Lam［34］等在參量空間重整化問題上所作的研究.所有這些工作已為今后關于各種唯象模型中的重整化問題的研究奠定了堅實的理論基礎，而隨之關于重整化理論與計算方法的研究便層出不窮，而這些研究工作已在國際重要學術刊物上不斷有所報道.直到本世紀，關于重整化問題及其計算方法的研究工作仍是國際上熱點研究問題之一.然而需要提到的是，到目前為止，有關在各種唯象模型中的重整化問題的研究，仍多限于逐階(即有限高階)作重整化處理.而這樣的處理，與必須引入相應的抵消項有關，為此也需要涉及對場量(共軛場量)作重整化處理，而這些作重整化處理后的重整化常數(shù)如何全部吸收進理論中的物理參量(如各種耦合常數(shù)以及物理質量等)中，仍是十分困難的工作.而要涉及微擾論的所有各高階情形，則異常困難、復雜.本文考慮的鏈圖傳播子重整化模式，不但可以考慮到微擾論部分無窮高階情形，而且還可以將各抵消項中的重整化常數(shù)合理地吸收進理論中的有關物理參量(e，mZ，因而這一重整化及其計算模式無疑具有一定理論研究意義與學術參考價值.

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［13］OPAL Collaboration 1997Phys.Lett.B 391 221

［14］SLC 1982Phys.Rev.Lett.48 1701

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［19］LEP(ALEPH)1997Phys.Lett.B 399 329

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［25］Salam A 1951Phys.Rev.82 217

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PACS:11.10.－ z，11.15.－ q，11.25.Db

Renormalization of two neutral mixing-loop chain propagators in standard model and its e+e－→μ+μ－cross section*

Chen Xue-Wen1)2)?Fang Zhen-Yun1)Zhang Jia-Wei1)Zhong Tao1)Tu Wei-Xing1)
1)(Institute of Theoretical Physics，Chongqing University，Chongqing 400030，China)
2)(Institute of Mathematics and Physics，Chongqing University of Science and Technology，Chongqing 401331，China)
(Received 8 January 2010;revised manuscript received 16 April 2010)

Adopting the electroweak standard model，We analyzd the framework forms of photon γ and neutral gauge boson Z0mixing-loop chain propagators and the relevant renormalization.Based on this，We obtained the analytic results of renormalized γ and Z0mixing-loop chain propagators composed of different physical loops that participate in electroweak interactions.In addition，We applied our result to an important type of lepton interaction in high energy physics:e+e－→μ+μ－，then obtained the analytic result of cross section via renormalized γ and Z0mixing-loop chain propagators.Furthermore，we compared the result with a series of experimental results，and found that the result of this paper is in good agreement with the experimental results.This study would offer certain academic reference to the theoretical study and application of common complex propagators.

standard model，chain propagator，renormalization，radiation correction

*國家重點基礎研究發(fā)展計劃(批準號:2003CB716300)、國家自然科學基金(批準號:10175096)和中國工程物理研究院基金(批準號:2008T0401，2008T0402)資助的課題.

*Project supported by the National Basic Research Program of China(Grant No.2003CB716300)，the National Natural Science Foundation of China(Grant No.10175096)，and the Foundation of China Academy of Engineering Physics(Grant Nos.2008T0401，2008T0402).