華北電力大學(xué) 薛鵬康 郝建紅 李功銘

強(qiáng)流粒子加速器束暈-混沌現(xiàn)象研究

華北電力大學(xué) 薛鵬康 郝建紅 李功銘

流離子束在高能物理、工業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)療、科研等諸多領(lǐng)域有著越來(lái)越重要的應(yīng)用。例如生產(chǎn)核材料，生產(chǎn)钚和氚、放射性潔凈核能，嬗變核廢物，同位素生產(chǎn)及重離子聚變、粒子束武器、高功率微波源等。產(chǎn)生強(qiáng)流離子束的關(guān)鍵設(shè)備是強(qiáng)流加速器。帶電粒子在加速器中軸向電場(chǎng)的作用下獲得加速?gòu)亩玫胶芨叩哪芰俊?qiáng)流加速器的要求比現(xiàn)在加速器超過(guò)數(shù)十甚至上百倍，例如它要求平均流強(qiáng)高達(dá)10～250 mA，能量在0.8～1.6 GeV，而束損率必須小于（10-8～10-5）/m。然而隨著束流功率的提高，束暈–混沌現(xiàn)象產(chǎn)生了。

束暈–混沌現(xiàn)象表現(xiàn)為高密度束核的外圍彌漫著少量粒子，這些粒子可以運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)離束核的地方，極易打在加速器器壁或其他結(jié)構(gòu)上，造成結(jié)構(gòu)元件的損害和超標(biāo)放射性劑量的產(chǎn)生，給環(huán)境和人身安全造成極大的危害。不僅如此，束暈–混沌造成了束流的巨大損失，嚴(yán)重制約束流功率的進(jìn)一步提高。束暈–混沌現(xiàn)象成了研制新一代強(qiáng)流加速器的關(guān)鍵性問(wèn)題。因此，人們需要知道束暈產(chǎn)生的機(jī)制和大小，探索盡量避免束暈和減少束損的設(shè)計(jì)方法。本文，筆者以此為出發(fā)點(diǎn)，對(duì)束暈–混沌現(xiàn)象加以研究。

一、束核-單粒子模型

在束暈形成機(jī)理的研究中，普遍采用束核–單粒子模型。所謂的束核–單粒子模型，就是把束流分為束核和束暈粒子兩部分，首先研究束核包絡(luò)在聚焦管道里的演變規(guī)律，然后再分析注入束核附近的試驗(yàn)粒子的行為。該模型中認(rèn)為束核的空間電荷效應(yīng)為單粒子運(yùn)動(dòng)提供微擾力，并假設(shè)單粒子的運(yùn)動(dòng)不對(duì)束核運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響。

當(dāng)強(qiáng)流離子束在周期聚焦通道中運(yùn)動(dòng)的分布滿足Kapchinsky-Vladimirshy（K–V）分布時(shí)，束的無(wú)量綱包絡(luò)半徑滿足以下動(dòng)力學(xué)方程：

當(dāng)束流失匹配不大時(shí),設(shè)束流包絡(luò) R（ z）與束流匹配時(shí)的包絡(luò)半徑存在的偏離：

代入包絡(luò)方程，在光滑近似下消掉K 和R，可得描寫兩個(gè)耦合諧振子行為的聯(lián)立方程，并從中解得振動(dòng)的兩個(gè)本征模，分別稱為偶數(shù)模和奇數(shù)模，其相應(yīng)的波數(shù)和相移分別為：

這里腳標(biāo)e和o分別表示偶數(shù)本征模和奇數(shù)本征模，包絡(luò)的任何其他振蕩都可表示成這兩個(gè)基模的疊加。

二、空間電荷引起非線性共振

在束核附近運(yùn)動(dòng)的單粒子滿足方程：

由式（4）和（5）可知，當(dāng)粒子在束核內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子受到的力為線性的，當(dāng)粒子在束核外運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子受到的力為非線性的。利用上述的式（1）及式（4），可對(duì)束暈的形成進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算。

在周期性聚焦系統(tǒng)中，對(duì)式（1）及式（4）聯(lián)立進(jìn)行數(shù)值計(jì)算所得到的失配束包絡(luò)相軌跡Poincare截面和試驗(yàn)粒子對(duì)應(yīng)于失配束流的相軌跡Poincare截面分別如圖2和圖3所示。

圖2顯示的龐德萊截面圖的系統(tǒng)參數(shù)為K=0，η=1/6，κz（0）=3.79（σ0=45.5°）。在rb軸上有唯一的固定點(diǎn)。這個(gè)固定點(diǎn)rb=rb=1.1,由無(wú)窮多不變環(huán)面包圍，每一個(gè)環(huán)面描述了一個(gè)失配的電子束。 圖3是對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)粒子的Poincare截面，可以看出，此時(shí)沒(méi)有出現(xiàn)束暈現(xiàn)象。

共存的四階共振和五階共振在圖4的Poincare截面中出現(xiàn)。穩(wěn)定的五階共振對(duì)應(yīng)固定點(diǎn)rb=rb=2.3，rb′=rb′=1.1附近的五個(gè)橢圓范圍。一個(gè)聚焦周期相應(yīng)的相移計(jì)算結(jié)果為σ=0.257 rad，σ0=11.7°，其中rb（s）是匹配電子束的s-從屬半徑。穩(wěn)定的和不穩(wěn)定的四階共振遠(yuǎn)離固定點(diǎn)，因?yàn)閳D4中的實(shí)例的非線性很小，所以無(wú)論是四階共振還是五階共振附近的混沌行為都很難看得到。圖5是對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)粒子的Poincare截面，圖中出現(xiàn)束暈—混沌現(xiàn)象，并伴有共振，粒子遠(yuǎn)離共振區(qū)域。

當(dāng)σ0＞90o且K足夠大時(shí)，對(duì)一些不匹配束，包絡(luò)振動(dòng)變得混沌。圖6展示了當(dāng)參數(shù)K=5，KZ=1/6，（σ=115o）時(shí)系統(tǒng)的龐德萊截面，圖7是對(duì)應(yīng)的實(shí)空間截面。與圖2對(duì)比，相空間現(xiàn)在包含有規(guī)律的（橢圓形）軌道和對(duì)初值很敏感的混沌軌道。除了與固定點(diǎn)=1.6，′ =0關(guān)聯(lián)的有規(guī)律的區(qū)域之外，有穩(wěn)定的第三和第四共振，電子感應(yīng)加速器龔振波適量大小k分別為k=k=4π/3和k==π。當(dāng)σ0和K進(jìn)一步增大，固定點(diǎn)完全被混沌軌道吞沒(méi)。

有必要指出，共振現(xiàn)象和混沌現(xiàn)象在束包絡(luò)共振和符合K-V分布函數(shù)的周期聚焦強(qiáng)離子束的不穩(wěn)定性有定性聯(lián)系。例如，當(dāng)σ0=60°，K＞2.6，K-V平衡對(duì)于第四共振不穩(wěn)定，軸對(duì)稱的擾動(dòng)與r4成比例，這里r=（x2+y2）1/2是到束軸的半徑。當(dāng)σ0=60°，K＞2.6時(shí)，這種不穩(wěn)定性與第四共振的存在相一致。并且，對(duì)于σ0=90°，K值 范 圍很寬的K-V平衡，強(qiáng)烈的包絡(luò)不穩(wěn)定性與圖6中混沌束包絡(luò)振動(dòng)密切相關(guān)。

從圖2—圖7可以看到,隨著真空相移的增大，Poincare截面變得復(fù)雜，粒子運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)混沌，形成束暈。

三、結(jié)論

在束包絡(luò)振動(dòng)σ0和符合K-V分布的周期聚焦強(qiáng)離子束的不穩(wěn)定性中，可以發(fā)現(xiàn)共振和混沌現(xiàn)象有特定的聯(lián)系。對(duì)周期聚焦系統(tǒng)，在匹配條件下，包絡(luò)仍會(huì)有輕微的振蕩，但束核附近的粒子運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的；在失配情況下，失配因子增大到一定程度后，束流中粒子會(huì)超出包絡(luò)形成束暈。由相空間Poincare截面和實(shí)空間Poincae截面均可看出，束暈不是由固定的粒子組成的。