邊義祥，裘進(jìn)浩

(1.揚(yáng)州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225127;2.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016)

壓電材料同時(shí)具有傳感和驅(qū)動(dòng)性能，可以用作傳感器或驅(qū)動(dòng)器。為了適應(yīng)特殊的應(yīng)用需要，很多學(xué)者正在研究特殊形狀的壓電器件，如壓電陶瓷纖維、薄膜、薄殼等［1］。裘進(jìn)浩等［2］和 Hiroshi Sato等［3］先后研制成功的含金屬芯壓電陶瓷纖維MPF(Metal-Core Piezoelectric Ceramic Fibers)，就是一種新型的壓電器件。當(dāng)MPF只有一半的縱向表面噴鍍金屬層時(shí)，稱為半電極含金屬芯壓電纖維HMPF(Half Coated Metal Core Piezoelectric Fiber)。

自從MPF和HMPF研制成功后，一些學(xué)者對(duì)MPF進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究。Gael Sebald等建立了MPF的物理振動(dòng)模型，分析了MPF的性能及金屬芯的影響［1，4］，研究了 MPF 的機(jī)電特性［5］;Hiroshi Sato等測(cè)量了 MPF的機(jī)械性能［6］，把 MPF粘貼在梁的表面，利用MPF的傳感和驅(qū)動(dòng)性能制作了智能復(fù)合材料懸臂梁［3］;Kiyoshi Takagi等在碳纖維復(fù)合材料中埋入MPF，實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)控制和結(jié)構(gòu)損傷監(jiān)測(cè)［7，8］;Davood Askari等分析了 MFC 和 MPF 的機(jī)械性能的異同點(diǎn)［9］。Hiroshi Sato等還從電極配置、機(jī)電轉(zhuǎn)換效率、機(jī)械性能、所需電場(chǎng)等方面分析了MFC和MPF之間的區(qū)別［10］。國(guó)內(nèi)主要有南京航空航天大學(xué)展開(kāi)了MPF的研究工作，劉建、常偉杰等把MPF粘貼在復(fù)合材料板的表面，建立了MPF對(duì)圓形壓電片激勵(lì)Lamb波的傳感響應(yīng)模型，并應(yīng)用這個(gè)模型對(duì)復(fù)合材料板的損傷進(jìn)行定位［11－12］。

上述研究幾乎都是關(guān)于表面全覆蓋電極的MPF，而在很多情況下，例如氣流傳感、彎曲驅(qū)動(dòng)等方面，HMPF更能發(fā)揮重要的作用。本文作者之一的裘進(jìn)浩在世界上首次成功制作了 HMPF［13］。在以前的工作中，我們研究了HMPF的靜態(tài)本構(gòu)關(guān)系方程［14］和驅(qū)動(dòng)性能［15］。為了擴(kuò)展 HMPF的應(yīng)用范圍，有必要研究其傳感性能。本文根據(jù)第一類壓電方程，基于振動(dòng)理論，使用平均電荷方法，研究了懸臂梁結(jié)構(gòu)的HMPF自由端外加垂直簡(jiǎn)諧作用力時(shí)，電極上產(chǎn)生的電荷值，由此建立了動(dòng)態(tài)微力傳感模型;分析了HMPF長(zhǎng)度和半徑比對(duì)產(chǎn)生電荷值的影響，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所建立的傳感模型。

1 理論建模

1.1 壓電方程

HMPF的幾何形狀和橫截面分別如圖1和圖2所示。由于是圓柱形，為了研究方便，采用圓柱坐標(biāo)系，壓電方程的直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系的對(duì)應(yīng)關(guān)系為，直角坐標(biāo)系的1方向、2方向和3方向分別對(duì)應(yīng)圓柱坐標(biāo)系的z方向、θ方向和r方向。

圖1 HMPF的幾何形狀及坐標(biāo)表示

圖2 HMPF的橫截面及其極化示意圖

如圖2所示，HMPF的上半部分壓電陶瓷表面覆蓋了金屬層。外加電壓時(shí)，壓電陶瓷內(nèi)部的電場(chǎng)分布比較復(fù)雜，為了研究方便，認(rèn)為表面覆蓋電極的上半部分壓電陶瓷極化后，具有壓電效應(yīng)，其極化方向也認(rèn)為是徑向分布;認(rèn)為表面沒(méi)有覆蓋電極的下半部分壓電陶瓷沒(méi)有被極化，不具有壓電效應(yīng)。由于陶瓷表面的金屬層很薄，在下面的研究中，其影響不予考慮。

當(dāng)HMPF用作懸臂梁結(jié)構(gòu)時(shí)，假設(shè)其壓電陶瓷部分在徑向可以自由伸縮;和長(zhǎng)度相比，HMPF的半徑很小，其圓周方向和切向的應(yīng)力可以忽略。外加電場(chǎng)后，其應(yīng)力和電場(chǎng)的邊界條件可以表示為:

所加電場(chǎng)方向和極化方向相反時(shí)，壓電陶瓷產(chǎn)生伸長(zhǎng)變形。根據(jù)第一類壓電方程，當(dāng)d31取負(fù)值時(shí)，其應(yīng)變和電位移分別為

其中的Sij是應(yīng)變，Tij是應(yīng)力，Di是電位移，Er是電場(chǎng)強(qiáng)度是彈性柔順系數(shù)，dij是壓電常數(shù)，是介電常數(shù)，上標(biāo)p表示壓電陶瓷極化部分。由于是圓柱形狀，在HMPF的電極上外加電壓后，半徑r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

而下半部分壓電陶瓷以及金屬芯的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

上標(biāo)m和n分別表示金屬芯和下半部分沒(méi)有被極化的壓電陶瓷。

1.2 HMPF的微力傳感模型

懸臂梁結(jié)構(gòu)HMPF的自由端受到動(dòng)態(tài)彎矩M時(shí)，由于HMPF的長(zhǎng)度和半徑比很大，可以認(rèn)為HMPF各縱向纖維的曲率半徑相同，都為ρ，則

其中Mm是金屬芯部分所受彎矩，Mc是整個(gè)壓電陶瓷部分所受彎矩，Em是金屬芯的彈性模量，Ec是整個(gè)壓電陶瓷部分的彈性模量，Im是金屬芯的慣矩，Ic是整個(gè)壓電陶瓷部分的慣矩。聯(lián)立式(8)和式(9)，并由Em=1/sm和Ec=1/sE11可解得

由1/ρ=M/(EI)，得到整個(gè)HMPF的等效的抗彎剛度EI

當(dāng)動(dòng)態(tài)激勵(lì)力F=F0ejωt垂直作用在懸臂梁結(jié)構(gòu)HMPF自由端時(shí)，HMPF的中性層在極化部分和未極化部分的結(jié)合面上，如圖3所示。此時(shí)，HMPF是均勻等截面直梁，可以得到HMPF的彎曲振動(dòng)模型［16］

ρc和ρm分別表示壓電陶瓷和金屬芯的密度。由此，得到HMPF的曲率

則HMPF的應(yīng)變可以表示為

把式(15)代入式(3)和式(4)中，并由Er=0，得到壓電陶瓷極化部分電位移為:

由式(16)得壓電陶瓷極化部分外表面和內(nèi)表面的電位移，即電荷密度分別為:

用平均電荷方法［17］，得到HMPF表面電荷為

1.3 長(zhǎng)度和半徑比的影響

由式(19)可知，當(dāng)懸臂梁結(jié)構(gòu)HMPF自由端受到正弦激勵(lì)作用時(shí)，HMPF產(chǎn)生的電荷也是正弦信號(hào)，頻率和激勵(lì)頻率相同。如果不考慮時(shí)間因素的影響，式(19)可以寫成:

進(jìn)而得到:

當(dāng)HMPF的參數(shù)確定后，測(cè)量到HMPF產(chǎn)生的電荷頻率和幅值，根據(jù)式(19)和式(21)可以算出激勵(lì)力的頻率和幅值。

為了研究HMPF半徑比對(duì)產(chǎn)生電荷幅值的影響，把半徑比B=Rm/Rc代入式(20)，得

為了研究HMPF結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)HMPF產(chǎn)生電荷的影響，把HMPF的參數(shù)代入到式(22)中進(jìn)行計(jì)算。含鉑金芯HMPF的參數(shù)見(jiàn)表1。設(shè)所加激勵(lì)力的參數(shù):f=10 Hz、F0=0.000 1 N。逐漸增大 HMPF的長(zhǎng)度和半徑比，HMPF產(chǎn)生的電荷幅值如圖3所示。由圖可見(jiàn)，在懸臂梁結(jié)構(gòu)HMPF自由端激勵(lì)力頻率和幅值不變的情況下，HMPF產(chǎn)生的電荷幅值隨著長(zhǎng)度的增加而增大，在半徑比為0.44處取最大值。如果要提高HMPF動(dòng)態(tài)微力傳感器的靈敏度，可以采用增加長(zhǎng)度和選擇合適半徑比的方法。

圖3 含鉑金芯HMPF動(dòng)態(tài)微力傳感器電荷幅值和結(jié)構(gòu)尺寸的關(guān)系

由以上的分析可知，懸臂梁結(jié)構(gòu)HMPF動(dòng)態(tài)微力傳感器參數(shù)確定后，根據(jù)其電荷的頻率，可以測(cè)量激勵(lì)力的頻率;根據(jù)電荷的頻率和幅值，可以測(cè)量激勵(lì)力的幅值。

2 實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證HMPF的動(dòng)態(tài)微力傳感性能，搭建如圖4所示的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。把一根HMPF一端固定在激振器的激振頭上，另一端搭在電子天平上。當(dāng)激振器低頻振動(dòng)時(shí)，HMPF受到電子天平動(dòng)態(tài)微力作用。

圖4 HMPF動(dòng)態(tài)微力傳感器實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

電子天平的讀數(shù)和HMPF產(chǎn)生的電荷信號(hào)經(jīng)過(guò)電荷放大器、dSPACE卡輸入到計(jì)算機(jī)中。HMPF長(zhǎng)度為36 mm，其它參數(shù)如表1所示。

表1 MPF的材料性能

HMPF產(chǎn)生電荷的時(shí)域信號(hào)，經(jīng)過(guò)FFT變換為頻域信號(hào)后，可以得到HMPF產(chǎn)生電荷的頻率。取時(shí)域信號(hào)中電荷幅值的平均值，由式(21)可以得到激勵(lì)力的幅值。一組動(dòng)態(tài)微力幅值的測(cè)量結(jié)果如圖5所示。

圖5 動(dòng)態(tài)微力幅值的測(cè)量結(jié)果

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表面，由HMPF測(cè)定的動(dòng)態(tài)微力的幅值和理論值之間有一定程度的誤差，主要原因是:懸臂梁結(jié)構(gòu)的HMPF自由端受力彎曲后，壓電陶瓷極化部分受到拉伸時(shí)，在電極表面產(chǎn)生電荷;當(dāng)HMPF被拉伸到最大位置時(shí)，電荷量最大。當(dāng)壓電陶瓷極化部分受到回復(fù)拉力時(shí)，在電極表面將產(chǎn)生和拉伸時(shí)相反的異種電荷，并和原來(lái)的電荷相互抵消，且由于HMPF的電容很小，原來(lái)的電荷將很快消失，導(dǎo)致HMPF的電荷很快減小到零;而此時(shí)，HMPF并未回復(fù)到平衡位置，其應(yīng)變還是正應(yīng)變，電荷和應(yīng)變相比有滯后。在接下來(lái)的回復(fù)和壓縮過(guò)程中，HMPF的電荷和應(yīng)變之間同樣有滯后。由于HMPF產(chǎn)生的電荷和所受到的力之間存在滯后，導(dǎo)致動(dòng)態(tài)微力幅值的測(cè)量值和理論值之間有誤差。

隨著激勵(lì)頻率的增加，HMPF壓電陶瓷極化部分受到拉伸和壓縮的轉(zhuǎn)換過(guò)程加快，電荷泄漏減少，產(chǎn)生的電荷和所受到的力之間的滯后減小，動(dòng)態(tài)微力幅值的測(cè)量值和理論值之間的誤差也逐漸減小。

從測(cè)量結(jié)果看，HMPF測(cè)量的動(dòng)態(tài)微力的頻率值和理論值誤差不大，主要原因是:HMPF在測(cè)量過(guò)程中電荷的滯后主要是幅值的滯后，頻率滯后很小，所以頻率的測(cè)量值和理論值較為接近。

3 結(jié)論

懸臂梁結(jié)構(gòu)HMPF自由端受到動(dòng)態(tài)微力作用后，電極上將產(chǎn)生交變電荷。本文基于第一類壓電方程和懸臂梁彎曲振動(dòng)理論，使用平均電荷方法，推導(dǎo)了懸臂梁結(jié)構(gòu)HMPF自由端受到動(dòng)態(tài)微力作用時(shí)，電極上產(chǎn)生電荷的解析表達(dá)式。分析了長(zhǎng)度和半徑比對(duì)產(chǎn)生電荷的影響，結(jié)果表明含鉑金芯的

HMPF傳感器具有最佳半徑比。搭建了HMPF動(dòng)態(tài)微力傳感器實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，進(jìn)行動(dòng)態(tài)微力傳感實(shí)驗(yàn);實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，懸臂梁結(jié)構(gòu)HMPF對(duì)于動(dòng)態(tài)微力具有很好的傳感特性，可以較準(zhǔn)確地測(cè)量動(dòng)態(tài)微力的頻率和幅值。該理論模型將進(jìn)一步促進(jìn)HMPF傳感器的研究和應(yīng)用。

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