姚峰林，高世橋

(1.北京理工大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，北京 100081;2.太原科技大學(xué)機(jī)電學(xué)院，太原 030024)

微機(jī)械陀螺是20世紀(jì)80年代后期發(fā)展起來的一種測(cè)量角速度或角位移的慣性傳感器，是微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)技術(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要方面［1］。微機(jī)械陀螺與傳統(tǒng)陀螺相比，具有體積小、重量輕、成本低、功耗低、能適用于較為惡劣的環(huán)境、可以批量生產(chǎn)、易與CMOS接口電路集成、以及數(shù)字化和智能化等特點(diǎn)［2－3］。微機(jī)械陀螺的優(yōu)良特性決定了它具有廣闊的應(yīng)用前景與商業(yè)和軍事價(jià)值［4］。目前，大多數(shù)微機(jī)械陀螺還主要應(yīng)用于中低精度場(chǎng)合，由于高精度應(yīng)用場(chǎng)合的需求，需要研制出高性能高精度的微機(jī)械陀螺［5］。

由于靜電驅(qū)動(dòng)力是研究微結(jié)構(gòu)靜態(tài)、動(dòng)態(tài)力學(xué)的基礎(chǔ)，它將影響微機(jī)械陀螺的信噪比和靈敏度，準(zhǔn)確計(jì)算微結(jié)構(gòu)靜電力是合理、準(zhǔn)確地分析、設(shè)計(jì)靜電驅(qū)動(dòng)微結(jié)構(gòu)的前提條件［6］。目前的靜電力的計(jì)算大多是基于無限大平模型的［7－8］，實(shí)際上，在微陀螺梳齒的分析中，無限大平板理論應(yīng)用在有限尺度的電極上是近似的。趙劍等采用復(fù)變函數(shù)法推導(dǎo)了考慮邊緣效應(yīng)的兩個(gè)近似簡(jiǎn)化公式，并作了精度分析［9］。但梳齒結(jié)構(gòu)上具有拐角結(jié)構(gòu)，在電容和靜電力計(jì)算時(shí)，需要考慮這一特殊性。

1 靜電驅(qū)動(dòng)的原理

由電容式微機(jī)械陀螺儀工作原理可知，要想使陀螺儀工作，陀螺儀接口電路必須使陀螺儀振動(dòng)質(zhì)量塊在驅(qū)動(dòng)模態(tài)方向振動(dòng)［10］。對(duì)于靜電驅(qū)動(dòng)微機(jī)械陀螺儀而言，主要利用靜電力來達(dá)到驅(qū)動(dòng)微陀螺儀質(zhì)量塊振動(dòng)的目的。當(dāng)在兩導(dǎo)體結(jié)構(gòu)間施加一定的電壓時(shí)，導(dǎo)體表面分別攜帶有數(shù)量相等的正、負(fù)電荷，正、負(fù)電荷之間存在庫(kù)侖力作用［11］。采用差動(dòng)梳齒驅(qū)動(dòng)器是驅(qū)動(dòng)微機(jī)械陀螺的常見方式，也就是直流(如圖1所示的Vdc)加交流(如圖1所示的Vacsin(ωdt))的推挽驅(qū)動(dòng)［12］，差動(dòng)梳齒驅(qū)動(dòng)器的結(jié)構(gòu)如圖5、圖6所示。

圖1 差動(dòng)梳齒驅(qū)動(dòng)器示意圖(左)與照片(右)

2 靜電驅(qū)動(dòng)力的計(jì)算

微梳齒結(jié)構(gòu)是基于平行板電容模型的，因此計(jì)算平行板電容的靜電力大多采用此模型，如圖2所示，平行板電容器邊長(zhǎng)為a、b，板間距為d。假設(shè)下極板固定，上極板通常有兩種運(yùn)動(dòng)方式:一種為相對(duì)下極板垂直運(yùn)動(dòng)，一種為相對(duì)下極板水平運(yùn)動(dòng)。而對(duì)于實(shí)際情況下的微梳齒結(jié)構(gòu)來說，梳齒的長(zhǎng)寬高及梳齒間距相對(duì)來說都是有限長(zhǎng)度的。當(dāng)兩極間加上反向電壓發(fā)生順向移動(dòng)時(shí)，齒間會(huì)因反向電壓的作用產(chǎn)生電容，此時(shí)考慮梳齒的厚度，以及齒根部拐角部分的影響，并不能簡(jiǎn)單的取理想情況下的無限大平行板模型來進(jìn)行運(yùn)算，這時(shí)要考慮微梳齒結(jié)構(gòu)間的邊緣效應(yīng)以及拐角效應(yīng)。另外，由于陀螺結(jié)構(gòu)的特殊性，只能使梳齒結(jié)構(gòu)在平行于齒順向進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，這里運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)閄。

圖2 平行板模型與微結(jié)構(gòu)的梳齒模型對(duì)比

2.1 無限大平板模型

無限大平板模型是目前微結(jié)構(gòu)中應(yīng)用最多的，此模型假設(shè)a、b相對(duì)于d無限大，即忽略電容的邊緣效應(yīng)，根據(jù)電容定義，可求得:

利用電勢(shì)能和虛位移原理可求得平行運(yùn)動(dòng)靜電力為

對(duì)于微機(jī)械陀螺中的梳齒結(jié)構(gòu)，尺度為微米量級(jí)甚至更小，而且由于加工條件限制，a、b不能過長(zhǎng)，而間距d不能太小，d相對(duì)于a、b不能取無限大，一般不能簡(jiǎn)單直接應(yīng)用上述公式，而需要考慮邊緣效應(yīng)帶來的影響［9］。因此針對(duì)實(shí)際的問題，需在無限大平行板電容模型的基礎(chǔ)上，考慮各類效應(yīng)的影響。

2.2 考慮邊緣效應(yīng)模型

通常微機(jī)械陀螺結(jié)構(gòu)都采用高縱深比工藝加工，因此厚度方向可視為相對(duì)齒寬和間距無限大，這從另一方面說明了討論二維模型的可行性。從圖3中A所指部分，在梳齒的邊緣部分電勢(shì)的變化非常明顯，這與無限大模型的電場(chǎng)均勻分布模型具有明顯的區(qū)別?？梢钥闯鍪猃X邊緣的電勢(shì)分布是相當(dāng)可觀的，對(duì)微陀螺的驅(qū)動(dòng)力會(huì)有明顯的影響，使用無限大平板模型一定會(huì)帶來誤差。

圖3 微陀螺梳齒結(jié)構(gòu)的電勢(shì)分布和Ansys模型

應(yīng)用保角變換是求解二維平行板電容的一種典型方法，相關(guān)文獻(xiàn)［9］給出了考慮邊緣電場(chǎng)的電容計(jì)算式，由于在求解過程中作了近似處理，因此該解析式也是近似解:

其中，

因此梳齒橫向靜電力為

其中，

2.3 梳狀結(jié)構(gòu)電容的拐角效應(yīng)

從圖3中B所指部分，可以看出進(jìn)入梳齒槽內(nèi)的梳齒邊緣的電勢(shì)分布也是不均勻的，非均勻電場(chǎng)，這里把進(jìn)入梳齒槽內(nèi)部的梳齒邊緣與槽之間的部分叫做拐角如圖4所示。使用無限大平板模型來計(jì)算微陀螺的驅(qū)動(dòng)力必然會(huì)有一定的誤差?？紤]邊緣效應(yīng)時(shí)，只是簡(jiǎn)單的從平行板邊緣效應(yīng)出發(fā)，將梳齒結(jié)構(gòu)近似成平行板電容器的并聯(lián)，加入邊緣附加項(xiàng)。這些模型都忽略了梳齒自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因此這里提出一種新的電容計(jì)算方法，并與以上模型進(jìn)行對(duì)比。

為了計(jì)算拐角效應(yīng)的影響［13］，取梳齒的1/4進(jìn)行分析如圖4所示，利用非線性電容特性公式

其中，ε(l)為區(qū)域間填充介質(zhì)的介電常數(shù)，這里介質(zhì)為空氣，因此ε(l)=ε0;S(l)為等勢(shì)面，只要確定區(qū)域內(nèi)的等勢(shì)面函數(shù)，就可以求出區(qū)域的電容。

下面建立幾種拐角處的近似電勢(shì)場(chǎng)模型來計(jì)算電容，并與無限大平板模型和考慮邊緣效應(yīng)模型進(jìn)行對(duì)比，這里不考慮厚度方向的邊緣效應(yīng)影響。

圖4 拐角模型示意圖

2.3.1 矩形等勢(shì)線

在g、d上取等分點(diǎn)，作矩形等勢(shì)線，如圖4所示，在設(shè)計(jì)中交疊長(zhǎng)度a很大，所以可以認(rèn)為電容由兩部分組成，一部分為a/2的平行板電容，一部分為拐角和齒間與根部電容。

2.3.2 圓弧等勢(shì)線

在g、d上取等分點(diǎn)，作圓弧等勢(shì)線如圖5所示。

圖5 拐角模型示意圖

若S(x)計(jì)及a/2段，則

2.3.3 與g無關(guān)的模型

注意到模擬中電勢(shì)場(chǎng)在一定范圍內(nèi)與位移基本無關(guān)的特點(diǎn)，建立與g無關(guān)的模型，利用式(2)中的結(jié)論，取g=Nd

2.3.4 圓等勢(shì)線

以M為圓心在拐角處作1/4圓作為等勢(shì)線，如圖6所示。

圖6 拐角模型示意圖

若S(x)不計(jì)及a/2段，即認(rèn)為電容仍有兩部分構(gòu)成，則

若S(x)計(jì)及a/2段，則

將以上4種模型與無限大平板模型、邊緣效應(yīng)、拐角效應(yīng)模型和有限元分析進(jìn)行對(duì)比，梳齒結(jié)構(gòu)的參數(shù)取h=55 μm，b=4.2 μm，d=3 μm，L=87 μm，齒數(shù)為N=1184時(shí)，計(jì)算間距g不同時(shí)電容的值，如圖7所示。齒頂與齒根的距離變化時(shí)靜電力的大小如圖8所示。

圖7 電容隨間距變化圖

圖8 靜電力隨間距變化圖

靜電力直接影響微陀螺的驅(qū)動(dòng)振幅，進(jìn)而影響微陀螺加速度的檢測(cè)值。圖9列出了考慮邊緣效應(yīng)和拐角效應(yīng)時(shí)和不考慮邊緣效應(yīng)時(shí)振動(dòng)的振動(dòng)曲線。

圖9 不同驅(qū)動(dòng)電壓下振幅變化規(guī)律

3 結(jié)論

由圖7中可以看出，各種模型的計(jì)算的電容結(jié)果表明，隨著梳齒間距的縮小，梳齒電容大多是線性增加的，但當(dāng)梳齒的間距小于5 μm后，電容產(chǎn)生了迅速的增加。其中，無限大平板模型計(jì)算出的電容是最小的，考慮邊緣效應(yīng)的電容值要比無限大平板模型要大，拐角效應(yīng)模型比邊緣效應(yīng)和無限大平板的模型的結(jié)果都要大。對(duì)于C20模型，由于選擇的是g和d的中點(diǎn)作矩形等勢(shì)線，故而在靜梳齒和動(dòng)梳齒不充分接近的時(shí)候(＞3 μm)，這種模型數(shù)值偏小;對(duì)于C21和C31模型，也采用了g和d的中點(diǎn)作弧等勢(shì)線，故而在靜梳齒和動(dòng)梳齒不充分接近的時(shí)候(間距＞10 μm)，這種模型數(shù)值偏大;對(duì)于C22和C32模型，是在C21和C31模型上對(duì)直線段等勢(shì)面方程的變形，由于這種假設(shè)的幾何模型只限于在梳齒間距充分小的時(shí)候，所以在間距較大時(shí)也有較大的偏差，但是對(duì)于C21，C31，C22和C32四種模型在10 μm左右的范圍內(nèi)卻其它模型數(shù)值接近，同時(shí)當(dāng)梳齒間距＜5 μm后數(shù)值發(fā)生跳變;對(duì)于C41和C42模型，是對(duì)d的中點(diǎn)單獨(dú)作1/4圓等勢(shì)線，這種模型的電容數(shù)值比較穩(wěn)定，但是隨著交疊長(zhǎng)度增加，它的值卻小于了邊緣效應(yīng)值。

從圖8中可以看出，當(dāng)動(dòng)靜梳齒間距大于5 μm時(shí)，梳齒間的靜電力在X軸方向隨間距不會(huì)有明顯變化;但當(dāng)梳齒間距進(jìn)入5 μm階斷后，靜電力產(chǎn)生了迅速的增加?？紤]邊緣效應(yīng)的模型要比無限大平板模型計(jì)算出的靜電力要大，邊緣效應(yīng)模型在梳齒未交疊之前就有靜電吸引力的作用，這充分體現(xiàn)了邊緣效應(yīng)的作用;考慮拐角效應(yīng)的靜電力Fx21，F(xiàn)x22，F(xiàn)x31，F(xiàn)x32模型比無限大平板模型的Fx-infinite和邊緣效應(yīng)模型的Fx-edge-effect都要大;考慮拐角效應(yīng)的Fx41，F(xiàn)x42在間距較大時(shí)與無限大平板模型接近，但當(dāng)梳齒充分接近時(shí)，不能反映靜電力的非線性增長(zhǎng);Fx21，F(xiàn)x31在梳齒充分接近時(shí)(＜5 μm)，靜電力的變化趨勢(shì)有誤，這與把等勢(shì)場(chǎng)主觀地分成兩塊有關(guān);Fx41，F(xiàn)x42靜電力的變化趨勢(shì)也有誤，這與兩種模型的假定是等勢(shì)場(chǎng)的線性變化是相關(guān)的。

考慮邊緣效應(yīng)和拐角效應(yīng)的電容和靜電力結(jié)果均比理想結(jié)果要大，并且更接近Ansys模擬結(jié)果。這說明在微尺度條件下靜電場(chǎng)的邊緣效應(yīng)和拐角效應(yīng)應(yīng)當(dāng)在設(shè)計(jì)和計(jì)算時(shí)充分考慮，拐角效應(yīng)的各種模型也有局限性。另外，間距無限近時(shí)，電容和靜電力都迅速增大，此時(shí)動(dòng)齒和定齒之間會(huì)產(chǎn)生吸合效應(yīng)。因此對(duì)于使用梳齒結(jié)構(gòu)作為陀螺驅(qū)動(dòng)，需要確定活動(dòng)位移以及靜電電壓范圍，保證其工作在準(zhǔn)線性范圍內(nèi)。

［1］蔣慶華，苑偉政，常洪龍，等.一種改進(jìn)的振動(dòng)式微機(jī)械螺驅(qū)動(dòng)電路［J］.傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2008，21(3):536－538.

［2］熊斌，車錄鋒，黃小振，等.一種微機(jī)械陀螺自激驅(qū)動(dòng)方式的電學(xué)模擬［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2003，24(2):190－192，200.

［3］王玲，劉俊，石云波.微小差分電容檢測(cè)電路設(shè)計(jì)［J］.傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2006，19(6):2529－2531.

［4］車錄鋒，黃小振，熊斌，等.振動(dòng)式微機(jī)械陀螺的等效電學(xué)模型［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2003，39(3):117－120，125.

［5］張霞，鄭旭東，王昊，等.微機(jī)械陀螺的建模與仿真［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版)，2009，43(4):646－650.

［6］王亞強(qiáng)，王躍林，丁純，等.微機(jī)械諧振傳感器的閉環(huán)恒幅驅(qū)動(dòng)電路研究［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，1999，20(4):351－355.

［7］YOUNIS M I，ABDEL R E，NAYFEH A.A Reduced-Order Model for Electrically Actuated Microbeam-Based MEMS［J］.Microelectromechanical Systems，2003，12(5):672－680.

［8］RAHMAN A M，YOUNIS I M，NAYFEH H A.Characterization of the Mechanical Behavior of an Electrically Actuated Microbeam［J］.Journal of Micromechanics and Microengineering，2002，12(6):760－766.

［9］趙劍，賈建援，王洪喜.計(jì)及邊緣效應(yīng)的靜電驅(qū)動(dòng)微結(jié)構(gòu)靜電力計(jì)算［J］.微納電子技術(shù)，2006，43(2):95－97.

［10］羅躍生.硅微型梳狀線振動(dòng)驅(qū)動(dòng)式陀螺儀工作的微分方程模型［J］.哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2003.24(1):49－53.

［11］茅盤松，王修倫.微機(jī)械結(jié)構(gòu)的微靜電驅(qū)動(dòng)［J］.電子器件，1995，18(1):20－23.

［12］王存超，蘇巖，王壽榮.硅微振動(dòng)陀螺儀驅(qū)動(dòng)器自激驅(qū)動(dòng)研究［J］.傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2006，19(2):364－370.

［13］高世橋.微機(jī)電系統(tǒng)力學(xué)［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社.2008.106－110.