劉科江

（電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，四川 成都 611731）

基于MATLAB的鎖相環(huán)非線性分析

劉科江

（電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，四川 成都 611731）

鎖相環(huán)通常工作在捕捉和跟蹤兩種模式下的一種。在捕捉模式下，鎖相環(huán)試圖使 VCO的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)在頻率和相位上同步。但是在捕捉模式下，VCO的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的相位差可能相當(dāng)大，鎖相環(huán)此時(shí)工作在非線性狀態(tài)，需要用非線性模型來進(jìn)行分析。分析非線性模型是很困難的，常常需要進(jìn)行仿真。利用 MATLAB工具，使用微分方程法研究鎖相環(huán)系統(tǒng)的非線性特性。

鎖相環(huán)；微分方程法；非線性；MATLAB

鎖相環(huán)是一種相位反饋的閉環(huán)自動(dòng)控制系統(tǒng)，環(huán)路鎖定之后，平均穩(wěn)態(tài)頻差等于零，穩(wěn)態(tài)相差為固定值，鎖相環(huán)的這一重要特征使其在電視、通信、雷達(dá)、遙測(cè)遙感、測(cè)量儀表，特別是在人造衛(wèi)星和宇宙飛船的無線電系統(tǒng)中，得到了廣泛應(yīng)用。近年來，鎖相環(huán)路的研究日趨深入，應(yīng)用更加廣泛。由于鑒相器模型是非線性的，所以鎖相環(huán)是一個(gè)非線性系統(tǒng)，很難用傳統(tǒng)的解析方法來分析，因而我們求助于仿真。下面我們使用微分方程法來分析一個(gè)二階鎖相環(huán)的非線性特性。

（一）鎖相環(huán)模型

1.鎖相環(huán)框圖

鎖相環(huán)基本模型如圖1所示。假設(shè)輸入信號(hào)為

而壓控振蕩器的輸出信號(hào)表達(dá)式假設(shè)為

鎖相環(huán)的就是使 VCO的相位與輸入信號(hào)的相位同步，使得他們的相位差很小

圖1 鎖相環(huán)框圖

2.鑒相器模型

開發(fā)鎖相環(huán)模型的第一步就是建立鑒相器的模型。鑒相器的特性在很大程度上決定著鎖相環(huán)的工作特性。有許多種不同類型的鑒相器，而選擇在特定環(huán)境下所使用的鑒相器模型取決于具體的應(yīng)用。最常見的鑒相器模型就是正弦鑒相器，它的輸出與輸入信號(hào)的相位差的正弦成正比。正弦鑒相器可以看成是有一個(gè)乘法器和一個(gè)低通濾波器組成的，則鑒相器輸出信號(hào)為

其中， )()(tt? 稱為相位差。我們希望VCO的輸出相位是輸入相位的一個(gè)估計(jì)，因此，鎖相環(huán)正常工作要求相位差趨于零。在穩(wěn)態(tài)時(shí)，相位差是否為零取決于輸入信號(hào)和環(huán)路濾波器。使用傳遞函數(shù)為 F(s)而單位沖擊響應(yīng)為 f(t) 的環(huán)路濾波器，對(duì)鑒相器輸出進(jìn)行濾波。這樣，VCO的輸入為

由定義，VCO的輸出頻率偏差與VCO的輸入信號(hào)成正比，這樣

式中，Kd是VCO常數(shù)，單位HzV。帶入上面式子可得到

式中cvdAAKG= 。

3.非線性相位模型

從 6式可以看出， )(t與 )(t之間的關(guān)系與載波頻率完全沒有關(guān)系，因此仿真模型中不需要考慮載波頻率。我們要尋找一個(gè)能描述 )(t與 )(t之間合適關(guān)系的模型。這種模型如圖 2所示，稱為鎖相環(huán)非線性相位模型。由于正弦函數(shù)是非線性的，所以他是一種非線性模型。這也是一種相位模型，他建立的輸入信號(hào)相位偏差和 VCO相位偏差之間的關(guān)系，而不是建立環(huán)路實(shí)際輸入信號(hào)與VCO信號(hào)之間的關(guān)系。

圖2 鎖相環(huán)非線性相位模型

4.線性相位模型和傳遞函數(shù)

若相位差很小，可以做如下近似

則環(huán)路方程變?yōu)?/p>

對(duì)（8）式做拉普拉斯變換，積分變換相當(dāng)除以s，時(shí)域卷積相當(dāng)頻域相乘，得

因此，關(guān)聯(lián)VCO相位和輸入相位的傳遞函數(shù)H(s)為

（二）仿真

1.二階鎖相環(huán)

鎖相環(huán)的捕捉和跟蹤特性很大程度上取決于環(huán)路階數(shù)。鎖相環(huán)實(shí)現(xiàn)的階數(shù)等于傳遞函數(shù)H(s)中有限極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。因此，鎖相環(huán)實(shí)現(xiàn)的階數(shù)比環(huán)路濾波器傳遞函數(shù)F(s)中極點(diǎn)個(gè)數(shù)大一，這個(gè)多出來的極點(diǎn)就是來及 VCO模型的積分器，下面我們分析一下二階鎖相環(huán)。

對(duì)于二階鎖相環(huán)，環(huán)路濾波器的傳遞函數(shù)一般形式是

實(shí)際應(yīng)用中， 遠(yuǎn)小于1。對(duì)于環(huán)路線性傳遞函數(shù)，將濾波器傳遞函數(shù)代入式（10）得

2.仿真流程圖

環(huán)路濾波器不是一個(gè)真分式函數(shù)，應(yīng)用長除法得

其中就有

其時(shí)域表達(dá)式為

我們可以直接實(shí)現(xiàn)濾波器模型，并定義a1=(1?)a，a2=a?？梢缘玫蕉A鎖相環(huán)的信號(hào)流程，如圖3所示。

圖3 二階鎖相環(huán)的信號(hào)流圖

3.使用微分方程法對(duì)鎖相環(huán)仿真

現(xiàn)在考慮使用微分方程法對(duì)鎖相環(huán)進(jìn)行仿真。首先導(dǎo)出微分方程。由圖2可得

因?yàn)閳D2中鎖相環(huán)模型中的VCO能用一個(gè)積分器表示，于是就有

把式（17）代入式（18），并應(yīng)用式（11）于環(huán)路濾波器，則

假設(shè)二階環(huán)式是“理想的”（即 =0），此問題可以得到一點(diǎn)簡(jiǎn)化。

由于乘s等于時(shí)域微分，所以得到微分方程

又由定義有

和

于是式子（20）可以寫成

式中 )(t是鎖相環(huán)的相位差，而 )(t是輸入信號(hào)的相位偏差。

（三）仿真結(jié)果及分析

假設(shè)這個(gè)系統(tǒng)在0tt= 時(shí)刻有一個(gè)頻率階躍信號(hào)，此時(shí)，其中fΔ=1MHz。當(dāng)

=0.1，環(huán)路自由振蕩頻率n=200KHz，則由上面的仿真模型可以得到以下結(jié)果。

1.相位誤差

穩(wěn)態(tài)相位誤差可以用拉普拉斯變換終值定理來計(jì)算。環(huán)路的閉環(huán)相位傳遞函數(shù)為H(s)，則相位差傳遞函數(shù)為E(s)=1—H(s)，那么利用終值定理可以得到

代入以上數(shù)據(jù)，可以得到 )(∞ = 0.3755 rad，圖 4中穩(wěn)態(tài)相位差的結(jié)果為0.384516 rad，因此，仿真結(jié)果和理論推導(dǎo)結(jié)論一致。

圖4 相位差

2.捕獲與跟蹤過程

圖5顯示了VCO的輸出信號(hào)頻率的變化過程，能看到在頻率捕獲過程中的“周期滑動(dòng)”現(xiàn)象。這是在輸入頻率的變化大大超過環(huán)路的固有頻率時(shí)，非線性同步器表現(xiàn)出來的特性。在圖中我們也能看到相位鎖定時(shí)所需要的時(shí)間。

圖5 輸入頻率和VCO輸出頻率

（四）結(jié)語

本文通過建立鎖相環(huán)的非線性相位模型，使用微分方程法，利用MATLAB仿真工具，從定量上分析了鎖相環(huán)的非線性相位特性。從仿真圖形可以看到，仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果相吻合。通過這種分析方法，能為鎖相環(huán)設(shè)計(jì)提供定量的分析，有助于電路的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

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TP273

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2011-02-18

劉科江（1985－），男，電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院在讀碩士，研究方向微波線性和非線性電路系統(tǒng)。