馮鶴林，陳勇明

(成都信息工程學院數學學院，成都610225)

一種改進的T型灰色關聯(lián)度及應用研究

馮鶴林，陳勇明

(成都信息工程學院數學學院，成都610225)

文章通過對唐五湘和孫玉剛提出T型關聯(lián)度思想與灰色關聯(lián)度幾何意義的分析，對于某些目標序列和各因素序列量綱相同的系統(tǒng)，無需對每組數據都進行標準化處理，提出了灰色T型關聯(lián)度的一種改進模型，改進后的T型關聯(lián)度既能反映正、負關聯(lián)度，特別是在總體上能夠體現兩序列的相關程度。最后給出了改進算法的一個應用實例。

T型關聯(lián)度；標準化處理；整體；正、負關聯(lián)度；占里

0 引言

灰色關聯(lián)度不僅是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分，并為灰色系統(tǒng)分析、預測、決策奠定基礎。灰色關聯(lián)分析的工具是灰色關聯(lián)度，所以對灰色關聯(lián)度進行研究具有重要的意義。其主要就兩序列之間的幾何相似程序進行比較，描述其相近程度。序列越接近，關聯(lián)程度越大。自鄧聚龍教授[1]提出鄧氏關聯(lián)度以來，灰色關聯(lián)度就得到很大的發(fā)展和改進。1995年唐五湘[2]通過增量來刻畫兩序列的關聯(lián)度，提出T型關聯(lián)度，用來度量正、負相關性；1997年查金茂[3]就唐五湘提出的T型關聯(lián)度，提出一系列問題如不滿足規(guī)范性以及增量為零時沒有意義，但并未提出解決方法；1998年張吉峰[4]在T型關聯(lián)度的基礎上引入了周期；2003年沈明宇[5]就唐五湘提出的T型關聯(lián)度的缺陷在兩增量為0時，以及其中一序列為常數列時產生問題，提出了解決方案并修正了T型關聯(lián)度；2008年孫玉剛[6]則進一步改進了T型關聯(lián)度，在唐五湘的基礎上重新給出新的T型關聯(lián)系數，并給出了改進的關聯(lián)度的性質。本文進一步分析唐五湘和孫玉剛的T型關聯(lián)度的缺陷，并給出改進的算法，并通過實例驗證該方法的可行性。

1 預備知識

1.1 T型關聯(lián)度的思想

唐五湘[2]提出的T型關聯(lián)度的基本思想如下：按照因素的時間序列曲線的相對變化勢態(tài)的接近程度來計算關聯(lián)度。對于離散時間序列，所謂兩曲線的相對變化勢態(tài)的接近程度，是指兩時間序列在對應各時段△tk=tk-tk-1(k=1,2,…n)間原始變量經標準化后的增量的大小來判定，若在時段△tk間兩增量相等或接近于相等，則這兩時間序列在時段△tk間的關聯(lián)系數就大；反之，就小。兩時間序列的關聯(lián)度定義為：各時段△tk間的關聯(lián)系數的加權平均值，權數為△tk。

1.2 T型關聯(lián)度的計算方法

按照T型關聯(lián)度的思想方法，唐五湘[2]給出T型關聯(lián)度的計算方法。對于時間區(qū)間[a,b],b>a≥0,令△tk=tk-tk-1,k=2,3,坌k兩原始時間序列在[a,b]間各點的取值分別為：

X1={X1(t1),X1(t2),…X1(tn)}和X2={X2(t1),X2(t2),…X2(tn)}

步驟1：標準化。

標準化的目的是使各序列之間具有可比性。具體的作法是

步驟2：求增量序列

△y1={△y1(tk)=y1(tk)-y1(tk-1),k=2,3,…n}

△y2={△y2(tk)=y2(tk)-y2(tk-1),k=2,3,…n}

步驟3：計算各時段的關聯(lián)系數

孫玉剛改進的T型關聯(lián)系數計算公式

在式中，sgn(△y1(tk).△y2(tk))確定關聯(lián)系數ξ(tk)的符號，當ξ (tk)>0時，表示X1和X2在tk-1點到tk這時間段內是同方向變化的，即正關聯(lián)，反之，若ξ(tk)<0，則負關聯(lián)。

步驟4：計算總體的關聯(lián)度。記原始時間序列X1和X2的關聯(lián)度為r(X1,X2)，則

2 T型關聯(lián)度的缺陷分析

為了說明T型關聯(lián)度的缺陷，我們先證明一個定理

定理1：當X2={X2(t1),X2(t2),…,X2(tn)}序列與X1={X1(t1),X1(t2),…,X1(tn)}存在線性關系時，不妨記為X2(tk)=aX1(tk)+b,k=1,2,…,n,a≠0時，按照唐五湘的T型關聯(lián)度計算得到的關聯(lián)度r (X1,X2)=±1

注：用孫玉剛的T型關聯(lián)系數計算，可得到當序列與存在線性關系時，也得到的關聯(lián)度。

證明：

步驟1：求標準化序列

步驟2：求增量序列

步驟3：計算各時段的關聯(lián)系數

X1和X2在tk-1點tk到這時間段內的關聯(lián)度ξ(tk)為

當a>0時，ξ(tk)=1，當a<0時，ξ(tk)=-1

步驟4：計算總體的關聯(lián)度r(X1,X2)

故當X2={X2(t1),X2(t2),…,X2(tn)}序列與X1={X1(t1),X1(t2),…,X1(tn)}存在線性關系時，關聯(lián)度r(X1,X2)=±1。

同理，換用孫玉剛定義的T型關聯(lián)系數計算會得出當X2序列與X1存在線性關系時，關聯(lián)度r(X1,X2)=±1。

通過下面的幾個問題，來說明T型關聯(lián)度的缺陷。

問題一：根據灰色關聯(lián)度的思想，當兩序列形狀相近或相似時，其關聯(lián)程序就越大，對于X2序列與X1存在線性關系，從這種角度來分析，它們形狀絕對不是完全相同(相反)。結合定理1，這說明這樣定義T型關聯(lián)度過程中都存在一定的問題。歸結其原因，導致這樣原因在于，采用了消除量綱的方法，最終導致量化后的序列△y1與△y2間的增量|△y1|與|△y2|相等或相反。由于T型關聯(lián)度研究的對象是各序列增量之間的相互情況。如果不分具體情況對所有的數據進行量綱化處理，反而會弱化或放大某些增量間的關系，導致錯誤的結論。

考慮到這個問題，我們必須思考是不是有必要對所有的數據進行量綱化處理。為了說明其實不然，我們再來看一個例子：

兩原始時間序列在[a,b]間各點的取值分別為：X1= {0,3,4,6}和X2={1,3,4,6}，按照灰色關聯(lián)度的思想，這兩個序列在后面的△t2,△t3這兩部分不僅是平行的，更是完全重合的，其關聯(lián)系數ξ(tk)在△t2,△t3內應該為ξ(t2)=ξ(t3)=1，按唐五湘提出的T型關聯(lián)度的思想，對其做標準化處理后的數據相對應的關聯(lián)系數為：這與灰色關聯(lián)度的思想不相符。由此可以看出不是每個序列都要對其做標準化處理。在下面的討論中，主要是對量綱相同，意義完全一樣的序列進行分析，不需要采取標準化處理

問題二：計算序列X1和X2的關聯(lián)度r(X1,X2)采用關聯(lián)度只能正確反映出局部關聯(lián)系數間的關系，即只是對各區(qū)間段關聯(lián)系數進行簡單的求平均，并不能反映出各區(qū)間之間增量的差異。若不同區(qū)間內兩序列關聯(lián)系數一樣，但這些區(qū)間內增幅程度并不完全相同，其關聯(lián)度按孫玉剛或唐五湘提出的關聯(lián)度的計算方法和公式并無本質區(qū)別，對于區(qū)間之間的差異沒有進行充分描述，不能體現出整體差異。舉例說明:

已知X1={0,3,4,6},X2={0.9,3,4,6},X3={0,3,4,5.2}

求X1分別與X2，X3的T型關聯(lián)度。

增量序列為：△X1={3,1,2}△X2={2.1,1,2}△X3={3,1,1.2}

按孫玉剛給出改進后的T型關聯(lián)系數公式可求得：

若按唐五湘，孫玉剛給出的T型關聯(lián)度計算公式將得出，

但參照圖1和圖2：

序列2和序列3在[2,3]這段與序列1完全重合，要比較它們與序列1之間的關系實質就是要比較序列2與序列1在[1,2]這段與序列3與序列1在[3,4]這段的近似程度。雖然在[1,2]這段序列2與序列1的關聯(lián)系數ξ12與在[3,4]這段序列3與序列1的關聯(lián)系數ξ13相等，即相對接近程序相同，但總體來看，序列3與序列1之間的差距只有0.8，但序列2與序列1的差距卻有0.9，這樣序列3比序列2更接近于序列1，其關聯(lián)度也應該更大些。具體分析原因就是，在[1,2]區(qū)間上，序列2和序列1的關聯(lián)系數相對于區(qū)間[3,4]上序列3與序列1的關聯(lián)系數一樣，即相對接近程序一樣，但由于在[1,2]區(qū)間上，原始序列1的增幅程度卻大于在[3,4]區(qū)間上的增幅程度，所以在[1,2]區(qū)間上影響大于在[3,4]區(qū)間上的影響，即在[1,2]區(qū)間上所占的權重要大于在[3,4]區(qū)間上的權重。在[1,2]區(qū)間上序列3與序列1重合，但序列2與序列1卻存在差異，在[3,4]區(qū)間上所以這段上序列2與序列1重合，但序列3與序列1卻存在差異，這兩段區(qū)間關聯(lián)系數是相等的，但權重不等，據此，可得出序列3與序列1的關聯(lián)度要大于序列2與序列1的關聯(lián)度。但若采用r(X1,X2)=這種方式來度量其關聯(lián)度，則將這種區(qū)別完全消除了。

3 量綱和意義相同的兩序列的T型關聯(lián)度改進

在量綱相同和意義一樣的兩時間序列，按照因素的時間序列曲線的相對變化勢態(tài)的與原始序列的接近程度來計算關聯(lián)度。對于離散時間序列，所謂兩曲線的相對變化勢態(tài)的接近程度，是指兩時間序列在對應各時段△tk=tk-tk-1(k=2,3,…, n)間原始變量的增量的大小來判定，無須進行標準化處理，若在時段△tk間兩增量相等或接近于相等，則這兩時間序列在時段△tk間的關聯(lián)系數就大。兩時間序列的關聯(lián)度定義為：相同時段△tk間的關聯(lián)系數的加權平均值，權數為△X1(tk)。

對于量綱和意義相同的兩離散時間序列X1={X1(t1),X1(t2),…X1(tn)}，X2={X2(t1),X2(t2),…X2(tn)}間T型關聯(lián)系數可采用下列步驟：

步驟1:求增量序列

△X1={△X1(tk)=X1(tk)-X1(tk-1),k=2,3,…n}

△X2={△X2(tk)=X2(tk)-X2(tk-1),k=2,3,…n}

步驟2:求兩序列間的關聯(lián)系數

設[a,b]上的兩時間序列分別為△X1={△X1(t1),X1(t2),…X1(tn)}和△X2={△X2(t1),X2(t2),…X2(tn)}，稱

為序列X1與X2的在從tk-1到tk時間段△tk內的關聯(lián)系數，

min△X(tk)=min(|△X1(tk)|,|△X2(tk)|),max△X(tk)=max(|△X1(tk)|,|△X2(tk)|)

步驟3：求兩序列X1={X1(t1),X1(t2),…,X1(tn)},X2={X2(t1),X2(t2),…X2(tn)}間的關聯(lián)度,稱為X1與X2改進的灰色T型關聯(lián)度。

r不僅能夠反映正負關聯(lián)程度，更能夠確切的表明某一時間段△tk內，增量對整體相似的貢獻程度。避免了以前所定義的T型關聯(lián)程度出現的，局部關聯(lián)系數不同，但總體關聯(lián)度可能相同，對應的圖形與事實相差甚遠的情況。

4 改進的T型關聯(lián)度應用實例

下面就貴州占里的生育問題分析給出改進后T型關聯(lián)度的一個應用實例，分析不同階段占里生育狀況、觀念的動態(tài)變化情況。調查統(tǒng)計的有關數據見表1。

表1 占里數據表

依次記29-59年、60-75年、76-90年出生的戶主所構成的序列分別為

X1=(3.736842105,30.26666667,4.857142857);X2= (2.438095238,24.926055,5.473683);X3=(3.3,25.30769231,4.6).

可求得：

△X1={26.5298,-25.4095};△X2={22.4880,-19.4524};△X3= {22.0077,-20.7077}

求得關聯(lián)系數：

ζ21(t1)=0.3229,ζ21(t2)=0.2442,ζ23(t1)=0.7995,ζ23(t2)=0.6031計算關聯(lián)度為=0.7084

因此，r21與r23的關系應該為r23>r21：

將60-75年出生的家庭（記為第二代）和76-90年出生的家庭（記為第三代）生育情況對比60-75年出生家庭和29-59年出生的家庭（記為第一代）的生育情況，前者比后者更為接近。從數據分析結果看，雖然第三代和第一代與第二代在平均孩子間年齡差上有一定的差異，但差異不大。其部分原因是，76-90年這一代正是剛結婚不久的一代，有一定的可變性，有些家庭還沒有第二個孩子，統(tǒng)計到的家庭應該是結婚偏早和初育年齡偏小型的數據。相比第二代和第三代家庭與配偶的年齡對比第一代和第二代要相近得多，更重要的是初育年齡十分接近，甚至沒有什么較大的改變。從社會因素的角度來考慮，外界對占里的影響越來越大，信息的交流和思想的改變也正在逐漸影響占里，賴以生存的社會基礎發(fā)生的變革，一些傳統(tǒng)民俗日益淡化，生育習俗的活動陣地縮小，傳統(tǒng)節(jié)日逐步被現代節(jié)日代替，傳統(tǒng)節(jié)育藥物和醫(yī)術的失傳，再加上科學的進步和市場經濟的發(fā)展，文化生活日益豐富，村民外出打工，參加祭祀活動減少，一般情況下，中青年比老年更容易受新事物影響，占里生育狀況也隨之逐漸有所變化。

[1]劉思峰,黨耀國,方志耕等．灰色系統(tǒng)理論及其應用[M]．北京:科學出版社,2008．

[2]唐五湘．T型關聯(lián)度及其計算方法[J]．數理統(tǒng)計與管理,1995,14(1)．

[3]查金茂．T型關聯(lián)度的缺陷[J]．武漢交通科技大學學報,1997,21(2)．

[4]張吉峰．基于能量關聯(lián)度的時間序列周期分析[J]．系統(tǒng)工程理論與實踐,1998,(9)．

[5]沈明宇,胡寶清．修正T型關聯(lián)度及其在證券市場中的應用[J]．系統(tǒng)工程理論與實踐,2003,(5)．

[6]孫玉剛,黨耀國．灰色T型關聯(lián)度的改進[J]．系統(tǒng)工程理論與實踐, 2008,(4)．

（責任編輯/亦民）

N941.5

A

1002－6487（2011）05－0160-04

教育部人文社會科學青年研究基金(10YJCZH157)；四川省哲學社會科學重點研究基地民間文化研究中心資助(MJ09-03)；成都信息工程學院引進人才科研啟動基金(KYTZ201001)

馮鶴林(1986-)，男，湖北黃岡人，碩士研究生，研究方向：應用統(tǒng)計、灰色系統(tǒng)。

陳勇明(1972-)，男，四川成都人，博士研究生，副教授，研究方向：應用統(tǒng)計、灰色系統(tǒng)、數據挖掘。