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        灰色PERT算法在項(xiàng)目工期中的研究與應(yīng)用

        2011-10-18 10:31:58符長虹吳順祥王文淵
        統(tǒng)計(jì)與決策 2011年5期
        關(guān)鍵詞:灰數(shù)白化路線

        符長虹,吳順祥,王文淵

        (1.廈門大學(xué)自動(dòng)化系,福建廈門361005;2.中國中鐵四局集團(tuán)有限公司,合肥230023)

        灰色PERT算法在項(xiàng)目工期中的研究與應(yīng)用

        符長虹1,吳順祥1,王文淵2

        (1.廈門大學(xué)自動(dòng)化系,福建廈門361005;2.中國中鐵四局集團(tuán)有限公司,合肥230023)

        為提高PERT網(wǎng)絡(luò)中關(guān)鍵路線與關(guān)鍵工序決策的可靠性,減少求解的復(fù)雜性,文章根據(jù)工序時(shí)間不確定的特點(diǎn),結(jié)合灰色系統(tǒng)理論,提出了工序時(shí)間為區(qū)間灰數(shù)的灰色PERT網(wǎng)絡(luò),并且根據(jù)實(shí)際工序時(shí)間概率分布的特點(diǎn),提出了工序時(shí)間的正態(tài)分布模型,該方法避免了決策中片面采用均勻分布區(qū)間灰數(shù)描述模糊評價(jià)的局限性,更好地體現(xiàn)了工序“最可能時(shí)間”、“最悲觀時(shí)間”與“最樂觀時(shí)間”三者概率分布的特點(diǎn)。另外,考慮到工程計(jì)劃能否在規(guī)定工期內(nèi)順利完成這一隨機(jī)現(xiàn)象,提出了相應(yīng)的灰色PERT算法。最后,通過實(shí)例分析,說明該灰色PERT算法能夠有效避免片面采用均勻分布區(qū)間灰數(shù)的局限性,且計(jì)算出項(xiàng)目工程在規(guī)定工期內(nèi)完成的可能概率,更加符合實(shí)際項(xiàng)目工期的決策,具有較好的可行性和高效性,拓展了這一領(lǐng)域的研究與應(yīng)用。

        PERT網(wǎng)絡(luò);灰色理論;均值白化值;正態(tài)分布;標(biāo)準(zhǔn)差;關(guān)鍵路線

        0 引言

        考慮到經(jīng)典PERT網(wǎng)絡(luò)中工序完成時(shí)間受許多內(nèi)、外諸因素影響,導(dǎo)致其具體數(shù)值無法確定,只能通過估計(jì)最樂觀時(shí)間a、最可能時(shí)間m與最悲觀時(shí)間b來進(jìn)行關(guān)鍵路線與關(guān)鍵工序的決策,然而本文結(jié)合灰色系統(tǒng)理論,基于工序完成時(shí)間在區(qū)間[a,b]內(nèi)變化的特點(diǎn),提出了工序完成時(shí)間為區(qū)間灰數(shù)的灰色PERT網(wǎng)絡(luò)。但是根據(jù)經(jīng)典PERT網(wǎng)絡(luò)中三種估計(jì)時(shí)間概率分布的特點(diǎn),文獻(xiàn)[1]等的工序完成時(shí)間片面采用均勻分布區(qū)間灰數(shù)來描述模糊評價(jià)的方法則會產(chǎn)生嚴(yán)重的失真,因此本文針對這個(gè)局限性,考慮到三種估計(jì)時(shí)間近似服從正態(tài)分布的特點(diǎn),提出了工序完成時(shí)間服從正態(tài)分布的分布模型。文獻(xiàn)[2]等的PERT網(wǎng)絡(luò)中忽略了每一條路線在規(guī)定項(xiàng)目工期內(nèi)實(shí)際完成該項(xiàng)目的“可能性”這一隨機(jī)現(xiàn)象,因此本文為更全面、更科學(xué)、更有效地研究PERT網(wǎng)絡(luò),提出了相應(yīng)的灰色PERT算法,該算法通過求出每項(xiàng)工序完成時(shí)間區(qū)間灰數(shù)的均值白化值以及標(biāo)準(zhǔn)差,接著求出每條線路上所有工序完成時(shí)間區(qū)間灰數(shù)的均值白化值之和以及標(biāo)準(zhǔn)差,進(jìn)而求出每條線路上所有工序完成時(shí)間區(qū)間灰數(shù)的均值白化值之和所對應(yīng)的概率系數(shù)以及在規(guī)定工期內(nèi)完成項(xiàng)目的概率,最后根據(jù)概率的大小決策關(guān)鍵線路與關(guān)鍵工序,通過實(shí)例分析,說明該灰色PERT算法具有較好的可行性和高效性,減少了信息失真與決策失誤。

        1 基本理論

        2 灰色PERT網(wǎng)絡(luò)及其關(guān)鍵線路與關(guān)鍵工序的確定

        2.1 灰色PERT網(wǎng)絡(luò)及工序時(shí)間概率模型的研究

        考慮到經(jīng)典PERT網(wǎng)絡(luò)通過三種估計(jì)時(shí)間,即最樂觀時(shí)間a、最可能時(shí)間m與最悲觀時(shí)間b,來決策關(guān)鍵線路與關(guān)鍵工序,結(jié)合灰色系統(tǒng)理論以及工序完成時(shí)間在最樂觀時(shí)間與最悲觀時(shí)間之間變化,即在[a,b]之間變化,本文介紹工序完成時(shí)間為區(qū)間灰數(shù)的灰色PERT網(wǎng)絡(luò),如圖1所示,其中對應(yīng)的工序時(shí)間灰數(shù)為hi(茚)∈

        本文又考慮到經(jīng)典PERT網(wǎng)絡(luò)中三種估計(jì)時(shí)間的概率分布情況,根據(jù)實(shí)際情況,工序完成時(shí)間區(qū)間灰數(shù)不可能片面認(rèn)為服從均勻分布,這會造成決策的嚴(yán)重失真,因此提出了基于正態(tài)分布的工序完成時(shí)間,如圖2所示[3][4]。

        由圖3可知,本文可以確定正態(tài)分布的參數(shù),其中正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望根據(jù)正態(tài)分布3σ的原則,即p (x∈[ai,bi])=0.997,可得方差

        2.2 關(guān)鍵線路與關(guān)鍵工序的確定

        在灰色PERT網(wǎng)絡(luò)中,考慮到項(xiàng)目計(jì)劃能否在規(guī)定工期內(nèi)完成項(xiàng)目這一隨機(jī)現(xiàn)象,本文結(jié)合灰色理論,利用各條線路上所有工序完成時(shí)間區(qū)間灰數(shù)的均值白化值之和所對應(yīng)的概率,來進(jìn)行關(guān)鍵路線以及關(guān)鍵工序的決策,具體的灰色PERT網(wǎng)絡(luò)算法步驟如下:

        步驟1在灰色PERT網(wǎng)絡(luò)中,找出所有的路線,記為xi(i=1,2,…,n),以及第xi條線路上的工序,其時(shí)間灰數(shù)分別記為(j=1,2,…,m),其中hij(茚)表示第xi條線路上第j道工序的時(shí)間灰數(shù);

        步驟2計(jì)算出灰色PERT網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)工序時(shí)間灰數(shù)的均值白化值hi(茚軜)以及對應(yīng)的方差σi,并分別計(jì)算出第xi條線路上所有工序時(shí)間灰數(shù)的均值白化值hi(茚軜)之和以及標(biāo)準(zhǔn)差:

        其中,σxi表示第xi條線路上項(xiàng)目完成時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差;

        步驟3根據(jù)規(guī)定的項(xiàng)目計(jì)劃總工期T,分別計(jì)算出每條路線上所有工序時(shí)間灰數(shù)的均值白化值hi(茚軜)之和的概率系數(shù):

        步驟4根據(jù)公式(3)計(jì)算出的概率系數(shù)分別計(jì)算每條線路在所有工序時(shí)間灰數(shù)的均值白化值hi(茚軜)之和下完成該項(xiàng)目的概率:

        步驟5對公式(4)求得的概率進(jìn)行排序,其中概率最小所對應(yīng)的路線則為關(guān)鍵路線,其上的工序則為關(guān)鍵工序。

        3 實(shí)例分析

        某實(shí)際項(xiàng)目中共有9道工序,每項(xiàng)工序的持續(xù)時(shí)間如表1所示[1][2]。

        表1 各工序的持續(xù)時(shí)間

        表1所對應(yīng)的灰色PERT網(wǎng)絡(luò)如圖3所示。

        步驟1該灰色PERT網(wǎng)絡(luò)中共有5條線路,分別如下:

        第x1條:1→3→5→6,共3項(xiàng)工序:h3(茚)、h5(茚)和h6(茚),分別記為h11(茚)、h12(茚)和h13(茚);

        第x2條:1→3→4→5→6,共4項(xiàng)工序:h3(茚)、h4(茚)、h7(茚)和h6(茚),分別記為h21(茚)、h22(茚)、h23(茚)和h24(茚);

        第x3條:1→3→4→6,共3項(xiàng)工序:h3(茚)、h4(茚)和h8(茚),分別記為h31(茚)、h32(茚)和h33(茚);

        第x4條:1→2→3→4→6,共4項(xiàng)工序:h1(茚)、h2(茚)、h4(茚)和h8(茚),分別記為h41(茚)、h42(茚)、h43(茚)和h44(茚);

        第x5條:1→2→4→6,共3項(xiàng)工序:h1(茚)、h9(茚)和h8(茚),分別記為h51(茚)、h52(茚)和h53(茚)。

        步驟2計(jì)算各個(gè)工序時(shí)間灰數(shù)的均值白化值hi(茚軜)以及對應(yīng)服從正態(tài)分布的方差σi:工序1→2:其工序持續(xù)時(shí)間區(qū)間灰數(shù)為h1(茚)∈[1,3],

        同理,其余工序持續(xù)時(shí)間,期望以及方差如表2所示。

        表2 其余各個(gè)工序持續(xù)時(shí)間灰數(shù)的均值白化值以及方差

        根據(jù)公式(1)計(jì)算出各條線路上所有工序時(shí)間灰數(shù)的均值白化值hi()之和(見表3)。

        表3 各線路上所有工序時(shí)間灰數(shù)的均值白化值之和

        根據(jù)公式(2)計(jì)算每條線路上項(xiàng)目完成時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差如下:

        同理可以求得其余線路的標(biāo)準(zhǔn)離差:

        σx2=0.782,σx3=0.866,σx4=0.928,σx5=0.782

        步驟3根據(jù)公式(3)計(jì)算在規(guī)定項(xiàng)目計(jì)劃總工期為T= 20的情況下各條線路所對應(yīng)的概率系數(shù):

        同理可求得其余路線上所對應(yīng)的概率系數(shù)(見表4)。

        表4 其余路線所對應(yīng)的概率系數(shù)

        表5 其余線路所對應(yīng)的概率

        步驟4根據(jù)公式(4)求得各條路線上所有工序時(shí)間灰數(shù)的均值hi()白化值之和的概率:

        同理可求得其余路線上所對應(yīng)的概率:

        步驟5根據(jù)步驟4求得的各路線對應(yīng)概率進(jìn)行排序,其中概率最小對應(yīng)的路線即為所求關(guān)鍵路線:故有關(guān)鍵路線為x3:1→3→4→6,如圖3中粗線所示。

        4 結(jié)論

        本文針對決策中采用均勻分布區(qū)間灰數(shù)描述模糊評價(jià)值的局限性,考慮到正態(tài)分布模型能夠更準(zhǔn)確、更有效表示工序完成時(shí)間的概率分布特點(diǎn),以及項(xiàng)目計(jì)劃是否能在規(guī)定工期內(nèi)完成項(xiàng)目的可能性這一隨機(jī)現(xiàn)象,提出了應(yīng)用正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)來決策灰色PERT網(wǎng)絡(luò)中關(guān)鍵路線與關(guān)鍵工作的算法。通過實(shí)例證明,該方法具有較好的可行性和高效性,為這一領(lǐng)域提供了關(guān)鍵路線以及關(guān)鍵工序決策的新方法,可供從事PERT網(wǎng)絡(luò)的技術(shù)人員與管理人員參考。

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        [2]楊應(yīng)玖,楊毅,楊念.論灰色網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃技術(shù)[J].武漢水利電力大學(xué)學(xué)報(bào),1998,31(3).

        [3]謝乃明,劉思峰.考慮概率分布的灰數(shù)排序方法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2009,29(4).

        [4]劉琳,陳云翔,葛志浩,基于正態(tài)分布區(qū)間數(shù)的概率測度及多屬性決策[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2008,30(4).

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        [7]Guo-Dong Li,Daisuke Yamaguchi,Masatake Nagai,Masatoshi Kitaoka.A Research on Grey Model by Grey Interval Analysis[J]. Journal of Grey System,2006,9(2).

        [8]Ping-Yi Hu.Using A Grey Multipurpose Decision System for Car Purchasing[J].Journal of Grey System,2004,7(1).

        [9]Long-qing Shen,Jian-feng Yu,Hai-wei Yang.Research on Algorithms for Critical Path of PERT Network with Lowering Conditions[J].Application Research of Computers,2006,(1).

        [10]劉思峰,黨耀國,方志耕.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

        (責(zé)任編輯/易永生)

        F224

        A

        1002-6487(2011)05-0152-03

        國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60704042);國家“十一五”科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(2007BAK34B04)

        符長虹(1986-),男,湖南岳陽人,碩士,研究方向:不完備系統(tǒng)與數(shù)據(jù)挖掘。

        吳順祥(1966-),男,湖南邵陽人,博士,教授,研究方向:不完備系統(tǒng)。

        王文淵(1985-),女,河南雞西人,助理工程師,研究方向:工程設(shè)計(jì)。

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