張鑫

（同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海200092）

基于線性規(guī)劃的投資組合模型

張鑫

（同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海200092）

中小投資者缺乏適合的投資理論的指導(dǎo)。文章建立的跨時期投資線性規(guī)劃模型屬于投資組合模型對于中小投資者來說具有較高的參考價值，能夠幫助投資者合理配置資金以期獲得最大收益。投資者要把該模型使用的定量分析方法與自身的定性分析相結(jié)合，不斷修正模型的數(shù)據(jù)，以便于根據(jù)形勢的變化及時調(diào)整投資策略。

組合投資；線性規(guī)劃；隨機(jī)時間序列；價格預(yù)測

我國資本市場發(fā)展迅速，為中小投資者提供了投資機(jī)會。但他們并沒有獲得較大的盈利，原因之一在于投資者缺乏完善的投資理論來指導(dǎo)。國內(nèi)外學(xué)者關(guān)于組合投資分散風(fēng)險的研究雖然比較多。但他們在討論投資組合問題時傾向于使用較高深的數(shù)學(xué)工具，對中小投資者實際運用價值不大。而且很少有模型涉及到跨時期投資以及對未來收益最大化方案的求解，將建立的數(shù)學(xué)模型通過對現(xiàn)實投資方案的優(yōu)化以檢驗其實際意義的過程幾乎沒有。本文試圖建立一種跨時期投資線性規(guī)劃模型，幫助投資者運用計算機(jī)軟件或程序在短時間內(nèi)得出計算結(jié)果，以幫助廣大中小投資者進(jìn)行決策。

1 跨時期投資線性規(guī)劃模型的建立

1.1 金融產(chǎn)品未來價格的預(yù)測技術(shù)

所有金融產(chǎn)品的價格都隨著時間而不斷變化，被認(rèn)為是時間序列。但由于金融產(chǎn)品的價格波動具有較強(qiáng)的隨機(jī)性，絕大多數(shù)情況下是無法用特定的解釋變量來解釋的，這就導(dǎo)致了基于因果關(guān)系的回歸模型及其預(yù)測技術(shù)在預(yù)測金融產(chǎn)品價格的領(lǐng)域里可行性較弱。為此可采用時間序列模型，通過歷史數(shù)據(jù)得出關(guān)于其過去行為的有關(guān)結(jié)論，進(jìn)而對時間序列的未來行為進(jìn)行推斷，一般形式為：

Xt=F(Xt-1,Xt-2,…，μt)

本文采用ADF對各金融產(chǎn)品價格的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗，通過3個模型來完成：

模型1：

模型3：

模型3中的t是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢。各模型的虛擬假設(shè)都是H0∶δ=0，即存在一個單位根。模型1與另兩個模型的區(qū)別在于是否包含有常數(shù)項和趨勢項。實際檢驗時從模型3開始，然后模型2、模型1。何時檢驗拒絕零假設(shè)，即原時間序列不存在單位根，是一個平穩(wěn)序列，則何時停止檢驗。否則，直到檢驗完模型1為止。如果單位根始終存在，該時間序列就是非平穩(wěn)的。

在確定了金融產(chǎn)品各時期的價格為平穩(wěn)序列之后，即可采用時間序列模型來預(yù)測其未來的價格。一般認(rèn)為，平穩(wěn)的時間序列是由隨機(jī)過程生成的。典型的p階自回歸過程AR (p)的數(shù)學(xué)形式為：

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p+ut

且它的隨機(jī)擾動項ut是一個q階移動平均過程MA(q)：

μt=εt-θ1εt-1-…-θqεt-q

其中，εi茗N(0,δε2)是白噪聲，i=t,t-1,…，t-q。兩式合并得到一個更一般的自回歸移動平均過程ARMA(p,q)：

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p+εt-θ1εt-1-…-θqεt-q

該式表明一個隨機(jī)時間序列可以通過一個自回歸移動平均過程生成，即該序列可以由其自身的過去或滯后項以及隨機(jī)干擾項來解釋。如果該序列是平穩(wěn)的，即它的行為不會隨著時間的推移而變化，那么我們就可以通過該序列過去的行為來預(yù)測未來。

隨機(jī)時間序列模型作為隨機(jī)過程的描述，它的平穩(wěn)性與該隨機(jī)過程的平穩(wěn)性是等價的，因此，可以通過它所生成的隨機(jī)時間序列的平穩(wěn)性來判斷。即如果一個p階自回歸模型AR(p)生成的時間序列是平穩(wěn)的，就說該AR(p)模型是平穩(wěn)的；否則，就說該AR(p)模型是非平穩(wěn)的。對p階自回歸模型AR(p)：

引入滯后算子L，使得：

LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,…，LpXt=Xt-p

則（1）式變化為(1-φ1L-φ2L2-…-φpLp)=0，它就是AR(p)的特征方程?？梢宰C明，如果該方程所有根都在單位圓外，則模型是平穩(wěn)的。但通常來講，對于高階自回歸模型AR(p)來說，沒有必要直接計算其特征方程的特征根。

對于移動平均模型MA(q)，有：

當(dāng)滯后期大于q時，Xt的自協(xié)方差系數(shù)為0。因此，有限階移動平均模型總是平穩(wěn)的。

由于ARMA(p,q)模型是AR(p)與MA(q)模型的結(jié)合，而MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性只取決于AR(p)部分的平穩(wěn)性。

時間序列計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的識別則采用自相關(guān)函數(shù)ACF與偏自相關(guān)函數(shù)PACF的特性。一般的，p階自回歸模型AR(p)的k期滯后方差為：

從而有自相關(guān)函數(shù)：

可見，無論k有多大，ρk的計算均與其1到ρ階滯后的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)，因此呈現(xiàn)拖尾狀。如果AR(p)是穩(wěn)定的，則|ρk|遞減且趨于零。

自相關(guān)函數(shù)ACF給出了Xt與Xt-k的總體相關(guān)性，但總體相關(guān)性可能掩蓋了變量之間完全不同的間接相關(guān)性。偏自相關(guān)函數(shù)克服了自相關(guān)函數(shù)的缺點，是在已知序列值xt-1，…，xt-k+1的條件下，xt與xt-k間關(guān)系的度量。在AR(p)過程中，對所有的k>p，Xt與Xt-k的偏自相關(guān)函數(shù)可見AR(p)的一個重要特征是偏自相關(guān)函數(shù)在p以后截尾，而它的自相關(guān)函數(shù)拖尾。

對MA(q)過程的識別而言，若隨機(jī)時間序列的自相關(guān)函數(shù)截尾，即自q以后ρk=0(k>q)，而它的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則此序列是q階移動平均MA(q)序列。

ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)，可以看作是AR(p)與MA(q)的自相關(guān)函數(shù)的混合物。當(dāng)p=0時具有截尾性質(zhì)；當(dāng)q=0時具有拖尾性質(zhì)；當(dāng)p、q都不為時，它具有拖尾性質(zhì)。從識別上看，通常ARMA(p,q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)可能在p階滯后前有幾項明顯的尖柱，但從p階滯后項開始逐漸趨向于零；而它的自相關(guān)函數(shù)則是在階滯后前有幾項明顯的尖柱，從q階滯后項開始逐漸趨向于零。

在確定了模型的具體形式之后，利用Eviews軟件估計出回歸方程的系數(shù)并做顯著性檢驗，得到的數(shù)學(xué)表達(dá)式即可預(yù)測金融產(chǎn)品未來的價格，并且能夠計算其收益率。

1.2 跨時期投資線性規(guī)劃模型的建立與求解

為簡化投資過程，使模型更具有一般性，本文把投資期限設(shè)為5期，這個“期”可以是日、月、年等任何單位，同時，模型中金融產(chǎn)品在其投資期限內(nèi)的收益率都用字母表示。

模型假設(shè)投資者在初始的第0時期擁有量為M的閑置資金，投資期限內(nèi)有以下5個投資品種可供選擇，投資期限分別為1～5期，到期收益率分別為a1--a5，則1元到期可得A1=(1+a1)--A5=(1+a5)元；令Xij為第j個品種在第i期所投入的資金數(shù)額，也就是決策變量。

將各時期的決策變量及其相應(yīng)到期收益列出。投資者的目標(biāo)是在投資結(jié)束時擁有的資金回報最多：

在第0時期的約束條件為用于投資的資金不能超過投資者所擁有的閑置資金量，即：

在第1、2、3、4時期的約束條件為用于投資的資金不能超過當(dāng)時由于先期投資到期而收回的資金量，即：

合理性約束：所有決策變量都不小于0。

將上述數(shù)學(xué)表達(dá)式改寫成LINGO的運算代碼錄入軟件，可以得到軟件的計算結(jié)果，即各時期用于每一種金融產(chǎn)品的資金的具體金額，該結(jié)果能夠使投資者最后的投資回報最多。而當(dāng)M=1時，計算結(jié)果中期末投資回報額的小數(shù)部分就是該投資期限內(nèi)的收益率。

2 跨時期投資線性規(guī)劃模型的檢驗

2.1 投資產(chǎn)品的選擇

建立模型的目的就是給投資者提供一種進(jìn)行決策的工具。為了檢驗?zāi)Ｐ偷男Ч?，本文設(shè)定某一投資者在2009年11月底擁有1個單位的閑置資金，投資期限為5個月，到20010年4月底為止，目標(biāo)是使2010年4月底回收的資金單位最多。經(jīng)過定性分析，他所考慮的投資對象有股票、基金、銀行短期理財產(chǎn)品以及待償期小于5個月的企業(yè)債。

為了得到理論上的最優(yōu)組合，需要排除一些不確定的因素，做出如下假設(shè)：（1）所有的投資決策都在每月月底做出，月中不進(jìn)行任何操作；（2）股票和基金的持有期都為1個月，即本月底買進(jìn)下月底拋出，若再想持有則在拋出后繼續(xù)買進(jìn)；（3）銀行短期理財產(chǎn)品與企業(yè)債券必須持有到規(guī)定的期限結(jié)束，企業(yè)債中途不能在二級市場上拋售；（4）這5個月內(nèi)所有金融產(chǎn)品的收益率保持不變；（5）不計任何的交易手續(xù)費；（6）股票和債券的收益則需要扣稅。前者為10%，后者為20%。

該投資者認(rèn)為在2009年11月底可以選擇的金融產(chǎn)品有：（1）股票：萬科A（000002）、浦發(fā)銀行（600000）；（2）企業(yè)債券：04通用債（120482）；（3）基金：南方績優(yōu)（160110）、華夏紅利（160307）；（4）理財產(chǎn)品：上海農(nóng)行2008年“本利豐”第27期“盛世華年——信貸資產(chǎn)類人民幣信托理財產(chǎn)品”。

2.2 預(yù)測金融產(chǎn)品未來價格及收益率

以萬科A為例，該股票從2006年12月到2009年11月的每月最后一個交易日收盤價設(shè)為，序列的自相關(guān)函數(shù)并未迅速趨于零，而是在零附近波動，且沒有通過檢驗，故該序列是非平穩(wěn)序列。一階差分△eanket后，自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)迅速趨于零，同時通過了ADF檢驗?？梢哉J(rèn)為，萬科A的一階差分是過程。估計出其方程形式為：

即：

wanket=1.8086wanket-1-0.8086wanket-2+ut-0.7613ut-1

萬科A的月K線在2009年10、11月的收盤價分別為11.51元和11.53元。利用Eviews軟件預(yù)測得到萬科A在2009年12月最后一個交易日收盤價的估計值為11.57元，月度收益率0.35%，扣除10%稅收后的凈收益率為0.31%。根據(jù)假設(shè)4，該收益率在這5個月內(nèi)保持不變。

同樣，浦發(fā)銀行spdbt的股價的自相關(guān)函數(shù)并未迅速趨于零，而是在零附近波動，且沒有通過ADF檢驗。在做一階差分△spdbt后，自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)迅速趨于零。從其自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)的變化情況來看，可以認(rèn)為，浦發(fā)銀行的一階差分是ARMA(1,1)過程。估計其回歸方程的形式：

整理該方程：

spdbt=spdbt-11.7889-0.7889spdbt-2+ut-0.6330ut-1

浦發(fā)銀行在2009年10、11月份月K線的收盤價分別為21.74元和22.02元。利用Eviews軟件預(yù)測得到浦發(fā)銀行在2009年12月最后一個交易日收盤價的估計值為22.13元，月度收益率0.50%，扣除10%稅收后的凈收益率為0.45%。

南方績優(yōu)（160110）從07年12月到09年11月的凈值時間序列的自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)在滯后1階之后迅速趨于零，通過了檢驗，因此可以直接進(jìn)行估計。從自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)的形態(tài)分析，南方績優(yōu)是過程。估計出其方程形式：

由于ut-1前的系數(shù)不顯著，故刪除ut-1項，重新估計方程，得：

從回歸方程中容易看出南方績優(yōu)的預(yù)期月收益率為（0.9545-1）/2×100%=-4.55%。

華夏紅利（160307）從2007年12月到09年11月的凈值時間序列的自相關(guān)函數(shù)并未迅速趨于零，而是在零附近波動，且沒有通過ADF檢驗，故該序列是非平穩(wěn)序列。一階差分△huaxiat后，自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)迅速趨于零，同時通過了檢驗?？梢哉J(rèn)為，華夏紅利的一階差分是過程。估計出其方程形式為：

整理該方程：

華夏紅利在2009年10、11月份月底凈值分別為308.9元和326.3元。利用Eviews軟件預(yù)測得到華夏紅利在2009年12月最后一天凈值的估計值為329.66元，月度收益率1.03%。基金收益無需繳稅，1.03%即是凈收益率。

04通用債為浮動利率債券，票面利率為一年定期存款利率加1.75%，每年的3月31日付息。本期的票面利率應(yīng)該是2009年3月31日的一年期定期存款利率2.25%加上1.75%，即4%。投資者持有5個月，這5個月的收益率為1.67%，扣除20%的債券收益稅，凈收益率1.33%。

農(nóng)行“本利豐”為非保本浮動型人民幣信托理財產(chǎn)品，投資上汽金融轉(zhuǎn)讓的信貸資產(chǎn)，且上汽金融按約定進(jìn)行回購。投資期限為90天（3個月），產(chǎn)品預(yù)期的年化收益率4.80%。該產(chǎn)品的計算較為簡便，每3個月按照復(fù)利計算的收益率為1.19%，同時，銀行理財產(chǎn)品無需繳納所得稅，故該收益率即是凈收益率。

2.3 求解跨時期投資最優(yōu)組合

在計算出各金融產(chǎn)品的預(yù)期收益率之后，即可將投資者的投資目標(biāo)表述成線性規(guī)劃模型的形式。為了簡便起見，首先將預(yù)測收益率為負(fù)數(shù)的南方績優(yōu)從投資組合中剔除。那么，該投資者還有5種產(chǎn)品可以選擇：（1）萬科A（000002）。投資期限為1個月，可循環(huán)持有，月預(yù)期凈收益率0.31%。1元到期可得元。（2）浦發(fā)銀行（600000）。投資期限為1個月，可循環(huán)持有，月預(yù)期凈收益率0.45%。1元到期可得1+0.45% =1.0045元。（3）華夏紅利基金。投資期限為1個月，可循環(huán)申購，月預(yù)期收益率1.03%。1元到期可得1+1.03%=1.0103元。（4）農(nóng)行“本利豐”產(chǎn)品。投資期限為3個月，可循環(huán)購買，3個月預(yù)期收益率1.19%。1元到期可得1+1.19%=1.0119元。（5）04通用債（120482）。投資期限為5個月，這5個月的凈收益率為1.33%。1元到期可得1+1.33%=1.0133元。

將各時期的決策變量及其相應(yīng)的到期收益，可以得到投資者的目標(biāo)：

第0時期的約束條件：用于投資的資金不能超過投資者期初所擁有的閑置資金量1，即：

第1、2、3、4時期的約束條件：用于投資的資金不能超過當(dāng)時由于先期投資到期而回收的資金量，即：

合理性約束：所有決策變量不小于0。

將上述模型表達(dá)式改寫成LINGO程序代碼寫入軟件，就可以得到軟件的計算結(jié)果，包括目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解以及所有決策變量的值。

由此可見，投資者只需要在2009年11月底時將所有資金全部買入華夏紅利基金，到2010年4月底收取利息就能在投資期限結(jié)束時獲得理論上的最大收益，這5個月的收益率為5.26%。

以上投資方案的結(jié)果是投資者無須進(jìn)行組合投資。這只是一個特例。不同的投資者會有不同的備選方案，預(yù)期的收益率也各不相同。方案越多，投資決策也就越復(fù)雜，組合投資就越顯得必要。

3 結(jié)論與建議

3.1 模型實際效果的檢驗與判斷

自2008年9月爆發(fā)全球金融海嘯以來，我國經(jīng)濟(jì)也出現(xiàn)了高位回落的態(tài)勢，股市創(chuàng)出了2007年10月回調(diào)以來的低位。在這樣的背景下，模型的計算結(jié)果建議投資者在2008年10月底購買收益率不俗但風(fēng)險相對較小的企業(yè)債是非常合理的，國內(nèi)無論是交易所還是銀行間債券市場都從那以后經(jīng)歷了一波大的牛市。隨著我國政府相繼許多經(jīng)濟(jì)振興規(guī)劃，采取適度寬松的貨幣政策和積極的財政政策，股市就此見底反彈，大盤連續(xù)的幾波升浪使得浦發(fā)銀行、萬科A等眾多個股具有了相當(dāng)?shù)耐顿Y機(jī)會。在這種情況下，債券的固定收益特性不再具有優(yōu)勢，投資者投資于以上的品種都要比按照模型的計算結(jié)果只投資于債券所獲得的收益要大得多。造成上述結(jié)果的原因并不是金融產(chǎn)品本身的性質(zhì)，而是國家調(diào)控政策、市場的普遍心態(tài)和投資者對經(jīng)濟(jì)形勢的預(yù)期等人為的因素，這些恰是數(shù)理模型難以衡量的。因此，跨時期投資線性規(guī)劃模型達(dá)到了為中小投資者提供投資決策依據(jù)的目的。對于經(jīng)濟(jì)形勢發(fā)生較大轉(zhuǎn)變，政策層面不確定性增大的時期，在運用模型進(jìn)行定量分析的同時，必須結(jié)合定性判斷。

3.2 跨時期投資線性規(guī)劃模型的優(yōu)缺點

模型具有以下優(yōu)點：（1）線性規(guī)劃的方法具有科學(xué)性，克服了單純的定性分析沒有量化指標(biāo)的不足；（2）該模型考慮了對未來金融產(chǎn)品價格的預(yù)測及跨時期的因素，稍加變化即可運用到各種類似的投資組合之中，具有一般性；（3）模型的計算都通過計算機(jī)軟件完成，避免手工運算的繁瑣；（4）計算結(jié)果有一個精確值。

模型的不足在于：（1）該模型對未來金融產(chǎn)品價格及其收益率預(yù)測技術(shù)有很高的要求，因而時間序列計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型預(yù)測的準(zhǔn)確程度決定了按照該模型進(jìn)行投資的成?。唬?）市場上投資者普遍的心態(tài)和預(yù)期、國家宏觀調(diào)控的政策等等，這些無法量化的因素是所有數(shù)理模型難以解釋的，該模型也不例外。

3.3 模型的改進(jìn)

（1）投資者在運用模型時可以增大投資產(chǎn)品可選方案的規(guī)模，利用其計算結(jié)果在更多的備選方案中做出決策，選擇一種或幾種產(chǎn)品進(jìn)行投資，提高模型的使用及參考價值。

（2）在線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)中，可以加入金融產(chǎn)品的風(fēng)險因素，使收益最大與風(fēng)險最小這兩個目標(biāo)同時實現(xiàn)。

當(dāng)然，加入了上述因素之后，模型會更復(fù)雜。尤其是風(fēng)險的衡量不但要計算每一個金融產(chǎn)品價格波動的標(biāo)準(zhǔn)差，而且各投資品種兩兩之間的協(xié)方差也要進(jìn)行計算，計算量大大增加。而且，各產(chǎn)品在投資組合中的權(quán)重正是模型需要求解的，除了某些特殊情況，每一時期各個產(chǎn)品在組合投資中的權(quán)重都在不斷變化，這無疑增加了定義風(fēng)險水平的難度。

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（責(zé)任編輯/易永生）

F224

A

1002－6487（2011）05－0068-04

張鑫（1962-），男，湖南汩羅人，副教授，研究方向：公司經(jīng)理，資本市場。