延樹港，周溪召，高林，陳晶

（1.上海海事大學(xué)a.物流工程學(xué)院；b.商船學(xué)院，上海201306；2.華東理工大學(xué)信息學(xué)院，上海200237）

兩種數(shù)據(jù)校正模型性能的統(tǒng)計(jì)特征分析與比較

延樹港1a，周溪召1a，高林2，陳晶1b

（1.上海海事大學(xué)a.物流工程學(xué)院；b.商船學(xué)院，上海201306；2.華東理工大學(xué)信息學(xué)院，上海200237）

針對(duì)傳統(tǒng)化工數(shù)據(jù)校正模型，文章提出了一種改進(jìn)型校正模型，并對(duì)兩種模型在單一平衡約束的校正效果的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行了定量分析與比較，得出了兩種模型在不同工藝要求下各自的適應(yīng)情況，可為數(shù)據(jù)校正工作的最佳決策提供理論依據(jù)。

數(shù)據(jù)校正；平衡約束；誤差；方差

0 引言

自Kuehn和Davidson提出數(shù)據(jù)校正方法[1]以來(lái)，一直采用在滿足物料、能量等平衡關(guān)系的條件下，以與對(duì)應(yīng)測(cè)量值偏差的平方和最小的解作為校正值，這種校正模型一直沿用至今。目前數(shù)據(jù)校正領(lǐng)域的研究重點(diǎn)多放在如何根據(jù)傳統(tǒng)模型選擇高效的全局解搜索方法，以節(jié)省計(jì)算時(shí)間和提高搜索全局最優(yōu)解得成功率，而對(duì)傳統(tǒng)模型的校正性能很少做定量分析。本文擬在綜合考慮各種影響因素的情況下，提出將平衡關(guān)系加入到校正模型中的一種改進(jìn)模型，并從數(shù)理統(tǒng)計(jì)的角度對(duì)兩種模型進(jìn)行定量分析與比較，以說(shuō)明兩種模型各自所適用的場(chǎng)合。

1 傳統(tǒng)數(shù)據(jù)校正模型簡(jiǎn)介

上世紀(jì)60年代，Kuehn和Davidson用拉格朗日乘子法求解帶線性約束的最小二乘問(wèn)題，從而揭開了工業(yè)過(guò)程數(shù)據(jù)校正的序幕。校正的準(zhǔn)則為：在滿足物料平衡、熱量平衡、化學(xué)反應(yīng)計(jì)量關(guān)系或其它物化關(guān)系的條件下，要求已測(cè)數(shù)據(jù)的校正值與其對(duì)應(yīng)的測(cè)量值的偏差的平方和最小。在傳統(tǒng)模型中，測(cè)量數(shù)據(jù)的校正值嚴(yán)格滿足平衡約束，在采樣數(shù)據(jù)中不存在大誤差的情況下可以實(shí)現(xiàn)良好的校正結(jié)果。但是當(dāng)參與校正的數(shù)據(jù)中局部測(cè)點(diǎn)隨機(jī)誤差分布的方差相對(duì)于其它測(cè)點(diǎn)顯著較大時(shí)，而求解過(guò)程由于必須滿足剛性的約束關(guān)系，導(dǎo)致該測(cè)點(diǎn)誤差被硬性平攤到其它各個(gè)測(cè)點(diǎn)。此時(shí)若采用傳統(tǒng)模型，相當(dāng)于用大部分測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的劣化來(lái)?yè)Q取少數(shù)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的優(yōu)化，從許多工程實(shí)際角度來(lái)看是一種得不償失的校正過(guò)程。許多學(xué)者針對(duì)傳統(tǒng)模型未考慮過(guò)失誤差的問(wèn)題，提出了一些解決辦法。這些方法都是在數(shù)據(jù)校正之前進(jìn)行顯著誤差偵測(cè)和處理[2][3][4][5]，但均無(wú)法確保顯著誤差被準(zhǔn)確無(wú)誤的偵測(cè)，導(dǎo)致依概率出現(xiàn)的大誤差難以有效剔除，這些大誤差對(duì)后續(xù)的校正模型的抗擾性提出了很高的要求，傳統(tǒng)校正模型由于剛性的平衡約束關(guān)系難以適應(yīng)此類情況。

2 改進(jìn)模型的提出與兩種模型的數(shù)學(xué)表述

為了方便統(tǒng)計(jì)分析與比較，設(shè)定如下前提：

（1）不同測(cè)點(diǎn)的測(cè)量誤差相互獨(dú)立；

（2）誤差分布均呈高斯分布，分布參數(shù)因工況各異，分布的對(duì)稱軸為理論真值。

同時(shí)為了分析時(shí)的規(guī)范，對(duì)分析過(guò)程中用到的符號(hào)形式做如下約定：

（1）測(cè)點(diǎn)的理論真值Xo：xo1，xo2，xo3，…，xon，n表示測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)（注：該值在假定傳感器絕對(duì)精準(zhǔn)情況下測(cè)得，現(xiàn)實(shí)工藝過(guò)程中無(wú)法獲得。）；

（2）測(cè)點(diǎn)的采樣值X:x1，x2，x3，…，xn；

（5）測(cè)點(diǎn)的采樣誤差△X=X-Xo:△x1，△x2，△x3，…，△xn；

（6）平衡方程殘差R:r1，r2，r3，…，rn；

（7）約束方程中各測(cè)點(diǎn)的正負(fù)號(hào)表示：bji，表示第j個(gè)方程的第i個(gè)測(cè)點(diǎn)；

2.1 傳統(tǒng)數(shù)據(jù)校正模型的數(shù)學(xué)表述

對(duì)于傳統(tǒng)數(shù)據(jù)校正模型有：

（1）理論平衡式：

（2）實(shí)際平衡式：

（注：由于式中各測(cè)點(diǎn)存在隨機(jī)誤差，所以存在滿足隨機(jī)分布的殘差r）

式(2)-(1)即得到由各測(cè)點(diǎn)誤差引起的平衡約束關(guān)系殘差式:

式(3)表明，各測(cè)點(diǎn)隨機(jī)誤差的代數(shù)和造成了平衡關(guān)系式的殘差，數(shù)據(jù)校正的目的就在于剔除殘差R。而數(shù)據(jù)校正方案優(yōu)劣的本質(zhì)在于在剔除殘差R的過(guò)程中，各個(gè)測(cè)點(diǎn)的采樣誤差是否也隨著校正過(guò)程依一定概率縮減。

（3）校正后的平衡式：

式(4)表明，經(jīng)過(guò)校正處理后得到的值應(yīng)滿足理論平衡約束方程。

式(4)-(2)即得到校正偏移量與殘差相抵的關(guān)系式：

式(5)表明，校正過(guò)程本質(zhì)是抵消殘差，各測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)做相應(yīng)改變使?jié)M足理論平衡關(guān)系式。在最優(yōu)方案中，各測(cè)點(diǎn)校正方向均與減小殘差的方向相一致。若校正方案中出現(xiàn)某兩個(gè)測(cè)點(diǎn)的校正增量相抵消，則此方案不是最佳方案。

綜上所述，傳統(tǒng)校正模型可用如下形式表述：

其中約束條件也可寫作式(4)，兩者等效。

2.2 改進(jìn)模型的提出及數(shù)學(xué)表述

改進(jìn)模型的主要思想是：將約束方程中的所有等式約束轉(zhuǎn)化成一定條件下的不等式約束，即容許等式約束在一定范圍內(nèi)存在殘差，將殘差連同所有的約束關(guān)系放入到校正目標(biāo)函數(shù)當(dāng)中[6]。具體數(shù)學(xué)表述如下：

理論平衡式與實(shí)際平衡式：同(1)和(2)式。

平衡關(guān)系殘差式：

校正后的平衡式：

式(8)—(10)即得到校正偏移量與殘差相抵的關(guān)系式：

改進(jìn)模型中△r贊為殘差偏移量。與傳統(tǒng)模型區(qū)別在于△r贊并非完全抵消掉r。這是由于傳統(tǒng)校正模型為等式約束，要求校正解嚴(yán)格滿足理論平衡約束方程，而新校正模型則為不等式約束，允許校正處理之后依然存留部分偏差。

由此，新校正模型可用如下形式表述：

由于改進(jìn)模型的約束關(guān)系實(shí)際為不等式約束，為了方便分析，需要從形式上將式(3)～(9)改變成傳統(tǒng)模型的形式，具體操作如下。

這樣，式(12)從結(jié)構(gòu)形式上與傳統(tǒng)模型相同，只是變量的向量多出一維，意味著解空間多出一個(gè)自由度，而全局最優(yōu)的解很可能在新拓寬的解空間當(dāng)中。

3 兩種模型性能的定量分析與比較

本文著重論述在單一約束關(guān)系情況下兩種模型校正結(jié)果的統(tǒng)計(jì)特性。在單一約束情況下所有測(cè)點(diǎn)在式中的代數(shù)地位完全并列。在約束為“總校正效果剛好平衡掉方程殘差”的情況下，要求每個(gè)測(cè)點(diǎn)為了“平衡掉殘差”這個(gè)目的貢獻(xiàn)一份力量，并且模型校正目標(biāo)函數(shù)的實(shí)質(zhì)要求是在總貢獻(xiàn)固定（為相對(duì)常數(shù)r）的情況下每個(gè)測(cè)點(diǎn)貢獻(xiàn)的力量要盡可能的小。由此產(chǎn)生一個(gè)命題：每個(gè)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的貢獻(xiàn)大小相同，并且貢獻(xiàn)的方向均為抵消殘差的方向（注：抵消殘差的方向相同不等同于數(shù)據(jù)在增減方向上相同）。如果該命題成立，則每個(gè)測(cè)點(diǎn)的校正偏移量就可以用殘差的線性函數(shù)定量的表達(dá)，每個(gè)測(cè)點(diǎn)校正之后的誤差特性也可以定量的表達(dá)和討論。以下為該命題的數(shù)學(xué)表述與論證過(guò)程：

當(dāng)校正偏移量為-r時(shí)使fmin最小的解滿足

將b1i△xi代入得到：

所以傳統(tǒng)模型求得全局最優(yōu)解時(shí)，每個(gè)測(cè)點(diǎn)的校正偏移量為-r/n（負(fù)號(hào)表示與殘差抵消的方向，即為抵消殘差做積極貢獻(xiàn)的方向）。由上述結(jié)論可知，只要能將殘差r的數(shù)值情況定量的表達(dá)出來(lái)，就可以定量的表達(dá)校正偏移量的數(shù)字特征。殘差r是平衡關(guān)系中各測(cè)點(diǎn)誤差的線性組合，各測(cè)點(diǎn)誤差是滿足相互獨(dú)立的、參數(shù)各異的高斯分布：N(μi，σ2i)。的分布參數(shù)滿足：

3.1 傳統(tǒng)模型中的數(shù)字特征

3.2 改進(jìn)模型中的數(shù)字特征

由前述公式可知：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)仁阶筮吀黜?xiàng)均相等且均等于-r/(n+1)時(shí)，fmin有最小值，即當(dāng)贊=r/(n+1)時(shí)，fmin有最小值。關(guān)于其中的符號(hào)，也可從工程的角度來(lái)做解釋：由于殘差r在校正過(guò)程中呈縮小趨勢(shì)，校正后的殘差贊為[0，r]區(qū)間中較為接近0點(diǎn)的基值，所以與r同向，而校正偏移量△贊由于是抵消r的作用，所以贊與r反向。由于

3.3 兩種模型數(shù)字特征的定量比較

3.3.1 所有測(cè)點(diǎn)方差相等或近似的情況（無(wú)局部測(cè)點(diǎn)方差較大的情況）

當(dāng)所有測(cè)點(diǎn)方差均相等，即σ1=σ2=…=σn=σ，則:

由圖1可知,隨測(cè)點(diǎn)數(shù)增加，兩種模型計(jì)算結(jié)果均向σ趨近，在達(dá)到0.8σ后增幅極小，并且兩種方法從n=3開始差別極小，即在測(cè)點(diǎn)采樣值標(biāo)準(zhǔn)差相等或相近的情況下，兩種模型處理結(jié)果的數(shù)字特征基本基本相同。

3.3.2 局部測(cè)點(diǎn)方差較大的情況

當(dāng)局部測(cè)點(diǎn)誤差的方差顯著大于其他測(cè)點(diǎn)，即

(1)對(duì)于方差較大測(cè)點(diǎn)的分析

傳統(tǒng)模型校正結(jié)果的方差特征：

由圖2可見，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差倍數(shù)k分別等于2、3、5時(shí)（此時(shí)該測(cè)點(diǎn)初始方差分別為其他測(cè)點(diǎn)的4、9、25倍，具有廣泛的代表性），隨著測(cè)點(diǎn)數(shù)的增加，在達(dá)到0.8σ之后增幅趨緩，即對(duì)于方差顯著較大的測(cè)點(diǎn)，傳統(tǒng)模型約以0.7～0.8的比例將該點(diǎn)隨機(jī)誤差減小。

改進(jìn)模型校正結(jié)果的方差特征：

根據(jù)式（21）與（22），兩種模型的方差差異如下:

由圖3可見，就該測(cè)點(diǎn)而言，傳統(tǒng)模型校正后的誤差小于改進(jìn)模型。這是由于傳統(tǒng)模型為了保證嚴(yán)格的平衡約束關(guān)系，將該測(cè)點(diǎn)的誤差硬性分?jǐn)偟狡渌麥y(cè)點(diǎn)上，而改進(jìn)模型則相對(duì)較好的防止了大誤差測(cè)點(diǎn)的誤差擴(kuò)散。

(2)對(duì)于其它測(cè)點(diǎn)的分析

傳統(tǒng)模型校正結(jié)果的方差特征：

改進(jìn)模型校正結(jié)果的方差特征：

根據(jù)式（24）與（25），兩種模型的方差差異如下:

由圖5可見，對(duì)于其他測(cè)點(diǎn)，傳統(tǒng)模型校正后誤差的方差均大于改進(jìn)模型，證實(shí)了傳統(tǒng)模型將大誤差測(cè)點(diǎn)的誤差分?jǐn)偟狡渌麥y(cè)點(diǎn)上，使整個(gè)系統(tǒng)的測(cè)點(diǎn)均受到明顯污染，而改進(jìn)模型則相對(duì)穩(wěn)健一些。

4 結(jié)論

本文應(yīng)用概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法較為詳細(xì)地定量分析并推理了兩種校正模型在單一約束關(guān)系下采樣數(shù)據(jù)隨機(jī)誤差分布情況不同時(shí)的校正效果，根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)理論得出的定量結(jié)論可以看出，改進(jìn)模型以一定理論和操作上的優(yōu)勢(shì)：

（1）方便運(yùn)用啟發(fā)式算法進(jìn)行可行解的搜索。傳統(tǒng)模型求解過(guò)程要求校正解嚴(yán)格滿足平衡約束關(guān)系。當(dāng)平衡關(guān)系中部分解向量確定后，剩余向量由于與這些向量之間存在由平衡約束關(guān)系決定的相關(guān)關(guān)系而被確定下來(lái)，被隨之確定的向量可能嚴(yán)重偏離原始采樣值，卻無(wú)法自行糾正。這使得求解過(guò)程捉襟見肘，實(shí)際操作中很難顧全所有變量。而改進(jìn)模型把等式約束轉(zhuǎn)化成為不等式約束，并將不等式的“傾斜程度”作為優(yōu)化目標(biāo)中的一個(gè)參考量，不但與傳統(tǒng)模型等效，而且在生成解向量的過(guò)程中，維與維之間互不約束，拓展了求解空間，使求解過(guò)程更容易運(yùn)用各種優(yōu)化算法，只在評(píng)判解的適應(yīng)度環(huán)節(jié)中將劣質(zhì)解篩除。

（2）避免個(gè)別測(cè)點(diǎn)依概率產(chǎn)生的大誤差過(guò)分污染其他測(cè)點(diǎn)。傳統(tǒng)校正方法會(huì)有預(yù)處理環(huán)節(jié)，校正之前對(duì)顯著誤差進(jìn)行甄別，但無(wú)法確保能將所有顯著誤差甄別出來(lái)。當(dāng)甄別后的數(shù)據(jù)中依然存有顯著誤差時(shí)，如果采用傳統(tǒng)模型，由于必須滿足剛性的約束關(guān)系，誤差無(wú)法避免地平攤到其他測(cè)點(diǎn)中。改進(jìn)模型的優(yōu)勢(shì)便在于，平衡約束將發(fā)揮積極的“吸能”效用，將誤差的一部分吸入不等式約束關(guān)系中，以避免其他測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)受到直接的沖擊。

綜上所述，通過(guò)對(duì)兩種模型性能的統(tǒng)計(jì)特征定量分析，可知改進(jìn)模型更易于進(jìn)行編程求解，在各測(cè)定誤差統(tǒng)計(jì)特征相近時(shí)與傳統(tǒng)模型等效，并在局部測(cè)點(diǎn)誤差較大時(shí)，校正效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)模型,可為化工生產(chǎn)決策提供更加科學(xué)的決策支持。

[1]Kuehn,D.R,Davidson H.Computer Control:Mathematics of Control [J].Chem Eng Prog,1961,7(6).

[2]Madron F,Veverka V[J].AIChEJ.,1992,38(2).

[3]袁永根.化工過(guò)程測(cè)量數(shù)據(jù)校正的序貫?zāi)K算法[R].第四屆化工過(guò)程的數(shù)學(xué)模擬分析年會(huì),1993.

[4]王希若,榮岡.高置信度的顯著誤差綜合檢測(cè)法[J].儀器儀表學(xué)報(bào), 2000,21(2).

[5]葉蕾,侍洪波.動(dòng)態(tài)過(guò)程的數(shù)據(jù)校正和過(guò)失誤差的偵破[J].世界儀表與自動(dòng)化,2005，（9）.

[6]陳晶.電廠數(shù)據(jù)在線校正系統(tǒng)建模及誤差特征的研究[D].華東理工大學(xué)碩士學(xué)位論文,2009.

（責(zé)任編輯/亦民）

TP274

A

1002-6487（2011）05-0004-04

延樹港（1970-），男，山東東營(yíng)人，博士研究生，研究方向：交通信息數(shù)據(jù)處理。