周 峰，張學(xué)良，賈庭芳，溫淑花，吳 量

（太原科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，太原 030024）

在機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)中，與產(chǎn)品相關(guān)的確定性因素和不確定因素常因?yàn)闀r(shí)間和環(huán)境的變化而發(fā)生細(xì)微變化，隨之影響了產(chǎn)品的質(zhì)量，降低了產(chǎn)品的可靠性及使用壽命［1］。常規(guī)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用了概率理論，將影響產(chǎn)品質(zhì)量的確定性因素和不確定因素處理成不等式概率約束，以此保證其設(shè)計(jì)要求的可靠度。然而，常規(guī)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)并未能有效地反映出當(dāng)產(chǎn)品的某些因素在制造和使用的過(guò)程中發(fā)生變化時(shí)，其質(zhì)量的可靠度也受到了影響。本文在可靠性理論和容差技術(shù)的基礎(chǔ)上引入6σ穩(wěn)健設(shè)計(jì)理論，用以彌補(bǔ)前者的不足之處，在保證要求的可靠度的前提下，使其可靠性對(duì)這些因素的微變不十分敏感，提高產(chǎn)品性能的穩(wěn)健性。

1 6σ的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)理念

1.1 6σ穩(wěn)健設(shè)計(jì)概念

穩(wěn)健設(shè)計(jì)法又稱三次設(shè)計(jì)法［2］，是使設(shè)計(jì)的產(chǎn)品在制造和使用過(guò)程中，當(dāng)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)有關(guān)參數(shù)發(fā)生變化，或者在規(guī)定的使用期內(nèi)其結(jié)構(gòu)發(fā)生老化和變質(zhì)時(shí)均能保持產(chǎn)品功能穩(wěn)定的一種工程設(shè)計(jì)方法?；诖?，摩托羅拉公司為提高產(chǎn)品質(zhì)量，引入了一種現(xiàn)代質(zhì)量管理方法——6σ穩(wěn)健設(shè)計(jì)［3］。σ即為概率論中的標(biāo)準(zhǔn)差，用以描述結(jié)構(gòu)參數(shù)偏離程度。6σ穩(wěn)健設(shè)計(jì)結(jié)合了可靠性理論和容差模型設(shè)計(jì)方法，它將產(chǎn)品質(zhì)量均值的波動(dòng)限制在6σ范圍內(nèi)，在滿足各設(shè)計(jì)要求的情況下，能使得產(chǎn)品的可靠度達(dá)到99.9999998%.實(shí)質(zhì)是在優(yōu)化過(guò)程中，由于結(jié)合了可靠性理論和容差設(shè)計(jì)模型，使得響應(yīng)均值遠(yuǎn)離了約束，響應(yīng)偏差減小。該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法考慮了隨機(jī)變量的微變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響。在優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的過(guò)程中，能夠?qū)⒂绊懏a(chǎn)品質(zhì)量的相關(guān)因素控制在許可的范圍內(nèi)。不同σ水平對(duì)應(yīng)不同的可靠度［4］和每百萬(wàn)件產(chǎn)品缺陷數(shù)，見(jiàn)表1.

表1 各σ水平對(duì)應(yīng)的可靠性和每百萬(wàn)件產(chǎn)品缺陷數(shù)Tab.1 Sigma level corresponding with the reliability and product defects per million

1.2.1 可靠性概率常規(guī)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

式中:F（x1，x2，x3，…，xn）—— 常規(guī)目標(biāo)函數(shù)；

P{·}——約束條件的概率表達(dá)；

g（x）——不等式約束函數(shù)；

h（x）——等式約束函數(shù)；

ε—— 微量，ε ＞ 0；

Rg，Rh——不同約束條件的可靠度；

XL，i，XU，i—— 隨機(jī)變量 x 的上下限。

1.2.2 6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

式中:m——約束條件數(shù)；

n——σ 水平；

w1，w2—— 權(quán)因子；

XL，i，XU，i—— 隨機(jī)變量 xi的上下限；

μxi—— 隨機(jī)變量 xi的均值；

μy——目標(biāo)函數(shù)y的均值；

μgi——不同約束條件的均值；

σxi——隨機(jī)變量xi的標(biāo)準(zhǔn)差；

σy——目標(biāo)函數(shù)y的標(biāo)準(zhǔn)差；

σgj——不同約束條件的標(biāo)準(zhǔn)差。

當(dāng)n=6時(shí)，即為6σ穩(wěn)健設(shè)計(jì)。與常規(guī)確定性優(yōu)化方法相比，6σ穩(wěn)健設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)，加入了目標(biāo)和約束條件的標(biāo)準(zhǔn)差。該方法不但能尋找到目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解，而且還使得目標(biāo)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)變得不敏感。對(duì)于各約束，加入約束函數(shù)和設(shè)計(jì)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，可使得最優(yōu)點(diǎn)在搜索的過(guò)程中遠(yuǎn)離約束邊界，提升為6σ水平，以有效地增大可靠度，然而，設(shè)計(jì)參數(shù)的可行域也隨之而減小范圍。因此，要適當(dāng)擴(kuò)大設(shè)計(jì)參數(shù)可行域，就有必要在目標(biāo)函數(shù)中加入約束條件的標(biāo)準(zhǔn)差。

1.2.3 均值和方差的近似計(jì)算

當(dāng)確定性因素xi～N（）和不確定性因素～N（）彼此獨(dú)立時(shí)，將設(shè)計(jì)函數(shù)在均值處展開(kāi)，取二次項(xiàng)可得目標(biāo)函數(shù)或約束函數(shù)均值和方差的計(jì)算公式［2］:

2 PSO粒子群優(yōu)化算法

無(wú)論何種優(yōu)化設(shè)計(jì)模型都必須采用合適的優(yōu)化算法來(lái)獲取最佳的參數(shù)值以達(dá)到模型設(shè)計(jì)的最初目的。文獻(xiàn)［5］表明，如果目標(biāo)函數(shù)和約束條件的非線性程度高些，現(xiàn)有的一些數(shù)值優(yōu)化軟件（如MATLAB）很難求得最優(yōu)解。很多優(yōu)化設(shè)計(jì)研究者也都是自行編制適于具體問(wèn)題的算法來(lái)求搜索最優(yōu)解。因此，本文中將采用粒子群算法來(lái)搜索最優(yōu)解。

粒子群算法［6］按照個(gè)體（粒子）的適應(yīng)度函數(shù)的大小進(jìn)行調(diào)整，并利用“群體”和“進(jìn)化”的概念［7］，讓每個(gè)粒子在n維搜索空間中以一定的速度飛行，使每個(gè)粒子的位置不斷發(fā)生變化，其飛行速度通過(guò)粒子本身飛行過(guò)的最好位置和群體中粒子的最好位置進(jìn)行動(dòng)態(tài)的調(diào)整。

設(shè)Xi=（xi1xi2…xin）為粒子i的在搜索空間中的位置，Vi=（νi1νi2…νin）為粒子 i的飛行速度，Pi=（pi1pi2…pin）為粒子i曾經(jīng)的最好適應(yīng)值位置，即粒子在其飛行歷史中的最佳位置。

粒子飛行速度及其空間位置迭代方程可表示為:

式中，pij（t）為群體的最佳位置。下標(biāo)“j”表示粒子的第“j”維；“i”表示粒子i；t表示第 t代；c1，c2加速常數(shù)，一般取值0 ～ 2，r1～ U（0，1），r2～ U（0，1）為彼此獨(dú)立的隨機(jī)函數(shù)。

PSO粒子群算法初始化步驟:

（1）給出粒子群的數(shù)量N；

（2）在［-xmax，xmax］范圍里各粒子依照均勻分布產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的粒子位置xij；

（3）在［-νmax，νmax］范圍里各粒子依照均勻分布產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的粒子飛行速度νij；

（4）對(duì)任意 i，設(shè) yi=xi.

算法流程:

（1）根據(jù)上述過(guò)程，對(duì)粒子群的空間位置和飛行速度進(jìn)行隨機(jī)的初始化；

（2）計(jì)算各粒子的適應(yīng)函數(shù)值的大?。?/p>

（3）將各個(gè)粒子的適應(yīng)值與其歷史中的最佳位置的適應(yīng)值做比較。如果較好，即對(duì)單目標(biāo)優(yōu)化而言，使目標(biāo)值較小，且符合約束函數(shù)，則將該粒子作為當(dāng)前的最佳位置；

（4）將各粒子的適應(yīng)值與群體的最佳位置的適應(yīng)值做比較。同（3），如果較好，則將其作為當(dāng)前群體的最佳位置；

（5）據(jù)式（5），式（6）對(duì)粒子的飛行速度和空間位置進(jìn)行迭代調(diào)整；

（6）群體中最佳位置的最優(yōu)值若沒(méi)有達(dá)到預(yù)計(jì)中的目標(biāo)最小值，則返回（2）。

3 實(shí)例研究及結(jié)果分析

圖1 圓柱螺旋壓縮彈簧的工作圖Fig.1 The working diagram of cylindrical helical compression spring

3.1 算例

設(shè)計(jì)一圓柱螺旋壓縮彈簧［7］（見(jiàn)圖1），要求其質(zhì)量最小。彈簧材料為65 Mn，最大工作載荷Pmax為40 N，最小工作載荷為0 N，載荷變換頻率fr為20 Hz，彈簧壽命為104h，彈簧鋼絲直徑d的取值范圍為小于4 mm大于1 mm，中徑D的取值范圍為小于30 mm大于10 mm，工作圈數(shù)n不小于4.5圈，彈簧旋繞比不應(yīng)小于4，彈簧兩端固定。工作溫度為50℃，彈簧變形量不小于10 mm.

3.2 常規(guī)優(yōu)化模型的建立

3.2.1 確定設(shè)計(jì)變量

影響彈簧質(zhì)量參數(shù)有彈簧鋼絲直徑d，彈簧中徑D和彈簧有效圈數(shù)n.它們都是彼此獨(dú)立的參數(shù)，故取這三個(gè)參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，按連續(xù)設(shè)計(jì)變量處理:

3.2.2 建立目標(biāo)函數(shù)

要優(yōu)化的單目標(biāo)是彈簧重量，要求其最小，圓柱螺旋彈簧的重量可表示為:

式中，r——彈簧材料密度，對(duì)于鋼材r=7.8×10-6kg/mm3

n1—— 死圈數(shù)，常數(shù) n1=1.5 ～ 2.5，現(xiàn)取 n1=2.

將已知參數(shù)代入公式，整理得目標(biāo)函數(shù)為:

3.2.3 約束條件

（1）彈簧的最大切應(yīng)力發(fā)生在彈簧內(nèi)側(cè)，因此，強(qiáng)度條件約束可表示為:

（2）一般彈簧在確定載荷下會(huì)產(chǎn)生一些形變，因此，它需要滿足的剛度條件為:

其中，kF——彈簧剛度。

（3）穩(wěn)定性條件約束［8］

為避免發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象，可采取控制高徑比。對(duì)兩端固定的彈簧，一般穩(wěn)定性指標(biāo)b≤5.3，用公式表示為:

其中，H=540d4/D2+1.5d

（4）兩端固定的彈簧不共振條件約束為:

其中，fb—— 自振頻率，fb=3.356 × 105d/nD2

（5）彈簧旋繞比C=D/d，故約束條件為:

其中，依據(jù)題目取C=4.0.

（6）對(duì) d，n，D 的限制

由dmin≤d≤dmax，nmin≤n≤nmax，Dmin≤D≤Dmax，可得約束條件:

3.3 6σ穩(wěn)健優(yōu)化模型的建立

在常規(guī)模型的基礎(chǔ)上，可以很方便建立6σ穩(wěn)健優(yōu)化模型，根據(jù)式（7）確定變量如下:

因此，建立穩(wěn)健優(yōu)化模型如式（16）所示。其中，w1，w2據(jù)實(shí)例情況分別取為0.35，0.65.

表2 圓柱螺旋彈簧優(yōu)化計(jì)算結(jié)果Tab.2 Experimental results of cylindrical helical spring optimization

3.4 優(yōu)化方法及結(jié)果分析

根據(jù)建立的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型及6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，采用粒子群智能優(yōu)化方法進(jìn)行尋優(yōu)，并利用Isight集成MATLAB平臺(tái)進(jìn)行可靠度分析。表2給出了常規(guī)優(yōu)化方法和6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的對(duì)比。

4 結(jié)論

6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)是融合了可靠性理論和基于容差模型的穩(wěn)健設(shè)計(jì)理論，充分考慮了有關(guān)產(chǎn)品的確定性和不確定因素對(duì)產(chǎn)品性能的影響，將設(shè)計(jì)提高到了6σ水平，使其可靠度達(dá)到了近100%，提升了產(chǎn)品性能在這些因素發(fā)生變化時(shí)的不敏感性。將該方法應(yīng)用于圓柱螺旋彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到了很好的設(shè)計(jì)結(jié)果。與常規(guī)優(yōu)化方法結(jié)果相比，彈簧的可靠性和穩(wěn)健性都得到了較大的提高。

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