陳仕必 曾以成 徐茂林 陳家勝

1)(湘潭大學(xué)材料與光電物理學(xué)院，湘潭 411105)

2)(北京信息科技大學(xué)，北京 100101)

用多項(xiàng)式和階躍函數(shù)構(gòu)造網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子及其電路實(shí)現(xiàn)*

陳仕必曾以成1)徐茂林2)陳家勝1)

1)(湘潭大學(xué)材料與光電物理學(xué)院，湘潭 411105)

2)(北京信息科技大學(xué)，北京 100101)

(2010年4月10日收到;2010年6月4日收到修改稿)

提出一種利用多項(xiàng)式和階躍函數(shù)構(gòu)造N×M渦卷的構(gòu)造方法.利用蔡氏電路，傳統(tǒng)的利用多項(xiàng)式函數(shù)只能產(chǎn)生雙渦卷、三渦卷，在此基礎(chǔ)上，通過(guò)多項(xiàng)式平移得到相空間x方向的多渦卷，再通過(guò)多項(xiàng)式與階躍函數(shù)組合來(lái)擴(kuò)展相空間中指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)，使得多渦卷向y方向延伸，從而生成網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子.該構(gòu)造方法的主要特征是通過(guò)光滑曲線和非光滑曲線的組合生成網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子，能通過(guò)調(diào)整自然數(shù)N和M的值實(shí)現(xiàn)平面網(wǎng)格任意渦卷混沌吸引子陣列.理論分析、數(shù)值模擬和電路仿真證實(shí)了方法的可行性.

網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子，蔡氏電路，階躍函數(shù)，電路實(shí)現(xiàn)

PACS:05.45.Gg，05.45.Pq，05.45.Vx

1.引 言

近年來(lái)，由于單方向多渦卷混沌吸引子復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)特性，以及在保密通信和信息隱藏等領(lǐng)域的應(yīng)用前景，已逐步成為混沌研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn).相對(duì)于分?jǐn)?shù)階多渦卷系統(tǒng)［1—3］，整數(shù)階多渦卷系統(tǒng)由于成熟的理論基礎(chǔ)和有效的數(shù)學(xué)工具的支撐，引起了學(xué)者們極大的興趣和廣泛的關(guān)注，已有大量的文獻(xiàn)報(bào)道了相關(guān)結(jié)果［4—16］.1993年，Suyken等［4］成功地構(gòu)造了單方向的多渦卷系統(tǒng).之后人們?cè)贚orenz系統(tǒng)［5］、Chen系統(tǒng)［6］、Jerk系統(tǒng)［7］和超混沌系統(tǒng)［8，9］等各種不同的混沌系統(tǒng)基礎(chǔ)上構(gòu)造了多渦卷混沌吸引子.但所得的多渦卷只在一個(gè)方向上，而且渦卷數(shù)目有限.而實(shí)際的應(yīng)用往往需要多渦卷混沌吸引子向平面和立體延伸.

自2002年Yalcin等［17］成功地構(gòu)造了網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng)以來(lái)，人們相繼報(bào)道了許多新型網(wǎng)格多渦卷系統(tǒng)，如網(wǎng)格多環(huán)面系統(tǒng)、網(wǎng)格多渦卷蔡氏系統(tǒng)、三維多渦卷時(shí)滯系統(tǒng)、多方向分布多渦卷混沌系統(tǒng)等［18—27］，禹思敏等［24，25］報(bào)道了這方面最新的研究結(jié)果.多渦卷混沌吸引子，其關(guān)鍵因素在于非線性函數(shù)的構(gòu)造上，通常采用的構(gòu)造方法有分段線性函數(shù)法、正弦函數(shù)法、時(shí)滯函數(shù)法、吸引排斥函數(shù)法、飽和函數(shù)法和雙曲線函數(shù)法等［4—27］.而生成網(wǎng)格多渦卷所用到的構(gòu)造函數(shù)多為非光滑函數(shù)的組合，其原因在于利用非光滑曲線如分段線性函數(shù)、時(shí)滯函數(shù)來(lái)組合時(shí)，設(shè)計(jì)思路簡(jiǎn)單，同時(shí)利用多個(gè)折點(diǎn)可以實(shí)現(xiàn)混沌控制.但折點(diǎn)電壓計(jì)算繁瑣，需要電路元件較多、電路實(shí)現(xiàn)比較復(fù)雜.如果用光滑曲線構(gòu)造雖然不便于利用多個(gè)折點(diǎn)實(shí)現(xiàn)混沌控制，但是很容易彌補(bǔ)后者的不足.

本文在利用多項(xiàng)式構(gòu)造只能得到雙渦卷和三渦卷混沌吸引子的基礎(chǔ)上［28，29］，運(yùn)用多項(xiàng)式平移，在蔡氏系統(tǒng)基礎(chǔ)上成功實(shí)現(xiàn)了單方向的多渦卷混沌吸引子，之后通過(guò)與階躍函數(shù)的組合，使得多渦卷向平面上延伸，從而得到網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子.并分析該網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性，包括平衡點(diǎn)、分岔圖、最大李氏指數(shù)譜.在理論分析和數(shù)值模擬的基礎(chǔ)上，進(jìn)行混沌電路的設(shè)計(jì)和仿真，證實(shí)數(shù)值模擬和電路仿真結(jié)果的一致性.

2.構(gòu)造網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng)

在文獻(xiàn)［28，29］的基礎(chǔ)上，采用多項(xiàng)式平移的方法成功構(gòu)造單方向多渦卷混沌吸引子，其無(wú)量綱狀態(tài)方程為

式中α=15.2，β=18.9，ξ=0.05—1.9為控制參數(shù)，f(x)=aφ(x)+bφ3(x)，當(dāng)φ(x)選為

系統(tǒng)在x軸方向產(chǎn)生(2N+2)渦卷混沌吸引子.當(dāng)φ(x)選為系統(tǒng)在x軸方向產(chǎn)生(2N+1)渦卷混沌吸引子.

令N=1，ξ=1，a=-0.25，b=0.35.根據(jù)(1)和(2)式以及(1)和(3)式分別得4渦卷和3渦卷混沌吸引子的數(shù)值模擬結(jié)果，如圖1(a)，(b)所示.

研究表明，如果在(1)式中加入一階躍函數(shù)f(y)，可以使多渦卷向y方向延伸，從而得到N×M網(wǎng)格多渦卷，其無(wú)量綱方程式如下:

當(dāng)f(y)選為

系統(tǒng)能在y軸方向上產(chǎn)生(2M+1)渦卷.當(dāng)f(y)選為

系統(tǒng)能在y軸方向上產(chǎn)生(2M)渦卷.

圖1 單方向多渦卷混沌吸引子 (a)4渦卷混沌吸引子，(b) 3渦卷混沌吸引子

注意到用(2)—(6)式生成網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子時(shí)，網(wǎng)格渦卷的數(shù)量由f(x)和f(y)的具體形式及參數(shù)決定，根據(jù)(2)，(3)式和(5)，(6)式的不同組合，結(jié)合(4)式可以產(chǎn)生任意的N×M網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子.例如，令N=2，M=1，參數(shù)選擇:ξ= 1，a=-0.25，b=0.35，A2=0.2，分別得6×3，5×4網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子的數(shù)值模擬結(jié)果如圖2(a)，(b)所示.

3.系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

下面分析網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子的基本動(dòng)力學(xué)特性.令(4)式中的，得平衡點(diǎn)方程為

圖2 網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子 (a)6×3網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子，(b)5×4網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子

式中取典型值ξ=1.0時(shí)，以3×2網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子為例，得x—y相平面上的平衡點(diǎn)分布如圖3所示，圖中用符號(hào)“×”表示指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)，注意到指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)共有3×2個(gè)，每個(gè)對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)渦卷，故網(wǎng)格渦卷的數(shù)量也為3×2個(gè).

下面分析控制參數(shù) ξ，A2的物理意義，根據(jù)(2)—(6)式及圖3，參數(shù)A2可控制f(y)的高度和寬度，從而控制平衡點(diǎn)的相對(duì)位置以及渦卷的形狀與大小，這對(duì)實(shí)際電路的設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)是很有價(jià)值的.仿真結(jié)果表明，隨著渦卷數(shù)量的增加，狀態(tài)變量會(huì)超出有源器件(如運(yùn)算放大器等)的動(dòng)態(tài)范圍，可通過(guò)調(diào)整A2解決這一問(wèn)題.另一方面，參數(shù)ξ可控制平衡點(diǎn)x方向的位置，隨著參數(shù)ξ的變化，系統(tǒng)從倍周期分岔進(jìn)入混沌狀態(tài).因此，ξ是生成網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子的重要參數(shù)，一般選取 ξ=0.05— 1.9，為了便于生成網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子以及電路實(shí)現(xiàn)，選取典型參數(shù)A2=0.2，ξ=1.0.

圖3 3×2網(wǎng)格多渦卷平衡點(diǎn)分布

根據(jù)(2)—(6)式，得指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)的Jacob矩陣為對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式為λ3+(1-2ξαa)λ2+(β-α-2ξαa)λ-2ξαβa=0，令α=15.2，β=18.9，ξ=1.0，a=-0.25，得特征值為 γ=-9.0942，σ±ωj= 0.2471±3.9666j，說(shuō)明圖3中的標(biāo)記為“×”的平衡點(diǎn)為指標(biāo)2的鞍焦點(diǎn).

圖4 分岔圖

根據(jù)(4)式，計(jì)算隨控制參數(shù)ξ變化時(shí)網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子的分岔圖與最大李亞普洛夫指數(shù)分別如圖4和圖5所示，證實(shí)了網(wǎng)格多渦卷蔡氏系統(tǒng)當(dāng)控制參數(shù)ξ∈［0.19，0.67］∪［0.76，1.49］處于混沌狀態(tài).

圖5 最大李氏指數(shù)譜

4.網(wǎng)格多渦卷電路設(shè)計(jì)

4.1.多項(xiàng)式函數(shù)發(fā)生器的電路設(shè)計(jì)

根據(jù)(2)式，以6×3網(wǎng)格多渦卷混沌電路為例，設(shè)計(jì)多項(xiàng)式f(x)發(fā)生器，如圖6所示，圖中取Ra=1 kΩ，Rc=R10=R11=R13=R=10 kΩ，運(yùn)放采用AD712，乘法器采用 AD633.電源電壓 E=±15 V，電壓飽和值±，即 R9=40 kΩ，R12=28.6 kΩ，Rb= 158.8 kΩ.當(dāng)增加輸入端運(yùn)放數(shù)量到2N時(shí)，同時(shí)運(yùn)

圖6 6×3渦卷混沌電路的多項(xiàng)式函數(shù)發(fā)生器

圖7 5×4渦卷混沌電路的多項(xiàng)式函數(shù)發(fā)生器

根據(jù)(3)式，得5×4多渦卷混沌電路的多項(xiàng)式函數(shù)發(fā)生器f(x)如圖7所示，當(dāng)增加輸入端運(yùn)放數(shù)量到2N-1時(shí)，同時(shí)運(yùn)放輸入電壓按=±(2i)×0.85(i=0，1，…，N)增加時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)在x軸方向產(chǎn)生(2N+1)渦卷混沌吸引子.

4.2.階躍函數(shù)發(fā)生器的電路設(shè)計(jì)

根據(jù)(5)式，以6×3網(wǎng)格多渦卷混沌電路為例，設(shè)計(jì)階躍函數(shù)f(y)產(chǎn)生器，如圖8所示，圖中取Rc=1 kΩ，R為反相器電阻，R=10 kΩ.則，所以 Rd=67.5 kΩ.當(dāng)增加輸入端運(yùn)放數(shù)量到2M時(shí)，同時(shí)運(yùn)放輸入電壓按±(2j+ 1)A2(j=0，1，…，M-1)增加時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)在y軸方向產(chǎn)生(2M+1)渦卷混沌吸引子.

圖8 6×3渦卷混沌電路的階躍函數(shù)發(fā)生器

根據(jù)(6)式，得5×4網(wǎng)格多渦卷混沌電路的階躍函數(shù)f(y)，如圖9所示.當(dāng)增加輸入端運(yùn)放數(shù)量到(2M-1)時(shí)，同時(shí)運(yùn)放輸入電壓按±(2j)A2(j=0，1，…，M-1)增加時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)在y軸方向產(chǎn)生(2M)渦卷混沌吸引子.

圖9 5×4渦卷混沌電路的階躍函數(shù)發(fā)生器

4.3.基于無(wú)量綱方程的網(wǎng)格多渦卷蔡氏電路設(shè)計(jì)

圖10 基于無(wú)量綱狀態(tài)方程的網(wǎng)格多渦卷蔡氏電路

5.Pspice仿真

將圖6的輸出信號(hào)-f(x)和輸入信號(hào)-x與圖10的輸入信號(hào) -f(x)和輸出信號(hào) -x相連，將圖8的輸出信號(hào)-f(y)，f(y)和輸入信號(hào)y與圖10的輸出信號(hào)-f(y)，f(y)和輸入信號(hào)y相連，得到6× 3網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子的電路仿真結(jié)果如圖11所示.將圖7的輸出信號(hào)-f(x)和輸入信號(hào)-x與圖10的輸入信號(hào)-f(x)和輸出信號(hào)-x相連，將圖9的輸出信號(hào)-f(y)，f(y)和輸入信號(hào)y與圖10的輸出信號(hào)-f(y)，f(y)和輸入信號(hào)y相連，得到5×4網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子的電路仿真結(jié)果如圖11所示.由此可見，電路仿真結(jié)果和計(jì)算模擬是完全一致的.

圖11 6×3網(wǎng)格多渦卷的電路仿真

圖12 5×4網(wǎng)格多渦卷的電路仿真

6.結(jié) 論

提出了一種利用多項(xiàng)式和階躍函數(shù)構(gòu)造N×M渦卷的構(gòu)造方法.分析了該網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性，包括平衡點(diǎn)、分岔圖、最大李亞譜諾夫指數(shù)譜.在理論分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行了混沌電路設(shè)計(jì)，電路仿真與數(shù)值模擬的一致性證實(shí)了該構(gòu)造方法的可行性.該構(gòu)造方法同時(shí)結(jié)合了光滑與非光滑曲線兩類非線性函數(shù)構(gòu)造多渦卷混沌吸引子的優(yōu)點(diǎn)，電路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單便于實(shí)現(xiàn)，同時(shí)參數(shù)可調(diào)，可以實(shí)現(xiàn)混沌控制.為其他光滑曲線構(gòu)造網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子提供了一定的借鑒意義.然而，這種新型網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子在工程中的應(yīng)用還有待于 更深入的研究.

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PACS:05.45.Gg，05.45.Pq，05.45.Vx

Construction of grid multi-scroll chaotic attractors and its circuit implementation with polynomial and step function*

Chen Shi-BiZeng Yi-Cheng1)Xu Mao-Lin2)Chen Jia-Sheng1)
1)(School of Material Science and Photoelectronic Physics，Xiangtan University，Xiangtan 411105，China)
2)(Beijing Information Technology Institute，Beijing 100101，China)

10 April 2010;revised manuscript

4 June 2010)

A constructing approach to generating N×M-scroll attractors with polynomial and step function is reported.In Chua's circuit，only two or three scrolls can be generated by traditional polynomial function.On this basis，the multi-scroll of x direction in phase space is obtained by polynomial shift.And then the saddle-focus equilibrium points with index-2 in phase space are extended by combining both polynomial and step function，which makes it possible to extend the multiscroll in y direction.Then the grid multi-scroll chaotic attractors are generated.The main feature of this constructing approach is generating grid multi-scroll chaotic attractors by combining both smooth curves and non-smooth curves for the first time.And the arbitrary planar grid multi-scroll chaotic attractors array can be generated by adjusting the values of natural numbers N and M.The effectiveness of this method has been verified by theoretical analysis，numerical simulation and circuit simulation.

grid multi-scroll chaotic attractors，Chua's circuit，step function，circuit implementation

*國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):60972147)和湖南省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):08JJ5031)資助的課題.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.60972147)and the Natural Science Foundation of Hunan Province，China(Grant No.08JJ5031).