孫克輝 賀少波 盛利元

(中南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083)

基于強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)算法的混沌序列復(fù)雜度分析*

孫克輝賀少波 盛利元

(中南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083)

(2010年4月8日收到;2010年5月28日收到修改稿)

為了分析混沌序列的復(fù)雜度，文中采用強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度算法分別對(duì)離散混沌系統(tǒng)(TD-ERCS)和連續(xù)混沌系統(tǒng)(簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng))進(jìn)行復(fù)雜度分析，計(jì)算了混沌序列隨參數(shù)變化的復(fù)雜度，分析了連續(xù)混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列分別進(jìn)行m序列和混沌偽隨機(jī)序列擾動(dòng)后的復(fù)雜度.研究表明，強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度算法是一種有效的復(fù)雜度分析方法，離散混沌序列復(fù)雜度大于連續(xù)混沌序列復(fù)雜度，但對(duì)連續(xù)混沌系統(tǒng)的偽隨機(jī)序列進(jìn)行m序列和混沌偽隨機(jī)序列擾動(dòng)后可大大增加復(fù)雜度，為混沌序列在信息加密中的應(yīng)用提供了理論依據(jù).

強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度算法，TD-ERCS系統(tǒng)，簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)，序列擾動(dòng)

PACS:05.45.-a，05.45.Tp

1.引 言

混沌序列復(fù)雜度是指其接近隨機(jī)性的程度，越接近隨機(jī)序列，復(fù)雜度越大.隨著混沌科學(xué)的發(fā)展，混沌系統(tǒng)中的復(fù)雜性引起了越來(lái)越多人的關(guān)注，實(shí)用的混沌偽隨機(jī)碼應(yīng)具有盡可能大的序列復(fù)雜度，以保證擴(kuò)頻通信的最大通信容量.目前計(jì)算序列復(fù)雜度的算法主要有四種，都是建立在Kolmogorov復(fù)雜度［1］基礎(chǔ)上，前三者分別是1976年由Lempel和Ziv提出的 Limpel-Ziv算法［2］、1991年由 Steven和Pincus提出的復(fù)雜性近似熵(ApEn)算法［3］和2002年由 Bandt和 Pompe提出的復(fù)雜性度量排列熵(PE)算法［4］.這三種算法都能在一定程度上正確反映出混沌序列的復(fù)雜度，但 Limpel-Ziv算法只是在一維時(shí)間尺度上對(duì)系統(tǒng)的復(fù)雜度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，涉及的只有序列的長(zhǎng)度，而ApEn算法體現(xiàn)了不同嵌入維變化時(shí)情況，但是計(jì)算過(guò)程中涉及嵌入維和分辨率參數(shù)的選擇，其結(jié)果隨主觀因素而有所變化，對(duì)于PE計(jì)算結(jié)果也要進(jìn)行嵌入維的選擇［5］.第四種是強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度算法，強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)算法最早由 López-Ruiz，Mancini和Calbet(LMC)提出［6］，原理是用統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度測(cè)度(SCM)作為時(shí)間序列內(nèi)模型結(jié)構(gòu)程度的量化器.對(duì)給定的系統(tǒng)狀態(tài)，統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度測(cè)度是測(cè)度熵(H)乘以到平衡狀態(tài)(Q)距離的積，對(duì)完全隨機(jī)過(guò)程其值是零.對(duì)比前面三種算法，強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)算法可以看成是對(duì)PE算法的進(jìn)一步改進(jìn)，因?yàn)槠淇紤]了到平衡狀態(tài)(Q)距離這一因素，反映了序列內(nèi)模型結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)［7］進(jìn)一步改進(jìn)了強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度算法，使之具有強(qiáng)度特性.強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度測(cè)度更方便應(yīng)用于序列隨機(jī)性的度量，同時(shí)能呈現(xiàn)序列的相關(guān)結(jié)構(gòu)，反應(yīng)序列的隨機(jī)本質(zhì).

本文在討論了強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度算法原理的基礎(chǔ)上，以TD-ERCS系統(tǒng)和簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)為例，分別分析了離散混沌系統(tǒng)和連續(xù)混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列的復(fù)雜度，討論了混沌序列復(fù)雜度隨系統(tǒng)參數(shù)、分?jǐn)?shù)階數(shù)而變化的規(guī)律，計(jì)算了連續(xù)混沌系統(tǒng)偽隨機(jī)序列在m序列和混沌序列擾動(dòng)下的復(fù)雜度，為混沌序列在保密通信和信息安全方面的應(yīng)用提供了理論依據(jù).

2.復(fù)雜度算法原理與描述

強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度測(cè)度CJ［P］是一個(gè)和動(dòng)態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生的時(shí)間序列的概率分布P相聯(lián)系的物理量，其計(jì)算公式為［8］

其中

且有Smax=S［Pe］=lnN(0≤HS≤1)，N代表系統(tǒng)在相空間中總的狀態(tài)數(shù)目;Pe表示均勻分布，即Pe= {1/N，…，1/N}，S為Shannon熵.QJ是根據(jù) Jensen-Shannon分歧定義的不均衡，有［8］

Q0是歸一化常數(shù)，其計(jì)算式為

可見(jiàn)，0≤QJ≤1，且不均衡QJ為能反映序列結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度量，同樣CJ［P］也能呈現(xiàn)序列的相關(guān)結(jié)構(gòu)，對(duì)沒(méi)有任何結(jié)構(gòu)的完全隨機(jī)序列，CJ［P］=0.復(fù)雜度測(cè)度值越小，則系統(tǒng)復(fù)雜度越大，反之亦然.

概率分布P采用Bandt-Pompe提出的方法進(jìn)行計(jì)算［4］.給定時(shí)間序列{xt，t=1，…，T}和一個(gè)嵌入維d>1，對(duì)每一時(shí)刻i(i=1，2，…，T-d+1)，其d階順次模式是由時(shí)刻(i，i+1，…，i+d-1)的值組成的d維向量

顯然，d越大，向量提供的信息越多.通過(guò)和時(shí)刻 i聯(lián)系的“順次模式”，定義(0，1，…，d-1)的一個(gè)排列π=(r0，r1，…，rd-1)為

若 xi+ri=xi+ri-1，則 ri

符號(hào)#代表“數(shù)目”.強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度通過(guò)這種“排列”概率分布來(lái)計(jì)算.

值得指出的是，按此種排序方法得來(lái)的概率對(duì)于周期序列，特別是短周期序列會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，如序列{1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，…}，當(dāng)d=3時(shí)，P ={1/2，1/4，1/4}，當(dāng)d=4時(shí)，P={1}，當(dāng)d=5時(shí)，P={1/4，1/4，1/4，1/4}，代入(1)式，當(dāng)d=3時(shí)，復(fù)雜度CJ［P］=0.0427，當(dāng)d=4時(shí)復(fù)雜度不存在，當(dāng)d=5時(shí)復(fù)雜度CJ［P］=0，但顯然序列不是完全隨機(jī)的.

3.離散混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度分析

下面以基于切延遲的橢圓反射腔離散混沌系統(tǒng)(TD-ERCS系統(tǒng))［9］，Logistic系統(tǒng)和耦合映像格子系統(tǒng)［10］為例，證明強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度算法的有效性和分析離散系統(tǒng)的復(fù)雜度特性.

TD-ERCS系統(tǒng)映射關(guān)系為

其中

其中，參數(shù)(u，x0，α，m)為系統(tǒng)的種子參數(shù)，確定了系統(tǒng)種子參數(shù)，系統(tǒng)特性也就隨之確定，且有u(0< u≤1)，x0(-1≤x0≤1)，α(0<α<π)，m=0，1，2，3，….當(dāng)m=0時(shí)系統(tǒng)為ERCS系統(tǒng)，當(dāng)m=1，2，3，….時(shí)系統(tǒng)為 TD-ERCS系統(tǒng)，并處于混沌狀態(tài).對(duì)(8)式進(jìn)行迭代就能分別得到兩個(gè)實(shí)值序列{xm+1，xm+2，xm+3，xm+4，…}和{km+1，km+2，km+3，km+4，…}.

取系統(tǒng)初值x0=0.7654，α=0.9876，系統(tǒng)參數(shù)u=0.7123，迭代次數(shù)N=10000，嵌入維d分別為3，4，5.對(duì)系統(tǒng)的不同切延遲 m情況進(jìn)行強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度計(jì)算，結(jié)果如表1所示.

表1 TD-ERCS系統(tǒng)的強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度

由表1可見(jiàn)隨著嵌入維d的增加，即子序列反映的信息增加，總的趨勢(shì)是復(fù)雜度有所增大，但相差不大.當(dāng)m=0時(shí)，系統(tǒng)復(fù)雜度最小，比m=1時(shí)小一個(gè)數(shù)量級(jí);當(dāng)m=2時(shí)，系統(tǒng)的復(fù)雜度又增大了一個(gè)數(shù)量級(jí);m=3時(shí)與m=2時(shí)的系統(tǒng)復(fù)雜度基本一樣.這說(shuō)明強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度算法是一種很有效的方法，能很好地識(shí)別出系統(tǒng)復(fù)雜度.

為了進(jìn)一步分析系統(tǒng)復(fù)雜度，這里考察系統(tǒng)參數(shù)u，m變化時(shí)復(fù)雜度的變化情況.系統(tǒng)復(fù)雜度隨參數(shù)變化的情況如圖1所示，嵌入維為d=3.

圖1 TD-ERCS系統(tǒng)復(fù)雜度隨系統(tǒng)參數(shù)變化情況 (a)m=2，u變化，(b)u=0.7123，m變化

如圖1(a)所示，隨著u值的增加系統(tǒng)復(fù)雜度增加，最后趨于穩(wěn)定，從u的物理意義來(lái)看，u越接近1則橢圓反射腔越接近圓，其反射效果也越接近圓的反射效果，系統(tǒng)復(fù)雜度也就越大;從圖1(b)可以看出，當(dāng)m=0時(shí)，系統(tǒng)復(fù)雜度最小，此時(shí)系統(tǒng)為ERCS系統(tǒng)，但隨著m的增加，系統(tǒng)復(fù)雜性增大并處于基本穩(wěn)定狀態(tài)，保持在0—0.005之間，可見(jiàn)當(dāng) m≥2后，切延遲操作對(duì)系統(tǒng)復(fù)雜度影響不是很大.綜上可知TD-ERCS系統(tǒng)是一個(gè)廣域高復(fù)雜性混沌系統(tǒng).

Logistic系統(tǒng)和耦合映像格子系統(tǒng)迭代方程參見(jiàn)文獻(xiàn)［10］，系統(tǒng)相圖也參見(jiàn)該文獻(xiàn)中的圖2(a)和(b).可見(jiàn)耦合映像格子系統(tǒng)相圖比Logistic系統(tǒng)相圖“混亂”，其復(fù)雜度應(yīng)該比Logistic系統(tǒng)大很多.這里用強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)算法計(jì)算這兩者的復(fù)雜度如表2所示.

表2 Logistic和耦合映像格子復(fù)雜度

計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況符合，耦合映像格子序列復(fù)雜度比Logistic大2個(gè)數(shù)量級(jí)，可見(jiàn)，強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度算法靈敏性很好.文獻(xiàn)［10］中的表2，兩系統(tǒng)產(chǎn)生的8進(jìn)制偽隨機(jī)序列的復(fù)雜度，計(jì)算方法采用的是ApEn算法，Logistic的為0.692左右，而耦合映像格子的為2.00左右，相比強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)算法的計(jì)算結(jié)果區(qū)分度小很多，雖然計(jì)算的不是同一種序列.

下面取以上三個(gè)系統(tǒng)在不同迭代次數(shù)N情況下，計(jì)算序列強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度與長(zhǎng)度 N的關(guān)系.這里嵌入維d=5，各系統(tǒng)參數(shù)的選擇與上面的基本一致，其中TD-ERCS系統(tǒng)的切延遲(m=3)，計(jì)算結(jié)果如表3所示.

表3 復(fù)雜度隨序列長(zhǎng)度的變化情況

由表3可知，系統(tǒng)產(chǎn)生的序列的長(zhǎng)度對(duì)復(fù)雜度的影響不大.這點(diǎn)明顯優(yōu)于 Limpel-Ziv算法，因Limpel-Ziv算法涉及長(zhǎng)度N的選擇，復(fù)雜度隨 N的增大有減小的趨勢(shì)［5］.另外，對(duì)比表1，2，3可知，耦合映像格子系統(tǒng)復(fù)雜度比TD-ERCS系統(tǒng)的高，因?yàn)轳詈嫌诚窀褡酉到y(tǒng)為6維系統(tǒng)，而TD-ERCS系統(tǒng)是2維的，TD-ERCS系統(tǒng)復(fù)雜度小一點(diǎn)，但其運(yùn)算量相對(duì)較小.

對(duì)離散系統(tǒng)的復(fù)雜度分析可以看出強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)算法是一種非常有效的復(fù)雜度分析方法，從前面的計(jì)算結(jié)果來(lái)看，當(dāng)只改變嵌入維d或序列長(zhǎng)度N時(shí)，序列的復(fù)雜度改變不是很大，且復(fù)雜度對(duì)比結(jié)果不改變，也就是說(shuō)在比較序列復(fù)雜度時(shí)只要選取一樣的嵌入維d和序列長(zhǎng)度N，按照強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)算法計(jì)算復(fù)雜度值，就可以了，在這里，考慮到計(jì)算量問(wèn)題，我們給出兩者的參考值，嵌入維d取3即可，或4和5也可以，但再大就沒(méi)必要了，因?yàn)楫?dāng)d≥6時(shí)，d!就比較大了，這樣概率分布P的獲取將非常繁雜，而序列長(zhǎng)度N的選擇根據(jù)具體情況而定，一般1000≤N≤10000都可以滿足條件，再大也沒(méi)太多意義;另外就是離散系統(tǒng)的復(fù)雜度是比較高的，復(fù)雜度值最大可以達(dá)到10-4數(shù)量級(jí).

圖2 簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)吸引子相圖 (a)分?jǐn)?shù)階，(b)整數(shù)階

4.連續(xù)混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度分析

Lorenz系統(tǒng)族是著名的混沌系統(tǒng)，在文獻(xiàn)［11］中將其歸為一類(lèi)，并以統(tǒng)一的形式表達(dá)，而簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)［12］為 Lorenz系統(tǒng)族的一員.這里，選取簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)為例，研究連續(xù)混沌系統(tǒng)的復(fù)雜性特點(diǎn).

4.1.簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)模型

簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)方程為

其中c為系統(tǒng)參數(shù)，α，β，γ為微分階數(shù)，當(dāng)α=β=γ =1時(shí)，系統(tǒng)為整數(shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng);當(dāng)0<α，β，γ<1時(shí)，系統(tǒng)為分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化 Lorenz系統(tǒng).圖2為簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)的吸引子圖，參數(shù)選擇為分?jǐn)?shù)階α=β =γ=q=0.98，c=5，整數(shù)階α=β=γ=q=1，c=5，可見(jiàn)此時(shí)系統(tǒng)都處于混沌狀態(tài).

4.2.簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)復(fù)雜度分析

當(dāng)系統(tǒng)處于混沌態(tài)時(shí)，分別選取系統(tǒng)產(chǎn)生的三個(gè)序列，利用強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度算法計(jì)算在不同嵌入維下的復(fù)雜度，其結(jié)果如表4所示.

表4 不同嵌入維下簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度

從表4可以看出不管系統(tǒng)是處于整數(shù)階狀態(tài)還是分?jǐn)?shù)階狀態(tài)，其產(chǎn)生的序列復(fù)雜度都不是很大，且差別很小.對(duì)于同一系統(tǒng)中各序列的復(fù)雜度相差也不大.從圖2吸引子圖可以看出 x，y，z三個(gè)序列值并沒(méi)有分布于整個(gè)坐標(biāo)平面，而在有限空間相互成一定的規(guī)律，不是很“混亂”，所以復(fù)雜度不會(huì)很大.進(jìn)一步，從計(jì)算結(jié)果表 4，圖 2可以得出簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)(q=0.98，1時(shí))復(fù)雜度并不是很大.為了證明這一點(diǎn)，接下來(lái)考察系統(tǒng)參數(shù)對(duì)復(fù)雜性影響，如圖3所示.

圖3中系統(tǒng)選取為分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng).圖3(a)中，當(dāng)參數(shù)c由小到大變化時(shí)，對(duì)x，y，z序列復(fù)雜度影響不大，其值在0.262到0.274之間變化，復(fù)雜度比較小.圖3(b)中，α=β=γ=q，c=5，可以看出系統(tǒng)復(fù)雜度在q比較小(比如q≤0.5)時(shí)比較大，但這只是一種“假象”，根據(jù)文獻(xiàn)［12］可知，此時(shí)系統(tǒng)處于非混沌態(tài)，之后當(dāng)q接近1時(shí)系統(tǒng)處于混沌態(tài)，但復(fù)雜度變小了.由上面分析可知，簡(jiǎn)化Lorenz混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度不如離散混沌系統(tǒng).

圖3 分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度隨參數(shù)c和q變化情況 (a)q=0.98，c變化，(b)c=5，q變化

4.3.偽隨機(jī)序列生成及序列擾動(dòng)后復(fù)雜度

連續(xù)混沌系統(tǒng)由于約束比較多，其產(chǎn)生的混沌序列復(fù)雜度并不一定會(huì)很高，如簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)(q =0.98，1時(shí)).在應(yīng)用中，連續(xù)系統(tǒng)由于其參數(shù)較多，系統(tǒng)關(guān)系復(fù)雜，經(jīng)常被采用，但是往往也需要復(fù)雜性高的序列，另外就是實(shí)際應(yīng)用中用得很多的是偽隨機(jī)序列.針對(duì)這種情況，下面將分別采用m序列和混沌偽隨機(jī)序列擾動(dòng)的方法增加序列的偽隨機(jī)序列復(fù)雜度.這種方法同樣適用于離散混沌系統(tǒng).

混沌偽隨機(jī)序列是由混沌迭代產(chǎn)生的序列{xn}，歸一化后，經(jīng)過(guò)量化和判決得到的，判決公式為［13］

可得到二進(jìn)制的偽隨機(jī)序列{Xn}.對(duì)于偽隨機(jī)序列復(fù)雜度的分析的算法由文獻(xiàn)［13］可知，最常用的是Berlekamp-Massey線性復(fù)雜度算法，但文章指出該算法并不能有效地區(qū)分出序列的復(fù)雜度.這里采用強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度算法對(duì)偽隨機(jī)序列進(jìn)行測(cè)度，只是在計(jì)算過(guò)程中，p(π)的π獲取方法參照文獻(xiàn)［14］.

將分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化 Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列按強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)算法進(jìn)行計(jì)算，得到的結(jié)果如表5所示.

計(jì)算結(jié)果可看出生成的偽隨機(jī)序列復(fù)雜度大小與原始序列的差不多，也不是很大.在實(shí)際應(yīng)用中是序列的復(fù)雜度越大越好，所以，下面分別用 m序列［15］和混沌偽隨機(jī)序列擾動(dòng)的方法提高序列的復(fù)雜度.擾動(dòng)模型見(jiàn)圖4，擾動(dòng)序列與待擾動(dòng)序列對(duì)應(yīng)位進(jìn)行異或運(yùn)算，得到結(jié)果后輸出.

表5 分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)二進(jìn)制偽隨機(jī)序列的復(fù)雜度

圖4 序列擾動(dòng)原理示意圖

m序列又叫偽隨機(jī)序列、偽噪聲(PN)碼或偽隨碼，是一種常用的擴(kuò)頻序列，在擴(kuò)頻通信中有著廣泛的應(yīng)用.m序列的生成可用移位寄存器序列發(fā)生器的本原多項(xiàng)式?jīng)Q定.本文將分別采用4階和10階本原多項(xiàng)式來(lái)產(chǎn)生m序列.

根據(jù)m序列定義，產(chǎn)生m序列進(jìn)行擾動(dòng)實(shí)驗(yàn).表6和表7是將上面的分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)化Lorenz系統(tǒng)的偽隨機(jī)序列進(jìn)行m序列擾動(dòng)，進(jìn)而得到的復(fù)雜度結(jié)果，從中可以看出這種方法的特性.

可以看出序列復(fù)雜度明顯變大了，分別至少提高了1和2個(gè)數(shù)量級(jí).可見(jiàn)這種方法對(duì)于提高偽隨機(jī)序列復(fù)雜度是很有效的.進(jìn)一步分析表6和表7可以看出隨著d的增加強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度值增加，說(shuō)明序列復(fù)雜度在減少，且成倍數(shù)變化.原因可能是生成的m序列是一個(gè)周期序列，這里周期分別是24-1和210-1，隨著 d增大，m序列的周期性影響越突出.可見(jiàn)m序列擾動(dòng)能夠大大提高序列的復(fù)雜度，是一種很實(shí)用的方法;缺點(diǎn)就是m序列是一種周期性序列，其周期性可能會(huì)對(duì)原序列造成影響.

表6 m序列(4階)擾動(dòng)后分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)二進(jìn)制偽隨機(jī)序列復(fù)雜度

表7 m序列(10階)擾動(dòng)后分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)二進(jìn)制偽隨機(jī)序列復(fù)雜度

表8 TD-ERCS偽隨機(jī)序列擾動(dòng)后的分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)偽隨機(jī)序列復(fù)雜度

接下來(lái)利用混沌偽隨機(jī)序列對(duì)簡(jiǎn)化 Lorenz偽隨機(jī)序列進(jìn)行擾動(dòng)，混沌偽隨機(jī)序列采用的是TDERCS系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列，其種子參數(shù)(u，x0，α，m)為(0.7123，0.7654，0.9876，3)，擾動(dòng)后偽隨機(jī)序列的復(fù)雜度如表8所示.

對(duì)比表5和表8可見(jiàn)，利用TD-ERCS系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌偽隨機(jī)序列對(duì) Lorenz系統(tǒng)偽隨機(jī)序列進(jìn)行擾動(dòng)后序列的復(fù)雜度至少提高了一個(gè)數(shù)量級(jí)，且沒(méi)有m序列擾動(dòng)后的明顯周期性影響.表8最后一行是相應(yīng)TD-ERCS系統(tǒng)的偽隨機(jī)序列復(fù)雜度，擾動(dòng)后的序列復(fù)雜度也比其大.

利用m序列擾動(dòng)可以得到更高復(fù)雜度的混沌偽隨機(jī)序列，但有周期性影響;而混沌偽隨機(jī)序列擾動(dòng)后，沒(méi)有周期性的影響，但得到的序列復(fù)雜度沒(méi)有利用m序列擾動(dòng)后的高.總的來(lái)說(shuō)兩種方法各有所長(zhǎng)，得到的高復(fù)雜度混沌偽隨機(jī)均可應(yīng)用于保密通信.

5.結(jié) 論

本文利用強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度算法分別對(duì)離散混沌系統(tǒng)和連續(xù)混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度進(jìn)行了分析.對(duì)離散系統(tǒng)的分析表明強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)復(fù)雜度算法是一種有效的復(fù)雜度測(cè)度算法，且具有靈敏度高和對(duì)參數(shù)嵌入維d和序列長(zhǎng)度N的選擇要求不嚴(yán)格等特點(diǎn);在對(duì)TD-ERCS等系統(tǒng)分析后，可知該離散系統(tǒng)復(fù)雜度大;對(duì)連續(xù)混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度分析表明，連續(xù)混沌系統(tǒng)復(fù)雜度沒(méi)有離散混沌系統(tǒng)的大，但經(jīng)m序列和混沌偽隨機(jī)序列擾動(dòng)后，序列復(fù)雜度能有效地增大.m序列擾動(dòng)后，復(fù)雜度隨嵌入維 d的增大而變小，原因可能是m序列本身存在周期性，而混沌偽隨機(jī)序列擾動(dòng)無(wú)此現(xiàn)象，但復(fù)雜度提高程度相對(duì)較小，顯然這兩種方法都可以提高混沌偽隨機(jī)序列的復(fù)雜度，為混沌序列應(yīng)用于信息加密提供了理論依據(jù).

［1］Li M，Vitanyi P M B 1990 Amsterdam:Elsevier Science A 187

［2］Lempel A，Ziv J 1976 IEEE Trans IT-22 75

［3］Steven M，Pincus S 1991 Mathematics 88 2297

［4］Bandt C，Pompe B 2002 Phys.Rev.Lett.88 174102

［5］Sun K H，Tan G Q，Sheng L Y 2008 Acta Phys.Sin.57 3359 (in Chinese)［孫克輝、談國(guó)強(qiáng)、盛利元 2008物理學(xué)報(bào) 57 3359］

［6］López-Ruiz R，Mancini H L，Calbet X 1995 Phys.Lett.A 209 321

［7］Larrondo H A，González C M，Martin M T，Plastino A，Rosso O A 2005 Physica A 356 133

［8］González C M，Larrondo H A，Rosso O A 2005 Physica A 354 281

［9］Sheng L Y，Sun K H，Li C B 2004 Acta Phys.Sin.53 2871(in Chinese)［盛利元、孫克輝、李傳兵2004物理學(xué)報(bào)53 2871］

［10］Xiao F H，Yan G R，Han Y H 2004 Acta Phys.Sin.53 2877 (in Chinese)［肖方紅、閻桂榮、韓宇航 2004物理學(xué)報(bào) 53 2877］

［11］Lü J H，Chen G R，Zhang S C，ˇCelikovsky＇S 2002 Int.J. Bifurc.Chaos 12 2917

［12］Sun K H，Sprott J C 2009 J.Bifurcation and Chaos 19 1357

［13］Wang L，Wang F P，Wang Z J 2006 Acta Phys.Sin.55 3964(in Chinese)［王 蕾、汪芙平、王贊基 2006物理學(xué)報(bào) 55 3964］

［14］Luo S J，Qiu S S，Chen X 2010 Journal of South China University of Technology 38 18(in Chinese)［羅松江、丘水生、陳 旭2010華南理工大學(xué)報(bào)38 18］

［15］Fan X Q 2009 Computer Engineering＆ Science 31 20(in Chinese)［范雪琴2009計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)31 20］

PACS:05.45.-a，05.45.Tp

Complexity analysis of chaotic sequence based on the intensive statistical complexity algorithm*

Sun Ke-HuiHe Shao-Bo Sheng Li-Yuan
(School of Physics Science and Technology，Central South University，Changsha 410083，China)

8 April 2010;revised manuscript

28 May 2010)

To analyze the complexity of the chaotic sequences，based on the intensive statistical complexity algorithm，the complexities of the discrete TD-ERCS and continuous simplified Lorenz chaotic systems were investigated respectively，and the complexities of the chaotic sequences with different system parameters were calculated.The complexities of pseudorandom sequences of the continuous chaotic systems disordered by m-series and chaotic pseudo-random sequences were analyzed.The results indicate that the intensive statistical complexity algorithm is an effective method for analyzing the complexity of the chaotic sequences，and the complexity of the discrete chaotic systems is larger than that of the continuous ones.However，after disordering by m-series or chaotic pseudo-random sequences，the complexities of the pseudo-random sequences can be increased significantly.This study provides a theoretical basis for the applications of chaotic sequences in the field of secure communication and information encryption.

intensive statistical complexity algorithm，TD-ERCS，simplified Lorenz system，sequence disorder

*國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):60672041)資助的課題.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.60672041).