林 敏 張美麗

(中國計量學(xué)院計量測試工程學(xué)院，杭州 310018)

力與耦合系統(tǒng)的交互作用和隨機能量共振*

林 敏張美麗

(中國計量學(xué)院計量測試工程學(xué)院，杭州 310018)

(2010年4月28日收到;2010年5月31日收到修改稿)

外界對系統(tǒng)作功的過程就是系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化的過程.根據(jù) Langevin方程的隨機動力學(xué)特性，采用微觀動力學(xué)和宏觀熱力學(xué)方法，建立了基于單一隨機軌線的耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)的熱力學(xué)關(guān)系.通過力與耦合系統(tǒng)的功交互作用定量地刻畫了能量的傳遞和轉(zhuǎn)換關(guān)系，揭示了耦合系統(tǒng)中存在著的隨機能量共振現(xiàn)象.從作功與能量的關(guān)系進行分析，進一步揭示了隨機共振產(chǎn)生的物理本質(zhì).

耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)，隨機熱力學(xué)，隨機能量共振，功

PACS:05.40.Ca，05.70.-a

1.引 言

隨機共振是由 Benzi等［1—4］在研究地球冰川期問題時提出來的，并將之解釋為非線性系統(tǒng)在弱周期力和噪聲共同驅(qū)動下的協(xié)同效應(yīng).隨機共振現(xiàn)象涉及非線性系統(tǒng)、外作用信號和噪聲三個基本要素，常用Langevin方程來描述.近30年來，人們針對這三個要素的各自特性，對隨機共振現(xiàn)象進行了廣泛而深入的研究［5—18］.傳統(tǒng)的隨機共振是通過調(diào)節(jié)噪聲強度，并以噪聲強度為變量，將系統(tǒng)輸出信號的信噪比作為噪聲強度的函數(shù)而呈現(xiàn)出的非單調(diào)性.2001年，Iwai等［19］采用隨機能量法分析了Langevin方程所描述的非平衡過程的能量轉(zhuǎn)化關(guān)系，提出了用外部驅(qū)動力所作的功作為雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機共振的一種度量［19，20］.隨后，Seifert等［21—23］對受驅(qū)動布朗粒子進行了熱力學(xué)關(guān)系研究，提出了體系的熵以及熵的產(chǎn)生都可以基于一條隨機軌線來定義.

隨機力在隨機共振中有著特殊的作用.隨機力服從愛因斯坦關(guān)系的Langevin方程，該方程揭示了系統(tǒng)的宏觀現(xiàn)象與系統(tǒng)的微觀漲落和外部擾動的內(nèi)在聯(lián)系.由于微觀漲落所產(chǎn)生的隨機力的強度與熱力學(xué)溫度成正比.因此，采用 Langevin方程描述的雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機共振可看作是一個熱力學(xué)過程.在熱力學(xué)系統(tǒng)的分析中，常把力的效應(yīng)當作力與系統(tǒng)及其環(huán)境相互作用來研究的，并將注意力集中在能量參數(shù)上.功是與過程有關(guān)的一個物理量，作功是能量轉(zhuǎn)換和傳遞的一種方式.由于隨機共振存在著噪聲能量與信號能量的轉(zhuǎn)換，存在著無序到有序的變化，將作功與能量引入隨機共振能更加深刻地揭示這一過程的物理本質(zhì).

近年來，人們分別研究了線性或非線性耦合的隨機共振系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)大量耦合的振子形成的陣列可以大大提高系統(tǒng)的隨機共振效應(yīng).本文將兩個雙穩(wěn)系統(tǒng)通過非線性方式耦合為一多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)［24，25］，采用微觀動力學(xué)和宏觀熱力學(xué)方法，建立了基于單一隨機軌線的耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)的熱力學(xué)關(guān)系，通過外力對耦合系統(tǒng)做的功定量地刻畫了能量的傳遞和轉(zhuǎn)換關(guān)系，揭示了耦合系統(tǒng)中存在著的隨機能量共振現(xiàn)象.

2.耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)與外界作功

2.1.耦合系統(tǒng)模型

研究隨機共振的單一雙穩(wěn)系統(tǒng)模型為

式中a0和b0是雙穩(wěn)系統(tǒng)固有的參數(shù);Acos(ωt)(A1是幅值、ω是頻率)是外界作用到系統(tǒng)的弱周期力，是持續(xù)起作用的;ξ(t)是熱隨機力，具有〈ξ(t)〉=0，〈ξ(t)ξ(0)〉=2kBTδ(t)的統(tǒng)計性質(zhì)，其中kB為Boltzmann常數(shù)、T為熱力學(xué)溫度，常用強度 D=kBT的高斯白噪聲模擬熱隨機力.(1)式是涉及雙穩(wěn)系統(tǒng)、外界對系統(tǒng)的作用和熱噪聲三要素的 Langevin方程，它所描述的是一個熱力學(xué)系統(tǒng)的演化過程.

本文采用反饋耦合的方法，構(gòu)建如圖1所示的反饋耦合控制原理框圖.

圖1 耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)原理圖

圖1耦合控制過程中各變量與參數(shù)之間的關(guān)系可用如下的耦合方程來表示

式中γ是耦合系數(shù).對于并不滿足隨機共振匹配條件的被控雙穩(wěn)系統(tǒng)(a0x-b0x3)，通過調(diào)節(jié)控制雙穩(wěn)系統(tǒng)(ay-y3)的參數(shù)a和耦合參數(shù)γ，使之能人為地產(chǎn)生隨機共振或共振的效應(yīng)更為強烈.

(2)式描述的是布朗粒子處于靜態(tài)勢函數(shù)V(x，y)為

中的過阻尼運動.耦合系數(shù)γ和參數(shù)a的變化影響耦合系統(tǒng)的勢函數(shù)結(jié)構(gòu)，從而將對系統(tǒng)的共振產(chǎn)生影響.考慮周期外力Acos(ωt)的作用，耦合系統(tǒng)隨時間變化的勢函數(shù)為

記X=(x，y)，ζ(t)=(ξ(t)，0)，則(2)式可改寫為下式所示的力平衡方程

由于作用到耦合系統(tǒng)的周期力Acos(ωt)和隨機力ξ(t)都是沿x方向的，因而能產(chǎn)生共振的運動也只能是沿著x方向.

2.2.外力對耦合系統(tǒng)所作的功

在外力作用下，耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)的平衡將被破壞，運動狀態(tài)的改變必將伴隨有能量的轉(zhuǎn)移，這個轉(zhuǎn)移的能量就是功.本文采用基于單一隨機軌線進行定義［23］.

用dX點積(5)式，可得能量平衡方程

外力對耦合系統(tǒng)每個周期所作的功為

式中，τ=2π/ω是外力的周期，τ0是初始的瞬變時間，〈·〉表示求集合平均.由于x(t)是隨機變量，其統(tǒng)計均值［2］可表示為

式中

(11)式表明噪聲強度 D的變化將影響輸出x(t)的幅值X(D)和相位φ(D)，從而必將影響外力對耦合系統(tǒng)所作的功W.由于在不同周期交換的熱量、內(nèi)能的變化和外力的作功并不相同.本文采用計算x(t)單一軌線的多個周期平均值，并略去初始瞬態(tài)的變化.

3.數(shù)值仿真結(jié)果與分析

對于如圖1所示的耦合控制原理框圖，將耦合系統(tǒng)中的其中一個作為固定參數(shù)的被控系統(tǒng)，而另一個參數(shù)可調(diào)的系統(tǒng)則作為控制系統(tǒng).被控系統(tǒng)、控制系統(tǒng)和耦合關(guān)系的不同參數(shù)取值，將呈現(xiàn)出各不相同的共振特性.通過調(diào)節(jié)噪聲強度的大小，著重分析外力與耦合系統(tǒng)之間的力學(xué)相互作用，并通過周期力對系統(tǒng)作功的大小來定量地刻畫能量的傳遞與轉(zhuǎn)換關(guān)系.數(shù)值仿真采用四階 Runge-Kutta法，初始時間τ0取為20τ，選擇n=50.

1.被控系統(tǒng)的參數(shù)取 a0=0.05，b0=1，作用到系統(tǒng)的周期力幅值 A=0.05，頻率 ω=0.02π，當設(shè)定控制系統(tǒng)的參數(shù)a=1，耦合系數(shù)γ=-0.18時，通過調(diào)節(jié)噪聲強度D能使耦合系統(tǒng)產(chǎn)生隨機能量共振，如圖2所示.圖2中的橫坐標是噪聲強度D，縱坐標是周期性外力對耦合系統(tǒng)所作的功W.圖2表明隨著噪聲強度的變化，外力對耦合系統(tǒng)所作的功的大小也隨之而變，且呈現(xiàn)出明顯的非單調(diào)峰值特性.在無噪聲存在(D=0)時，外力對耦合系統(tǒng)所作的功僅為W=0.0053，表明噪聲在外力對耦合系統(tǒng)作功或能量轉(zhuǎn)換過程中能起積極的作用.

圖2 a0=0.05，a=1，γ=-0.18時W與D關(guān)系曲線

2.保持作用到系統(tǒng)的周期力幅值A(chǔ)=0.05，頻率ω=0.02π不變，而被控系統(tǒng)的參數(shù)改為 a0= 0.5，b0=1.由于勢壘高度太高，x(t)只能在一個勢阱內(nèi)波動，外力對系統(tǒng)所做的功極小.采用圖1所示的耦合控制方法，設(shè)定控制系統(tǒng)的參數(shù) a=1，耦合系數(shù)γ=0.28，通過調(diào)節(jié)噪聲強度D也能使耦合系統(tǒng)產(chǎn)生隨機能量共振，如圖3所示.比較圖2和圖3，功的峰值都發(fā)生在 D=0.7附近，相同的輸入力作用到具有不同參數(shù)的耦合系統(tǒng)，所作功的大小與噪聲強度之間呈現(xiàn)出大體相同的變化曲線.

圖3 a0=0.5，a=1，γ=0.28時W與D關(guān)系曲線

3.被控系統(tǒng)的參數(shù)取 a0=1，b0=1，作用到系統(tǒng)的周期力幅值 A=0.3，頻率 ω=0.1π，當 a=8，γ=0.04時，通過調(diào)節(jié)噪聲強度 D能使耦合系統(tǒng)產(chǎn)生隨機能量共振，如圖4所示.由于作用到耦合系統(tǒng)的外力幅值 A較大、頻率 ω較高，對耦合系統(tǒng)所作的功也較大，且功的大小對噪聲強度的敏感區(qū)域也較寬.

圖4 a0=1，a=8，γ=0.04時W與D關(guān)系曲線

4.結(jié) 論

研究了布朗粒子在耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)中的過阻尼運動，分析了耦合系統(tǒng)的內(nèi)能變化、熱量交換和外界作功的關(guān)系.從Langevin方程出發(fā)建立了基于單一軌線的耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)的熱力學(xué)關(guān)系，揭示了耦合系統(tǒng)中存在著的隨機能量共振現(xiàn)象，并分析比較了不同參數(shù)的耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)從外界獲取能量的能力.能量是物質(zhì)運動的一種普遍量度，適用于各種運動形態(tài).將作功與能量引入隨機共振能更加深刻地揭示這一過程的物理本質(zhì)，并適用于其他不同領(lǐng)域的隨機共振研究.本文對耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機能量的研究只有初步的，完整的理論方法還有待進一步研究.

［1］Benzi R，Sutera A，Vulpiana A 1981 Phys.A 14 L453

［2］Gammaitoni L，Hanggi P，Jung P，Marchesoni F 1998 Rev. Mod.Phys.70 223

［3］Hu G 1994 Stochastic Forces and Nonlinear Systems(Shanghai: ShanghaiScientific and TechnologicalEducation Publishing House)(in Chinese)［胡 崗1994隨機力與非線性系統(tǒng)(上海:上?？萍冀逃霭嫔?］

［4］Nozaki D，Mar D J，Grigg P，Collins J J 1999 Phys.Rev.Lett. 82 2402

［5］Qin G R，Gong D C，Hu G，Wen X D 1992 Acta Phys.Sin.41 360(in Chinese)［秦光戎、龔德純、胡 崗、溫孝東 1992物理學(xué)報41 360］

［6］Lin M，Huang Y M 2006 Acta Phys.Sin.55 3277(in Chinese)［林 敏、黃詠梅2006物理學(xué)報55 3277］

［7］Jin G X，Zhang L Y，Cao L 2009 Chin.Phys.B 18 952

［8］Zhu H J，Li R，Wen X D 2003 Acta Phys.Sin.52 2404(in Chinese)［祝恒江、李 蓉、溫孝東2003物理學(xué)報52 2404］

［9］Lin M，Mao Q M，Zheng Y J，Li D S 2007 Acta Phys.Sin.56 5021(in Chinese)［林 敏、毛謙敏、鄭永軍、李東升2007物理學(xué)報56 5021］

［10］Wang C J 2010 Chin.Phys.B 19 030503

［11］Lin M，F(xiàn)ang L M，Zheng Y J 2009 Chin.Phys.B 18 1725

［12］Dong X J 2010 Chin.Phys.B 19 010502

［13］Leng Y G，Wang T Y，Guo Y，Wang W J，Hu S G 2005 Acta Phys.Sin.54 1118(in Chinese)［冷永剛、王太勇、郭 焱、汪文津、胡世廣2005物理學(xué)報54 1118］

［14］Lin M，Huang Y M 2007 Acta Phys.Sin.56 6173(in Chinese)［林 敏、黃詠梅2007物理學(xué)報56 6173］

［15］Dong X J 2009 Chin.Phys.B 18 0070

［16］Zhang L，Liu L，Cao L 2010 Acta Phys.Sin.59 1494(in Chinese)［張 莉、劉 立、曹 力2010物理學(xué)報59 1494］

［17］Lin L，Yan Y，Mei D C 2010 Acta Phys.Sin.59 2240(in Chinese)［林 靈、閆 勇、梅冬成2010物理學(xué)報59 2240］

［18］Guo Y F，Xu W，Wang L 2010 Chin.Phys.B 19 040503

［19］Iwai T 2001 Phys.A 300 350

［20］Dan D，Jayannavar A M 2005 Phys.A 345 404

［21］Saikia S，Roy R，Jayannavar A M 2007 Phys.Lett.A 369 367

［22］Sekimoto K 2007 Phys.Rev.E 76 060103(R)

［23］Seifert U 2008 Eur.Phys.J.B 64 423

［24］Lin M，Huang Y M，F(xiàn)ang L M 2008 Acta Phys.Sin.57 2048 (in Chinese)［林 敏、黃詠梅、方利民 2008物理學(xué)報 57 2048］

［25］Lin M，F(xiàn)ang L M，Zhu R G 2008 Acta Phys.Sin.57 2638(in Chinese)［林 敏、方利民、朱若谷2008物理學(xué)報57 2638］

PACS:05.40.Ca，05.70.-a

Interaction of force and coupled system and stochastic energetic resonance*

Lin MinZhang Mei-Li
(College of Metrology Technology and Engineering，China Jiliang University，Hangzhou 310018，China)

28 April 2010;revised manuscript

31 May 2010)

The process of work done on the system by the external force is equivalent to the process of change in system state. The thermodynamic relations of coupled bistable system based on single stochastic trajectories are established by using microcosmic dynamics and macroscopic thermodynamic methods，according to the stochastic dynamics described by Langevin equation.The transmission and conversion relations of energy are quantitatively characterized via interaction of force and work of coupled system，which reveals the coupled system exhibitingstochastic energetic resonance phenomenon.Through analyzing relationship between work done and energy，the physical nature of produced stochastic resonance is further revealed.

coupled bistable system，stochastic thermodynamics，stochastic energetic resonance，work

*國家自然科學(xué)基金(批準號:10972207)和浙江省自然科學(xué)基金(批準號:Y7080111)資助的課題.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.10972207)and the Natural Science Foundation of Zhejiang Province，China(Grant No.Y7080111).