趙希梅 郭慶鼎 翟惠萍

(沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧沈陽 110870)

隨著復(fù)雜型面零件加工質(zhì)量要求的不斷提高，輪廓加工精度已成為其重要的精度指標(biāo)。XY平臺(tái)系統(tǒng)的輪廓誤差是由輪廓運(yùn)動(dòng)所涉及的X、Y兩軸的位置誤差共同決定。在直線電動(dòng)機(jī)直接驅(qū)動(dòng)XY平臺(tái)的系統(tǒng)中，參數(shù)不確定性、進(jìn)給系統(tǒng)的機(jī)電延遲以及兩軸驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)不匹配等因素對XY平臺(tái)的輪廓加工精度產(chǎn)生重要的影響。

傳統(tǒng)多軸控制器的控制方法，是采取各軸獨(dú)立控制方式。對于輪廓誤差的改善是增加位置跟蹤控制的精度，降低跟蹤誤差，進(jìn)而間接地降低路徑誤差。此種控制方式除了PID控制外，有前饋控制、預(yù)見控制和零相位誤差跟蹤控制等。Masory提出速度前饋控制以改善跟蹤誤差，加入前饋控制補(bǔ)償，只補(bǔ)償被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，使輸入與輸出的傳遞函數(shù)之積為1，但由于相位的前移而使系統(tǒng)頻寬增大，且可讓位置跟蹤誤差減小，以補(bǔ)償參數(shù)不一致所造成的影響。Tomizuka提出零相位誤差跟蹤控制法則，使得理論上跟蹤誤差為零。而以上的方法均需了解各軸的參數(shù)，才能設(shè)計(jì)最佳的控制器。由于各軸的參數(shù)不一致，且系統(tǒng)模式經(jīng)常是非線性時(shí)變的，因而不易準(zhǔn)確測出系統(tǒng)的參數(shù)。而又有負(fù)載干擾對系統(tǒng)的影響，使得前饋控制等方法的魯棒性較差，無法有效地改善系統(tǒng)的跟蹤誤差。

為提高XY平臺(tái)系統(tǒng)的輪廓精度，許多研究方法側(cè)重于設(shè)計(jì)良好的反饋控制器以減小單軸的跟蹤誤差，進(jìn)而減小整個(gè)系統(tǒng)的輪廓誤差，但這種方法對提高輪廓精度并不總是有效的。Koren首先提出了交叉耦合控制器(cross－coupled controller——CCC)以直接減小輪廓誤差的思想，其方法是將整個(gè)多軸運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)看成是一個(gè)單一系統(tǒng)而含多個(gè)變數(shù)，借由各軸間彼此的影響來相互補(bǔ)償，使響應(yīng)快的軸減慢，響應(yīng)慢的軸加快，增加兩軸的匹配程度，進(jìn)而減小其路徑誤差。文獻(xiàn)［4－5］設(shè)計(jì)了CCC以提高多軸數(shù)控機(jī)床的輪廓精度。已有的研究表明，傳統(tǒng)交叉耦合控制系統(tǒng)較之常規(guī)的非耦合控制系統(tǒng)有更好的輪廓精度，但傳統(tǒng)交叉耦合控制器不足之處在于對任意曲線軌跡輪廓誤差系數(shù)的計(jì)算量較大，控制器設(shè)計(jì)復(fù)雜。

本文采用永磁同步直線電動(dòng)機(jī)(PMLSM)直接驅(qū)動(dòng)XY平臺(tái)，利用零相位誤差跟蹤控制與新型交叉耦合控制相結(jié)合的策略對兩軸的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行協(xié)調(diào)控制，實(shí)現(xiàn)跟蹤精度與輪廓精度的同時(shí)提高。在單軸控制回路中引入ZPETC以補(bǔ)償伺服系統(tǒng)的滯后效應(yīng)，提高系統(tǒng)的跟蹤精度。新型交叉耦合控制器作用于兩軸之間，將輪廓誤差作為直接被控目標(biāo)，根據(jù)各軸的反饋信息，進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償控制，可有效提高輪廓精度。

1 XY平臺(tái)的輪廓誤差分析

考慮XY平面的圓弧跟蹤，由兩臺(tái)PMLSM直接驅(qū)動(dòng)軸向相互垂直的XY兩軸進(jìn)行平面運(yùn)動(dòng)，以完成精密軌跡運(yùn)動(dòng)。

Pref為軌跡上的參考位置，P為刀具實(shí)際位置，要求P到軌跡上P'的距離最小，而以來近似圓弧的輪廓誤差。圖1為其相關(guān)幾何關(guān)系圖，ε為輪廓誤差，e為跟蹤誤差，εx、εy分別為輪廓誤差在X軸和Y軸上的分量，ex、ey分別為跟蹤誤差在X軸和Y軸上的分量。

輪廓誤差ε為

目的是希望實(shí)際加工位置能達(dá)到參考位置，所以除了補(bǔ)償各軸的跟蹤誤差ex、ey外，必須另外補(bǔ)償［－εx– εy］T的向量，－ εx和 － εy的大小為

使得實(shí)際加工點(diǎn)達(dá)到參考指令點(diǎn)，以使得合成軌跡趨近于預(yù)設(shè)的輪廓。

2 XY平臺(tái)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

基于ZPETC和新型交叉耦合控制的系統(tǒng)框圖如圖2所示，Xd和Yd、Xa和Ya分別表示各軸的位置輸入和輸出，εx和 εy為X、Y軸的擾動(dòng)項(xiàng)，Ⅰ、Ⅱ表示X、Y軸的零相位跟蹤控制器，Ⅲ表示新型交叉耦合控制器。

2.1 零相位誤差跟蹤控制(ZPETC)

XY平臺(tái)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在跟蹤控制時(shí)，由于存在著電磁慣性和機(jī)械慣性使輸出響應(yīng)和輸入指令之間存在滯后現(xiàn)象，兩信號(hào)間存在著較大的相位誤差。為補(bǔ)償時(shí)間延時(shí)對系統(tǒng)跟蹤精度的影響，采用Tomizuka提出的零相位誤差跟蹤控制(ZPETC)［7］，它是一種結(jié)合零、極點(diǎn)對消和相位對消，能在較大的帶寬范圍內(nèi)對閉環(huán)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行逆處理的前饋控制［8］。

下面將針對包含不可對消零點(diǎn)的系統(tǒng)來設(shè)計(jì)ZPETC。考慮如下離散閉環(huán)傳遞函數(shù)

所設(shè)計(jì)的ZPETC如圖3及式(6)所示。

所以由y*(k)到y(tǒng)(k)的傳遞函數(shù)為

當(dāng)z=ejωT時(shí)，輸入指令與輸出響應(yīng)之間不存在相位差，可達(dá)到零相位跟蹤控制。當(dāng)ω→0時(shí)，z→1，所以系統(tǒng)在甚低頻時(shí)有y(k)→y*(k)。上式的相位差在整個(gè)頻域內(nèi)趨近于零，在一定頻帶內(nèi)其幅值接近1。

2.2 新型交叉耦合控制

傳統(tǒng)軌跡跟蹤控制方法為將各軸的控制器分開設(shè)計(jì)，而且軸與軸之間各自獨(dú)立控制，彼此之間不互相影響，由于軸與軸之間動(dòng)態(tài)特性的不同，且系統(tǒng)模型通常呈現(xiàn)時(shí)變現(xiàn)象，因此無法滿足輪廓誤差對精度的要求。因此本文研究交叉耦合控制系統(tǒng)，利用直角坐標(biāo)平面軌跡圖，由幾何關(guān)系推導(dǎo)出必須額外補(bǔ)償?shù)目刂屏?，借助這種補(bǔ)償方式人為地使各軸之間產(chǎn)生互相影響，使響應(yīng)快的軸變慢，響應(yīng)慢的軸變快。

2.2.1 傳統(tǒng)交叉耦合控制

圖4為交叉耦合控制結(jié)構(gòu)框圖，其中eq(1)和eq(2)即為上述的式(2)和(3)。

由圖4可以明顯得知除了各軸的跟蹤誤差外，中間的交叉耦合控制器計(jì)算出輪廓誤差的X軸與Y軸分量 εx、εy，分別乘以交叉耦合控制器增益Gx、Gy后，再補(bǔ)償?shù)絏軸與Y軸上，至于交叉耦合控制器的增益Gx、Gy調(diào)整法則，目前并沒有一定的規(guī)則可循，只知道和規(guī)劃路徑存在一定的關(guān)系，因此一般使用常數(shù)增益來調(diào)整:

其中:Kcx、Kcy為各軸PID參數(shù)中的Kp值;W為一常數(shù)定值。另外也有利用PID控制器取代Gx、Gy的一般常數(shù)增益，并使用試湊法求得最小輪廓誤差的PID參數(shù)。

2.2.2 新型交叉耦合控制

新型交叉耦合控制結(jié)構(gòu)框圖如圖2中虛框Ⅲ所示。根據(jù)交叉耦合原理，除了各軸的跟蹤誤差ex、ey外，必須另外補(bǔ)償［εxεy］T的向量使得合成向量接近于預(yù)設(shè)路徑與參考指令點(diǎn)。參考Koren提出交叉耦合控制結(jié)構(gòu)，另外補(bǔ)償?shù)闹禐榻?jīng)過一常數(shù)增益，加上單軸控制回路運(yùn)算完的值，再輸出命令給電動(dòng)機(jī)，即使以PID控制器取代常數(shù)增益值，依然必須針對不同條件作PID參數(shù)的修正。

然而從直觀上看，可以讓輪廓誤差補(bǔ)償值先和跟蹤誤差作運(yùn)算，再經(jīng)由PID控制器處理。因此本文在補(bǔ)償運(yùn)算上作部分修改，讓補(bǔ)償值εx和跟蹤誤差ex先作加減運(yùn)算，其中因?yàn)楦櫿`差和輪廓誤差補(bǔ)償值非為同等地位參數(shù)，因此輪廓誤差補(bǔ)償值需先乘一權(quán)重常數(shù)，才得以和跟蹤誤差作運(yùn)算，之后再經(jīng)PID控制器處理，然后輸出給電動(dòng)機(jī)。

在傳統(tǒng)PID交叉耦合控制結(jié)構(gòu)中，控制器設(shè)計(jì)方法為利用自動(dòng)調(diào)整求得X、Y軸上的PID參數(shù)，再依實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)做稍微修正，然后再利用試湊法求取交叉耦合控制器參數(shù)。本文中將交叉耦合運(yùn)算位置稍微變動(dòng)后，就可以比原來結(jié)構(gòu)更容易設(shè)計(jì)控制器參數(shù)，且得到更好的效果。

交叉耦合控制器(Kc)的設(shè)計(jì)，一般而言為一大于0的常數(shù)，理論上隨著Kc值增大，輪廓誤差將逐漸減小至0;實(shí)際上Kc會(huì)有一極限值，當(dāng)Kc大于極限值時(shí)，會(huì)發(fā)生實(shí)際軌跡在參考軌跡左右快速震蕩，并造成機(jī)械臺(tái)振動(dòng)。因此當(dāng)一般常數(shù)Kc無法達(dá)到要求的精度時(shí)，可以將Kc設(shè)計(jì)為一時(shí)變參數(shù)，使Kc與輪廓誤差成正比，借以進(jìn)一步修正輪廓誤差。這里所謂時(shí)變參數(shù)方法為先求出非耦合時(shí)的輪廓誤差曲線，利用Curvefitting求得時(shí)間和誤差的曲線方程式，再將方程式放到Kc的位置，取代成為時(shí)變的參數(shù)。

3 仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證所提出的控制方法的有效性，進(jìn)行了圓弧輪廓控制的仿真和實(shí)驗(yàn)研究，采用兩臺(tái)參數(shù)相同的PMLSM作為XY平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)部件進(jìn)行研究。電動(dòng)機(jī)參數(shù)為Mn=11.0 kg，B=8 N·s/m，Kf=29 N/A，圓弧軌跡跟蹤條件為:進(jìn)給速率200 mm/s，角速度為2π，圓弧角度為180°。Kp=13.96，KI=232.69，KD=0.21，Kc=0.3。圖5、圖6分別為PID+CCC、ZPETC+CCC和ZPETC+新型CCC三種情況下的圓弧輪廓誤差仿真和實(shí)驗(yàn)曲線。其中，曲線a表示在PID+CCC條件下的輪廓誤差;曲線b表示在ZPETC+CCC條件下的輪廓誤差;曲線c表示在ZPETC+新型CCC條件下的輪廓誤差。從仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以明顯地看出，在相同的條件下，采用ZPETC+新型CCC的控制策略最佳，能提高系統(tǒng)的跟蹤性能，并能消除各坐標(biāo)軸間參數(shù)不匹配的影響，能十分有效地減小輪廓誤差。從仿真曲線看輪廓誤差達(dá)到170 μm左右，實(shí)驗(yàn)曲線看輪廓誤差達(dá)到230 μm左右，得到很好的效果。

4 結(jié)語

基于ZPETC與新型CCC相結(jié)合的控制策略有效地削弱機(jī)械系統(tǒng)的時(shí)間延遲效應(yīng)、負(fù)載擾動(dòng)以及兩軸驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)不匹配等因素對直線電動(dòng)機(jī)直接驅(qū)動(dòng)XY平臺(tái)輪廓加工精度的影響。ZPETC實(shí)現(xiàn)了快速準(zhǔn)確跟蹤;新型CCC作用于兩軸之間，將輪廓誤差作為直接被控量進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償控制，解決了兩軸驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)不匹配問題，有效地提高了輪廓精度并簡化了控制器設(shè)計(jì)。此控制方案在保證系統(tǒng)跟蹤性和魯棒性的同時(shí)大幅度減小了系統(tǒng)輪廓誤差。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了此方案是有效的。

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