陳東菊 范晉偉 張飛虎

(①北京工業(yè)大學(xué)機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124;②哈爾濱工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001)

對于機床這種復(fù)雜而龐大的結(jié)構(gòu)，其加工精度受到機床幾何誤差、熱誤差、切削力以及外界環(huán)境等多個誤差源的影響，幾何運動誤差(如導(dǎo)軌直線度，主軸偏擺誤差等)主要引起加工結(jié)果的低頻誤差，振動誤差(如切削力誤差)等主要引起加工結(jié)果的高頻誤差。誤差源辨識技術(shù)是利用現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)手段，根據(jù)機床的誤差信息及機床的工作狀況，確定誤差的性質(zhì)、程度、類型及產(chǎn)生的部位和機理。辨識方法主要有兩種:一種是基于檢測儀器的誤差辨識;一種是基于工件檢測數(shù)據(jù)的誤差辨識。目前對機床誤差的辨識，大部分還是利用第一種辨識方法。如用球桿儀檢測機床熱誤差［1］，激光干涉儀用于機床誤差的測量［2］，平面正交干涉測量［3］等。這種方法有一定的弊端，它基本上都是針對靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)誤差進行測量的，難以辨識出切削過程中的動態(tài)誤差，對于可直接測量的誤差，會引入單項檢測誤差;不能直接測量的誤差，通過對直接可測誤差測量來推導(dǎo)其誤差，這樣會引入大量推導(dǎo)誤差，這些都會對加工結(jié)果帶來大的影響。Cheung等［4］和Kim等［5］基于工件檢測數(shù)據(jù)對機床誤差進行辨識，但他們的研究只單從頻域?qū)π盘栠M行傅里葉變換，假設(shè)信號是平穩(wěn)的，其頻譜是非時變的。但對于機械振動信號，具有明顯的時變非平穩(wěn)性，其頻譜時間有較大變化［6］，這樣單從頻域確定機床誤差源的方法已不再適用。

機床加工的實際檢測結(jié)果表明，加工工件的表面形貌包含各頻率范圍的低頻信號和高頻信號。針對這種表面形貌信息，提出一種基于小波變換和特征相關(guān)性分析的辨識模型。小波變換是在時間和尺度平面上描述的，是一種多分辨率的分析方法，最大的優(yōu)點是在時域和頻域同時具有很好的局部化性質(zhì)，既能對信號中的短時高頻成分進行準(zhǔn)確定位，又能對信號中的低頻緩變成分進行精確的趨勢分析?？梢岳眯〔ǖ淖兘固匦?，觀察和分析在不同尺度下的工件表面形貌。數(shù)理統(tǒng)計中，確定兩個隨機信號之間的相關(guān)聯(lián)程度，一般用相關(guān)性函數(shù)進行分析［7］。L.Andren 等［8］利用結(jié)構(gòu)特性間的相關(guān)性來辨識連續(xù)鉆孔加工中切削機床的振動信號。Adam G等［9］把選擇區(qū)域的相關(guān)性分析用于機床的故障診斷中。印度學(xué)者［10］利用互相關(guān)性來支持向量機對腦電圖信號進行分類。對于分解出的各種信號的特征分析，因為相關(guān)函數(shù)是對兩個隨機信號相關(guān)性的測度，這里采取兩種信號的互相關(guān)函數(shù)進行分析。仿真結(jié)果證實提出的基于小波變換與相關(guān)性分析的誤差辨識方法有效。

1 小波變換原理及檢測信號分解

1.1 Daubechies小波變換原理

小波變換是一種信號的時間、尺度(時間—頻率)的分析方法，具有多分辨分析的特點，且在時、頻域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但其形狀可改變的時頻局部化分析方法。它的實質(zhì)是將信號向一系列小波基上進行投影，包括離散小波變換和連續(xù)小波變換［11］。離散小波變換理論主要建立在多尺度分析或濾波器的基礎(chǔ)上，相對而言，連續(xù)小波變換在對信號細(xì)微變化的探測時更靈敏。不同類型的小波如Daubechies小波、Haar小波、樣條小波和Mexican Hat小波等都已用于信號處理的研究中。值得注意的是，具有緊支集的正交小波無論在理論上還是在應(yīng)用中都有特別重要的意義，尤其在數(shù)字信號的小波分解過程中可以提供有限長的更實際更具體的數(shù)字濾波器，因而使得緊支集正交小波更具重要性。由于Mexican Hat小波不具正交性、樣條小波支集非緊，Haar小波雖支集緊且正交，但非連續(xù)導(dǎo)致頻域局部性差，因此導(dǎo)致它們在許多實際應(yīng)用中受到限制。而具有不同緊支集的Daubechies小波由于其支集緊、正交、又具有一定的光滑性［12］，自提出后就受到廣泛重視。

法國學(xué)者 Daubechies(1988)［12］對尺度為2整冪條件下的小波變換進行了較深入的研究，提出一類具有以下特點的Daubechies小波:

(2)在頻域上y(w)在w=0處有L階零點。

(3)y(t)和它的整數(shù)位移正交歸一，即∫ψ(t)ψ(t－k)dt=δk。

(4)小波函數(shù)y(t)可以由尺度函數(shù)f(t)求出。f(t)在時域上的緊支集為:t∈［0，N］，N=2L－1，且有:

(5)y(t)是f(2t)的位移加權(quán)和

可見，y(t)在時域上的緊支集為:t∈［1－L，L］。

(6)尺度函數(shù)是低通函數(shù)，其濾波器系數(shù)為hn(n=1，1…，N)，對應(yīng)于小波函數(shù)y(t)的高通濾波器系數(shù)gn為

在文獻［12］中，Daubechies給出了L從2到10的9種濾波器系數(shù)。根據(jù)濾波器系數(shù)為hn和gn，不難由方程(1)和(2)求出Daubechies尺度函數(shù)和小波函數(shù)。

在尺度空間Vj，函數(shù)f(x)的大尺度逼近部分可以表示為

同理，在小波空間Wj，函數(shù)f(x)的細(xì)節(jié)部分可以表示為

式 中:j為是任意尺度;cj，k為尺度展開系數(shù);dj，k為小波

表1 不同尺度下不同小波的分解誤差

根據(jù)Mallat快速算法［13］，對任意函數(shù)f(x)∈V0函數(shù)空間，可將其分解為細(xì)節(jié)部分W1和大尺度逼近部分V1，然后將大尺度部分進一步分解。如此重復(fù)就可得到任意尺度或分辨率上的逼近部分和細(xì)節(jié)部分。設(shè)尺度0上的尺度系數(shù)為c0，k，可按如下分解公式計算任意尺度下的尺度系數(shù)和小波系數(shù):

根據(jù)分解的尺度系數(shù)和小波系數(shù)，通過設(shè)定除某一尺度下的小波系數(shù)或尺度系數(shù)不為0而其他尺度下的小波系數(shù)或尺度系數(shù)為0，然后按式(6)重構(gòu)信號到0尺度，便得到在設(shè)定尺度下的根據(jù)原始信號分解得到的細(xì)節(jié)信號或概貌信號。

式(7)～(9)中的濾波器系數(shù)hn、gn可由不同緊支集的Daubechies小波濾波器給出［12］。根據(jù)式(6)，可見，原始信號x(t)(t=1，2，…NT)通過 Daubechies小波Mallat分解與重構(gòu)算法后便為展開系數(shù)。

若將f(x)∈L2(R)按空間組合Wj⊕Vj展開(數(shù)學(xué)異或符號，兩個值相異結(jié)果為真)，則:

設(shè)原始信號不同緊支集Daubechies小波分解的誤差En為

可見不同的DauN小波將給出不同的濾波器系數(shù)hn，gn，從而給出不同分解的誤差為En。

將面形檢測信號代入公式(6)進行Daubechies小波變換，得到尺度和小波系數(shù)，同時，也可以得到不同的Daubechies小波分解誤差。表1給出了根據(jù)公式(11)得出的不同尺度上不同小波分解的誤差。它表明，緊支集為［0，1］的Dau1小波具有最小分解誤差，緊支集為［－9，10］的Dau10小波引起的分解誤差最大，緊支集為［－4，5］的Dau5小波分解誤差第二大。對于同一類型小波，基本趨勢是分解尺度越大，分解誤差越大，比如 Dau(2－4)，Dau(7－9)。Dau10，Dau5和Dau6小波分解誤差相對比較大，在尺度2到4有最大誤差。

1.2 工件加工及其面形檢測

本文用兩軸立式超精密數(shù)控機床加工一直徑為10 mm的平面，工件材料為LY16，主軸轉(zhuǎn)速為110 r/min，背吃刀量為15 μm，進給量為2 mm/min。機床結(jié)構(gòu)如圖1所示，包含X向?qū)к壓蚙向?qū)к墶＠肞GI1240輪廓儀對加工工件面形精度進行檢測，檢測結(jié)果如圖2所示。

對于加工工件的檢測信號，是含有多個誤差綜合作用的信號，這些信號相互作用、相互干擾，給誤差源信號的辨識造成了很大困難。每一種誤差源都對應(yīng)特定的特征和頻率成分，需要通過適當(dāng)?shù)男盘柼幚矸椒▽我活l率成分和特征分離出來，從而找出特定誤差源。如何從混合誤差信號中辨識出主要誤差源信號，是機床加工精度提高的關(guān)鍵。

1.3 基于小波變換的工件檢測信號分解

利用Db1小波將檢測的工件信號分解到不同的頻段上，然后在不同的頻段范圍內(nèi)對檢測信號進行分析，找出需要的頻段進行重構(gòu)，再進一步分析信號突出部分特征。首先，利用Db1小波把檢測信號進行5層分解，小波分解結(jié)果如圖3所示。

加工工件的檢測結(jié)果是各個頻段的誤差源綜合，因此檢測結(jié)果x(t)可以表示為

第一部分s1(t)由各低頻信號成分疊加構(gòu)成:

第二部分為各高頻信號的疊加即原始信號和第一部分信號分量的差信號:

把x(t)代入公式(6)中進行小波變換，提取有用的信息得到不同尺度上的小波系數(shù)，小波系數(shù)代表不同頻段誤差源的誤差形狀，并且分解出低頻部分信號s1(t)和高頻部分信號s2(t)，不同的信號對應(yīng)不同的頻率段。對分解出的每個頻段的信號與機床誤差源對映，所應(yīng)用方法為相關(guān)性分析，根據(jù)相關(guān)函數(shù)值推導(dǎo)出對加工結(jié)果影響大的機床誤差源。

2 相關(guān)性分析原理

相關(guān)分析法主要是用來分析某些因素之間是否關(guān)聯(lián)，關(guān)聯(lián)程度多少的方法［14］。機床的加工精度是對誤差源的間接反映。加工結(jié)果中包含了多少誤差源，與每個原始誤差源的相關(guān)聯(lián)的程度用相關(guān)函數(shù)來進行分析。相關(guān)函數(shù)分為自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。

2.1 自相關(guān)函數(shù)

自相關(guān)函數(shù)Rxx(τ)是度量一個變化量或隨機過程在t和t－τ兩個時刻線性相關(guān)的統(tǒng)計參量，它是t和t－τ兩點的時間間隔τ的函數(shù)，定義為

分析表明，自相關(guān)函數(shù)具有下列性質(zhì):

(1)Rxx(τ)=Rxx(－τ)，即Rxx(τ)為τ 的偶函數(shù)。

(2)Rxx(τ)在原點τ=0處最大。并且Rxx(0)代表x(t)變化量的平均功率。

(3)若變化量x(t)不包含周期性分量，則Rxx(τ)代表x(t)變化量的平均功率。

(4)若變化量x(t)為規(guī)則函數(shù)，即包含有周期性信號分量，則自相關(guān)函數(shù)Rxx(τ)也將包含有周期性信號分量。

2.2 互相關(guān)函數(shù)

互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)是度量兩個隨機過程x(t)，y(t)間的相關(guān)性函數(shù)，定義為

式中τ為所考慮時間軸上的時間間隔。如果兩個隨機過程互相完全沒有關(guān)系，則其互相關(guān)函數(shù)將為一個常數(shù)，并等于兩個變化量平均值的乘積，若其中一個變化量平均值為零，則兩個變化量互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)將處處為零，即完全獨立不相關(guān)。

需要特別指出的是:在相關(guān)性分析中必須有一個定量的指標(biāo)來度量變量間的相關(guān)性強弱。數(shù)學(xué)上用相關(guān)系數(shù)來表示兩個變量之間線形相關(guān)的強弱程度:

式中S1、S2分別代表第一個變量的標(biāo)準(zhǔn)偏差和第二個變量的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

3 基于試驗的誤差辨識及討論

根據(jù)對本機床導(dǎo)軌誤差的分析［15］，這里對導(dǎo)軌誤差與檢測結(jié)果做相關(guān)性分析，導(dǎo)軌誤差的仿真數(shù)據(jù)與加工工件的檢測結(jié)果為2個不同過程信號。這里假設(shè)檢測過程的信號為x(t)=x1(t)+x2(t)，其中x1(t)是由db1小波分解的檢測信號中的低頻信號，x2(t)為相應(yīng)的高頻信號;導(dǎo)軌誤差的仿真過程信號設(shè)為y(t)=y1(t)+y2(t)，其中y1(t)是導(dǎo)軌垂直度誤差仿真信號，y2(t)是導(dǎo)軌的直線度誤差仿真信號。從而根據(jù)公式(17)可以得到相關(guān)系數(shù)γxym和γx1ym為

其中m=1、2。公式(18)中的γxym代表檢測信號x(t)和仿真信號y(t)，包括y1(t)和y2(t)之間的相關(guān)系數(shù)，公式(19)中的γx1ym代表檢測信號中的低頻信號和仿真信號y(t)之間的相關(guān)系數(shù)。

圖4給出了小波變換后的檢測信號與導(dǎo)軌誤差仿真信號的相關(guān)函數(shù)曲線。從圖中的相關(guān)性分析結(jié)果來看，檢測信號x(t)與導(dǎo)軌垂直度信號y1(t)相關(guān)系數(shù)γxy1的范圍為0.6～0.83，檢測信號x(t)與導(dǎo)軌直線度信號y2(t)的相關(guān)系數(shù)γxy2的范圍為0.45～0.6，這個值范圍比垂直度相關(guān)系數(shù)范圍小。所以我們可以得出，導(dǎo)軌誤差中，對加工精度影響較大的是導(dǎo)軌的垂直度誤差，導(dǎo)軌的直線度誤差影響較小。其中起主要影響作用的是導(dǎo)軌垂直度誤差。

4 結(jié)語

基于小波變換與工件面形誤差的機床誤差分析方法，為機床誤差源的分析與辨識提供了一種有效辨識誤差途徑。其基本過程如下:

(1)利用Daubechies小波變換模型，把檢測的工件面形結(jié)果分解為高頻信號部分和低頻信號部分，從而提取出高頻信號特征和低頻信號特征。

(2)針對低頻信號部分，在時域內(nèi)與低頻誤差源仿真結(jié)果作相關(guān)性分析，根據(jù)相關(guān)函數(shù)值確定對加工結(jié)果影響大的誤差源。

最后的仿真結(jié)果證實了提出的小波變換與相關(guān)性分析這種辨識方法的正確性與有效性。

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