張紅霞，李俊平

1 模型建立

馬爾可夫過程是一類極為重要的隨機(jī)過程，是解決存儲(chǔ)問題、排隊(duì)問題、人口問題、風(fēng)險(xiǎn)問題等等的有效的數(shù)學(xué)工具。而馬爾可夫分枝過程又是馬爾可夫過程的重要分支，在排隊(duì)論、生物學(xué)、物理學(xué)等等中具有非常廣泛的應(yīng)用。經(jīng)典馬爾可夫分枝過程已得到廣泛研究，它的最基本的性質(zhì)就是分枝性，直觀的說，分枝性就是系統(tǒng)中不同粒子之間是相互獨(dú)立、互不干擾的。然而，在大多數(shù)現(xiàn)實(shí)情況中，不同粒子之間往往不是相互獨(dú)立的，而是密切相關(guān)的，因此很多學(xué)者對(duì)經(jīng)典馬爾可夫分枝模型進(jìn)行了多種形式的推廣。如Pakes和Tavare[1]、Li.J.P和Chen.A.Y.[2,3]等等.本文是在前人工作的基礎(chǔ)上推廣了模型，同樣具有相當(dāng)重要的研究意義。

針對(duì)于移民狀態(tài)下，建立以下分枝模型：

定義 1.1 一個(gè) q-矩陣 Q={qij;??i,j?∈ Z+}被稱為 QWBI-q-矩陣,如果

在本文中，Z+={ }0,?1,?2… ，QWBI-q-矩陣：帶移民的二次加權(quán)q-矩陣；QWMBPI：帶移民的二次加權(quán)馬爾可夫分枝過程

定義1.2一個(gè)QWMBPI就是一個(gè)Z+-值的連續(xù)時(shí)間參數(shù)的馬爾可夫鏈,其轉(zhuǎn)移函數(shù)P(t)={pij()t;??i,j∈ Z+} 滿 足Kolmogorov向前方程：P'(t)=P(t)Q且Q形如(1.1).

分別表示平均出生率,移入率,死亡率。

2 吸收概率

設(shè) ??{X(t);?t≥ 0} 是給定的 WBI-q-矩陣 Q 的(唯一的)WMBPI,顯然0為吸收狀態(tài).

為 ??{X(t);?t≥ 0}的吸收時(shí)刻,對(duì) ?i≥ 1,有pi(τ0＜∞)表示粒子從狀態(tài)i出發(fā),而被吸收的概率,即到達(dá)狀態(tài)0的概率。由[4]及式(1)易知狀態(tài)集{1,2,…}構(gòu)成一個(gè)連通類,所以對(duì)?i≥1,要么ai0=1,要么ai0＜1.

由文獻(xiàn)[1,5]易知下面的引理2.1成立.

x*i=qi0=0(0 ≤ xj≤ 1?,?i?≥ 1)的最小解.

下面的定理2.2.利用引理2.1得到了吸收概率ai0=1(?i≥1)的充分必要條件以及在三種情況下的表達(dá)式。

定理2.1記s0為方程 B(s)+s?A(s)=0在[0,1]內(nèi)的最小根，q為方程B(s)=0在[0,1]內(nèi)的最小根，若定義

對(duì)?i≥1,ai0=1當(dāng)且僅當(dāng)mb≤b0,J=+∞

而且

①若mb≤b0,J=+∞,則對(duì)?i≥1，有

②若mb≤b0,J＜+∞,則對(duì)?i≥1，有

③若b0≤mb≤+∞,則對(duì)?i≥1，有

證明對(duì)?i≥1,令

由[6](4)知：F(s)＜∞,由[7]和[6]知,對(duì) ?s∈[ )0?,1 ，有

當(dāng)mb≤b0,J=+∞時(shí),對(duì)?s∈[ )0?,1,?i≥ 1,解(6)得：

當(dāng) J=+∞時(shí),必有ai0=1,否則若ai0＜1,則在(7)兩端令s↑1,右端趨于-∞,而左端非負(fù),因此矛盾。

當(dāng)mb≤b0,J＜+∞時(shí),由 J的定義知,當(dāng) J＜+∞時(shí)有,對(duì) ?s∈i≥ 1,由(7)知

在(8)中令 s↑1,得,

則對(duì) ?i≥1,有,

因此由引理 2.1 知：ai0≤ xi(i≥ 1).

當(dāng)b0＜mb≤+∞時(shí),易知,

(mb-b0)+ma＞0,0＜s0＜q＜1.由[7]知：

在(10)中令 s=q,則

因 此 ai0≤qi＜1,且 ai0=qi當(dāng) 且 僅 當(dāng) a0=0.對(duì)?s∈(q,1)有

所以ai0≤qi.對(duì)?s∈[ )0?,s0

所以ai0≥si0.因此 si0≤ai0≤qi＜1.

綜上所述,對(duì) ??i≥1,ai0=1當(dāng)且僅當(dāng) mb?≤b0,J=+∞ .

本文討論的這類分枝模型.得到了馬爾可夫分枝過程在狀態(tài)0的吸收概率的表達(dá)式，對(duì)研究一些現(xiàn)象如生物繁殖、細(xì)胞癌變、原子分裂等等有重要的意義。

[1]Pakes A.G.Expiosive Markov Branching Processes[J]:Entrance Laws and Limiting Behavior[J].Adv.Appl.Prob.,1993,25.

[2]Chen A.Y.,Li J.P.,Remesh N.I.Uniqueness and Hitting Time of Weighted Markov bran-ching Processes[J].Methodology and Compu-tingin Applied Probability,2005,7.

[3]Li J.P.Markov Branching Processwith I-mmigration and Resurrection[J].Markov Pro-cessesand Related Fields,2006,12.

[4]Anderson W.J.Continuous-Time Markov Chains[M].Berlin:Springer,1990.

[5]Pakes A.G.Absorbing Markov Branching Processes with a State-dependent Immigration[J].Adv.Proc.Appl.,1993,（48）.

[6]張紅霞,李樹君,一類帶移民的加權(quán)分枝過程的有關(guān)結(jié)論[J].黑龍江科技信息,2010,（37）.

[7]張紅霞,李樹君,一類帶移民的二次加權(quán)馬爾可夫分枝過程[J].科技經(jīng)濟(jì)市場(chǎng),2010,（3）.