郭玉鵬

(吉林大學化學學院物理化學系 吉林長春 130012)

物理化學作為大學化學類專業(yè)的一門重要基礎課，理論性很強。具有概念多、公式多、原理多，知識邏輯性強、與其他學科知識聯系密切的特點，是學生普遍感到難學的一門課。在教學過程中, 大量的函數公式常使學生感到困惑, 如公式的適用前提、公式的形式等。學生反映這部分內容就像是數學符號的游戲, 記憶困難，難以便捷地應用在分析和處理問題上。因此在課堂教學過程中容易顯得枯燥，影響學生學習的積極性，在一定程度上會影響教學質量的提高。

在教學過程中，函數關系式的推導和形式的記憶對分析和處理問題有重要意義，是教學的重要內容。通常清晰的思路、合理的路線、正確的推導過程可以培養(yǎng)學生的抽象思維能力和邏輯推理能力，增強學生運用數學解決問題的意識和能力。目前，我們采用的教材中主要包含熱力學、動力學、電化學、膠體和界面化學等四大部分內容[1]。其中，熱力學占據相當重要的地位，涉及了系統(tǒng)的熱力學能(U)、焓(H)、熵(S)、亥姆赫茲函數(A)、吉布斯函數(G)，以及可由實驗直接測定的系統(tǒng)的壓力(p)、體積(V)、溫度(T)等最基本的熱力學函數。2009年，大連理工大學王旭珍等報道了通過從基本公式出發(fā)，結合偏微商的關系進行公式的推導，可以緩解熱力學函數關系式推導過程中的教學難點[2]。這種思路不僅對教師適用，而且能幫助學生更好地理解和學習其他專業(yè)課。然而，由于課時關系及學生數學能力的差異性，能掌握最基本的原始公式，基本的推導方法和思路對學生來說已經是很高的要求。加之在學生考核過程中的時間限制，多數學生很難在有限的時間推導出所需的正確函數關系式并對問題進行準確的計算和討論，影響了考核效果。因此，公式的準確記憶就顯得尤為重要，物理化學課程公式繁多, 如果單純要求學生采用填鴨式的記憶, 難度大, 效果不理想。國內外曾有人對物理化學中熱力學部分的公式的記憶方法進行了探討，目前主要采用兩大方法，一種是圖像法，另外一種是非圖像法。前者如李振川所總結的圖示法[3]，王樹國等人給出的坐標記憶法[4]，阿里木江等人給出的狀態(tài)函數正方形法[5]；后者所涉及的具體方法更為靈活多樣，如尹春玲提出的利用特性函數記憶法來掌握熱力學關系式[6]和陳家緯等人提出的利用一句日常英語對話法來掌握熱力學的基本關系式和熱力學函數的麥克斯韋關系式[7]。細心的讀者可以發(fā)現，目前所報道的文章(無論是圖像法還是非圖像法)中，主要是針對物理化學熱力學函數中的基本關系式和麥克斯韋關系式的推導和記憶；對于物理化學其他部分如動力學、界面化學所涉及的公式幾乎沒有報道。此外，對圖像法而言，雖然可以幫助人們加深記憶，但對于初學物理化學的學生，圖形繪制和記憶并不是很方便。物理化學的熱力學、動力學、電化學和界面化學等內容的公式不是孤立的，公式之間具有普遍聯系的特點。結合類比法能夠幫助學生解決熱力學、動力學和界面化學等公式中的記憶形式模糊、復雜等問題。本文將多年教學過程中的心得總結成文，以期使公式的記憶形式更加靈活，牢固，量更少, 并期望和同行交流。

本文主要討論典型的具有相似形式的公式的記憶，以及利用物理化學中函數量綱的特點簡化公式的記憶。

1 理想氣體狀態(tài)方程形式的公式

理想氣體狀態(tài)方程(式(1)) 是最常用的公式，最類似的形式為van′t Hoff的滲透壓公式(式(2))。

pV=nRT

(1)

式中p為壓力，V為體積，n為物質的量，R為氣體常數，T為溫度。

ΠV=nBRT

(2)

式中Π為滲透壓，V為溶液體積，nB為溶液中溶質的物質的量。

此外，有些公式雖然沒有式(1)的形式，但是經過簡單的分析、處理，同樣可以轉化成相似的形式來記憶。例如，熱力學相平衡中的任意純組分的兩相平衡公式Clapeyron 方程(式(3))。

(3)

式中p、T分別為純組分二相平衡時的壓力和溫度，ΔVm為相變前后的摩爾體積增量，ΔHm為摩爾相變焓變。

雖然式(3)與式(1)有很大的差異，但是通過處理式(3)可以很容易地得到式(4)。

(4)

在界面化學部分，描述彎曲表面上的蒸氣壓的Kelvin公式(式(5))同樣可以采用理想氣體狀態(tài)方程形式記憶:

(5)

式中R為氣體常數，T為溫度，pr、p0分別為曲率半徑為r的彎曲表面的液體和平面液體的飽和蒸氣壓，M為液體的摩爾質量，ρ為液體的密度。

以上3個公式(式(2)、式(4)和式(5))均可用理想氣體狀態(tài)方程的形式來記憶。這種相似性是建立在客觀世界各種現象的普遍聯系基礎之上的。通過比較相同點和關聯性，既可加深對物理化學本學科知識點的理解，也能使學生對自然規(guī)律的普遍聯系有更深入的認識[8]。為了更好地理解理想氣體狀態(tài)方程(式(1))的形式，并利用其輔助記憶其他的公式，還需掌握下面的內容。

2 具有能量量綱的函數及其組合函數在公式記憶中的應用

理想氣體狀態(tài)方程是描述理想氣體p、V和T等狀態(tài)函數定量關系的表達式，從另外一個角度來看，也是相對能量守恒形式的一種表達。其原因如下，理想氣體在等壓可逆膨脹過程中所做的體積功的表達式如式(6)所示。

δW體=-pdV，積分式W體=-pΔV

(6)

由式(6)可見，p和V的乘積是一種能量的表達式，而R與T的乘積也是能量的表達式。在物理化學中，具有能量量綱的函數如下：熱力學能(U)，焓(H)，亥姆霍茲自由能(A)，吉布斯自由能(G)等。此外，還有一些函數組合在一起同樣具有能量的特征，如溫度與熵的乘積(TS)，電化學中的nEF等。了解這些與能量量綱有關的變量同樣有利于公式的記憶。在熱力學中，H=U+pV、G=H-TS、A=U-TS3個定義式就是有關體系具有能量量綱的函數之間的最直接的關系表達式，包括由它們推導出的4個熱力學基本方程(式(7)～式(10))。

dU=TdS-pdV

(7)

dH=TdS+Vdp

(8)

dA=-SdT-pdV

(9)

dG=-SdT+Vdp

(10)

在以上有關具有能量量綱的函數關系式中，U、H、A、G可以單獨存在，而壓力p和體積V的乘積形式pV，熵S和溫度T的乘積形式ST，以及前面提到的RT形式和nEF形式，成為具有能量量綱的組合函數的形式。因此，合理利用這些具有能量量綱的函數及其組合函數，有助于記憶其他公式。如式(11)為等壓下電池的溫度系數的微分表達式。

(11)

結合數學中比例的特點，很容易看出式(11)中比例的內項積和外項乘積分別為具有TS和nFE能量形式的表達式。于是，給出左邊的問題項后，等式的右側完全可以根據具有能量量綱的函數間的組合分別寫出相應的分子和分母項。

此外，在熱力學公式中，由4個熱力學基本方程(式(7)～式(10))，利用其二階混合偏導數得出的Maxwell關系式(式(12))中存在大量偏微分的形式：

(12)

從式(12)中不難發(fā)現T、S，p、V都是以偏微分形式且對應地出現在等號兩側的比例內項或外項。此外，偏微分的下標和偏微分分式中的分子項也同樣是成對出現的。Maxwell關系式(式(12))主要還是經過基本關系式的推導得到，要正確應用必須經過正確的推導過程。雖然具有能量量綱的函數及其組合函數形式的方法不能用來推導公式，但是可以用其驗證推導的準確性并輔助記憶。此外,在諸多熱力學關系式中，大量的具有能量量綱的函數及其組合函數出現其中，細心的讀者可以自行找尋并進行檢驗。

3 函數量綱特性在公式記憶中的應用

物理化學課程中涉及的關于具有能量量綱的函數和函數關系式眾多，在關系式中經?？吹絋，T2，R，RT等形式存在其中，如式(12)～式(14)。 這些形式經常會給學生的記憶帶來困難。公式中函數和函數關系式并不是數學符號游戲，函數的本身及相互關系并不是孤立的，而是在對客觀世界內在規(guī)律普遍聯系的基礎上抽象出來的一種形式。每個符號和每個函數都具有一定的物理意義，函數的量綱是其意義的一種直接表現形式，充分了解這一點對函數關系式的推導和記憶也會有所裨益，下面通過式(12)～式(16)加以說明。

式(13)為理想氣體狀態(tài)由(p1，V1，T1)變化到(p2，V2，T2)的熵變求算公式。我們知道，熵的量綱與等壓熱容Cp，等容熱容CV和nR的量綱相同，因此，在式(13)中自然對數之前的變量均為與熵量綱相同的變量。類似的利用函數量綱的特點還可參見式(14)(Gibbs-Helmholtz公式)，在等式右側的分母上，學生常為是T還是T2，引起記憶困難。從量綱的特點我們可以看到，等式左側為能量比溫度的平方形式，因此右側也應具有相同的量綱，這樣就能很清楚地記憶等式的右側分母應是具有T2的形式。利用函數的量綱特性來簡化公式的記憶在動力學的公式中也能看到，如在過渡態(tài)理論計算反應速率常數的公式(式(15))中，2個e的指數項出現了具有相似形式的兩個分式，一個是熵變除以R的形式，一個是焓變除以RT的形式。通過上面所說的熵、焓的量綱分別對應的是R和RT的量綱，結合自然對數或指數項是無量綱的特點，很容易對式(15)中出現的分式進行區(qū)分和準確記憶。

(13)

(14)

(15)

物理化學公式多，記憶復雜，上面通過舉例分別說明了物理化學公式記憶的3種方法，這3種方法不是孤立的而是緊密聯系的。例如統(tǒng)計熱力學中波爾茲曼分布公式(式(16))和動力學部分的阿累尼烏斯方程(式(17))具有相似的形式，而其e指數項差異性的記憶可以通過函數的量綱特性來記憶。例如式(17)，Ea和RT的量綱均為J·mol-1，式(16)中εi和kBT的量綱均為J， 這樣才能使e的指數項為無量綱的數值。

(16)

k=Ae-Ea/RT

(17)

4 結語

當今時代的學生思想活躍，接受新事物的能力強，學習知識的渠道多，視野寬廣。教師在講課時，一方面必須能在理論上剖析透徹，靈活運用熱力學、動力學的基本原理講授函數關系式的推導方法，培養(yǎng)學生的抽象思維能力和邏輯推理能力，增強他們運用數學意識的過程；另外一方面，運用類比法對物理化學公式中的規(guī)律進行觀察和總結，以理解學習代替記憶學習，在簡化公式記憶的同時，既可加深對物理化學知識點的理解，也可以使學生對自然規(guī)律的普遍聯系有更深入的認識，更好地提高學習效果。

[1] 傅獻彩,沈文霞,姚天揚,等.物理化學.第5版.北京:高等教育出版社,2006

[2] 王旭珍,靳長德,王新平.大學化學,2009,24(5):69

[3] 李震川.化學通報,1982(1):48

[4] 王樹國,袁譽洪,李金林,等.廣東化工,2010,37(201):168

[5] 阿里木江K·艾拜都拉,開麗比努爾·艾山,朱玉軍.北京教育學院學報,2004,2(2):5

[6] 尹春玲.平頂山師專學報,2002,17(5):94

[7] 陳家緯,楊忠芳.張德會.中國地質教育,2005(4):410

[8] 張保安,嚴鳳嬌.高等理科教育,2009(1):44