唐偉敏

（中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)院 武漢 430073）

0 引 言

灰色系統(tǒng)理論自1982年問世以來，理論研究與應(yīng)用都取得了很大進(jìn)步.GM（1，1）模型作為常用模型，在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域也常用作預(yù)測(cè)模型.在建立GM（1，1）模型進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，模型誤差是不可避免的.模型殘差產(chǎn)生的原因有很多，其中一個(gè)就是模型未引入滯后項(xiàng)所導(dǎo)致的，這在經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)中是普遍存在的.滯后效應(yīng)是指因變量受到自身或另一解釋變量的前幾期值影響的現(xiàn)象.因此，本文在對(duì)殘差進(jìn)行分析時(shí)，試圖利用時(shí)間序列處理數(shù)據(jù)的思想對(duì)數(shù)據(jù)相對(duì)較多的序列進(jìn)行殘差修正，充分提取殘差信息.

為了提高模型的精度，有很多學(xué)者專家從殘差方面研究，對(duì)GM（1，1）模型進(jìn)行改進(jìn).文獻(xiàn)［1－2］介紹了已提出的殘差GM（1，1）模型，時(shí)序殘差GM（1，1）模型等.文獻(xiàn)［3－4］針對(duì)常規(guī)的灰色模型沒有考慮時(shí)滯效應(yīng)的問題，在 MGM（1，m）模型中引入時(shí)滯項(xiàng)，提出了時(shí)滯 MGM（1，m）模型.文獻(xiàn)［5－6］采用GM（1，1）模型對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)后，再用ARMA模型對(duì)殘差進(jìn)行擬合，利用二者的組合模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，取得了較好的結(jié)果.文獻(xiàn)［7－8］與文獻(xiàn)［9－11］引入了 GM（1，1，sinω）模型，該模型對(duì)于波動(dòng)性較大且具有周期擺動(dòng)的資料較為適用，在離散性越大的情況下越能體現(xiàn)出它的優(yōu)越性.

本文在對(duì)殘差進(jìn)行自相關(guān)分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)際中經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)存在的時(shí)滯效應(yīng)，提出新的時(shí)滯GM（1，1）模型，在實(shí)例中顯示，擬合效果較好，并且新模型的殘差為白噪聲序列.

1 模型的建立與檢驗(yàn)

1.1 GM（1，1）模型

將最小二乘法求得的結(jié)果代入微分方程，求解的 GM（1，1）預(yù)測(cè)模型為

1.1.2 模型的檢驗(yàn)

式中：ρ為取定的最大百分比，一般取0.5；Δ（k）為原始序列與模型擬合值的絕對(duì)誤差，Δ（k）＝｜（0）（k）－ x（0）（k）｜.

1.2 AR模型

具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為p階自回歸模型，簡(jiǎn)記為AR（p）：

條件一：φp≠0，這個(gè)限制條件保證了模型的最高階數(shù)為p.

條件二：E（εt）＝0，Var（εt）＝σ2ε，E（εtεs）＝0，s≠t，這個(gè)限制條件實(shí)際上是要求隨機(jī)干擾序列｛εt｝為零均值白噪聲序列.

條件三：Exsεt＝0，?s＜t，這個(gè)限制條件說明當(dāng)期的隨機(jī)干擾與過去的序列值無關(guān).

當(dāng)φ0＝0時(shí)，自回歸模型又稱為中心化的AR（p）模型.對(duì)一個(gè)平穩(wěn)非白噪聲且自相關(guān)的序列，可以建立AR（p）模型來提取信息.

1.3 一種新的時(shí)滯GM（1，1）模型

1.3.1 模型建立

為了使模型的精度更高，對(duì)數(shù)據(jù)的信息從分利用，對(duì)GM（1，1）模型擬合的殘差進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)殘差序列非白噪聲，說明殘差部分還有信息沒有提取，不能將殘差部分丟掉，因此需對(duì)殘差建立適當(dāng)模型來修正灰色模型預(yù)測(cè)的誤差.當(dāng)殘差存在自相關(guān)時(shí)，即存在滯后問題，因此嘗試用含滯后項(xiàng)的灰色 GM（1，1）模型，考慮x（1）（t）－＾x（1）（t）的滯后問題，取含有滯后時(shí)期為p 階的灰色GM（1，1）模型進(jìn)行分析.

1.3.2 模型求解

定理 若采用最小二乘線性回歸擬合，待估參數(shù)為：u＝［ψ1… ψpc b］T，則最小二乘法求解可得＾u＝（BTB）－1BTY.式中：

證明 將數(shù)據(jù)代入模型x（1）（t）＝ψ1x（1）（t－1）＋…＋ψpx（1）（t－p）＋ce－a（t－p）＋b寫成矩陣形式如

兩邊同乘以（BTB）－1，即可得＝（BTB）－1BTY，定理成立.

2 在GDP指數(shù)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值是反映一國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的生產(chǎn)規(guī)模及綜合實(shí)力的總量指標(biāo)，在經(jīng)濟(jì)研究中發(fā)揮著重要的作用，是宏觀經(jīng)濟(jì)中最受關(guān)注的經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)數(shù)字，是目前各個(gè)國(guó)家和地區(qū)用來衡量該國(guó)或地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展綜合水平通用的指標(biāo)，同時(shí)也是政府制定經(jīng)濟(jì)發(fā)展戰(zhàn)略和經(jīng)濟(jì)政策的重要依據(jù).因此，對(duì)我國(guó)GDP指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)具有重要意義.數(shù)據(jù)來源：中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒.（1978～2008年GDP指數(shù)，以不變價(jià)格計(jì)算，1978年為100）.

下面運(yùn)用3種不同的方法對(duì)我國(guó)GDP指數(shù)序列進(jìn)行建模.

2.1 傳統(tǒng)GM（1，1）模型

2.2 文獻(xiàn)［2］單變量的時(shí)滯GM（1，1）模型

選擇擬合效果最好的三階滯后模型如下

2.3 新的時(shí)滯GM（1，1）模型

通過平穩(wěn)性檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)殘差序列平穩(wěn)2階自相關(guān)，利用SAS軟件得到下面的殘差A(yù)R（2）模型表達(dá)式為

式中：殘差υt為白噪聲序列.說明信息已提取完.

計(jì)算出擬合的平均相對(duì)誤差絕對(duì)值MAPE＝1.1438%，說明精度有明顯提高.

對(duì)回歸方程參數(shù)顯著性檢驗(yàn)可以看出，方程4個(gè)待估的參數(shù)均顯著.對(duì)殘差υt進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)以及白噪聲檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)殘差顯著為平穩(wěn)白噪聲序列，因而沒有信息可以提取，分析到此可結(jié)束.

3種模型結(jié)果對(duì)比見表1.

表1 3種模型結(jié)果對(duì)比

續(xù)表1

從表1可以看出3種模型的擬合值均能通過檢驗(yàn)，但是在殘差分析方面，只有第3種模型的殘差為白噪聲，并且平均相對(duì)誤差絕對(duì)值明顯小于前兩種模型的殘差，精度98.86%，灰色關(guān)聯(lián)度也顯著大于前兩個(gè)模型的，由此可見，本文提出的時(shí)滯GM（1，1）模型可以用來預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù).

3 結(jié) 論

1）本文采用較多數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，是為了引入時(shí)間序列平穩(wěn)白噪聲序列無信息可提取的思想，用來說明經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)變量存在的滯后性，取得了較好的結(jié)果，實(shí)際上，針對(duì)相對(duì)較少數(shù)據(jù)加入滯后項(xiàng)后精度也大大提高，其滯后期階數(shù)由擬合殘差的平均相對(duì)誤差絕對(duì)值最小而定.

2）對(duì)于經(jīng)濟(jì)變量數(shù)據(jù)，一般都存在滯后性，本文針對(duì)我國(guó)1978～2008年的GDP指數(shù)數(shù)據(jù)，在運(yùn)用灰色GM（1，1）模型的基礎(chǔ)上，運(yùn)用時(shí)間序列AR模型處理經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)滯后性問題，提出新的滯后GM（1，1）模型，在模型精度上取得了較好的結(jié)果.

3）對(duì)于滯后期的選取，本文由殘差滯后分析、參數(shù)顯著性以及對(duì)平均相對(duì)誤差絕對(duì)值最小所得，實(shí)際上計(jì)算出滯后一期的 ，滯后三期的（且有兩個(gè)滯后項(xiàng)的回歸系數(shù)不顯著）.

4）本文建立新的時(shí)滯GM（1，1）模型中發(fā)展系數(shù)a沒變，在參數(shù)估計(jì)方面，也可以采用遞推的方程估計(jì)，因而該模型還可以從這方面進(jìn)行優(yōu)化.

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