張 弩,宗 智,于 馨

(大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室船舶工程學(xué)院,遼寧 大連 116024)

局部微分求積法的深水包絡(luò)孤立波數(shù)值模擬

張 弩,宗 智,于 馨

(大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室船舶工程學(xué)院,遼寧 大連 116024)

利用局部微分求積法(LDQ)對非線性薛定諤(Schr?dinger)方程進(jìn)行數(shù)值求解,分別模擬了單深水孤立波運動,同向雙深水孤立波追趕碰撞耦合運動,高階孤立波振動和孤立波的反射與透射現(xiàn)象,得到各情況下的數(shù)值結(jié)果。從數(shù)值模擬及圖像中揭示非線性薛定諤方程的性質(zhì)和特點,闡述深水孤立波形成的物理意義、運動方式和運動規(guī)律,分析在不同初值條件下波形的變化特點,驗證了LDQ法對該類問題的有效性。

局部微分求積法;孤立波;非線性薛定諤方程;數(shù)值模擬

Abstract:The nonlinear Schr?dinger equation describes the evolution of the envelope ofmodulated wave groups.This equation has soliton solutions.Numerical simulationsof Nonlinear Schr?dinger Equation are studied using localized differential quadraturemethod.Propagation of a deep-water soliton and interactionof two deep-water solitons in the same direction,the Higher-order soliton′s vibration and the soliton′s reflection and transmission are simulated.The numerical results of every case are obtained.The properties and characteristics of the nonlinear Schr?dinger equation areobtained from numerical simulationsand images.The physicalmeanings,motionmodesandmotion lawsof deep-water solitons are discussed.Thewaveform changes at different initial conditions are analyzed.The validity of LDQ method for solving this kind of problems is proved.

Key words:localized differential quadraturemethod;soliton;nonlinear Schr?dinger equation;numerical simulation

非線性薛定諤(Schr?dinger)方程描述了深水調(diào)幅波群的包絡(luò)隨時間的演化。該方程存在孤立波解。對非線性薛定諤波浪傳播方程的求解對于研究深水包絡(luò)孤立波具有重要的理論和實際意義。

關(guān)于某些特殊情況的非線性薛定諤方程的解析解,以及精確孤立波解,學(xué)者們提出了許多精巧的方法,如行波解法[1];Jacobi橢圓函數(shù)展開法[2];分?jǐn)?shù)變換法[3];反散射方法[4];分步傅里葉法[5];齊次平衡法[6];李群約化法[7]等等。但非線性薛定諤方程作為一個非線性偏微分方程,在更一般的情況下無法求出解析解,因此需要進(jìn)行數(shù)值分析探尋其數(shù)值解。

孤立波是一種特殊的水波,具有保持其波形和速度不變的特點,孤立波之間能發(fā)生強(qiáng)烈的相互作用,但相互作用后仍能保持其各自特點、形狀、速度不變。因此孤立波被稱為自然界的相干結(jié)構(gòu),反映了非線性系統(tǒng)中的驚人有序性,孤立波理論的產(chǎn)生與發(fā)展是非線性偏微分方程研究中的一個重要組成部分。正是由于孤立波是這樣一種非線性和色散的微妙平衡,在傳播過程中始終保持穩(wěn)定的速度和形狀,所以對數(shù)值精度的要求很高,低精度的方法由于數(shù)值耗散,不能給出很好的結(jié)果。采用高精度的局部微分求積法(LDQ法)對其進(jìn)行求解。

微分求積法(DQ法)的基本原理是Belman和Casti于1971年提出的[8],自提出以來DQ方法己被成功運用到許多工程物理中,其基本思想是函數(shù)對某一變量的偏導(dǎo)數(shù)可以由在此變量方向上所有離散點處的函數(shù)值的加權(quán)線性求和來逼近。這個方法數(shù)學(xué)原理簡單,計算精度高,計算量少,使用方便,不依賴泛函和變分原理,邊界條件不用另外考慮。但DQ法對不規(guī)則區(qū)域較難處理,對網(wǎng)格分布要求高,當(dāng)節(jié)點增加到一定的數(shù)目時,系數(shù)矩陣會出現(xiàn)病態(tài)情況。為此學(xué)者們做了很多研究改進(jìn),簡單并且有效的改進(jìn)方法是局部微分求積法(LDQ法)[9]。LDQ法的基本原理是將某點的導(dǎo)數(shù)近似為此點附近局部節(jié)點的函數(shù)值及其加權(quán)系數(shù)的線性組合。LDQ法在具有DQ法優(yōu)點的同時,出現(xiàn)了帶狀稀疏矩陣,為不規(guī)則區(qū)域的處理提供了可能。利用LDQ法將非線性薛定諤方程進(jìn)行空間離散后,再利用經(jīng)典4階Runge-Kutta法在時域上離散,求得其數(shù)值解。

1 深水調(diào)幅波群的非線性薛定諤控制方程

深水調(diào)幅波群的非線性薛定諤方程表述[10]:

2 數(shù)值方法

LDQ方法基本思想是取與節(jié)點x(i)相近的m個節(jié)點(包括x(i))的函數(shù)值與其加權(quán)系數(shù)之和作為該節(jié)點的導(dǎo)數(shù)值。而其中的權(quán)系數(shù)不依賴于任何具體問題,只與網(wǎng)格剖分有關(guān)。該方法采用局部節(jié)點處理的方法,使其能夠適用于某些復(fù)雜區(qū)域問題,當(dāng)節(jié)點增加到一定的數(shù)目時,系數(shù)矩陣也不會出現(xiàn)病態(tài)情況。

由于LDQ方法中節(jié)點的近似函數(shù)值只與附近節(jié)點的函數(shù)值有關(guān),因而采用在DQ法中的Chebyshev節(jié)點等非均勻節(jié)點則無必要,一般采用均勻分布節(jié)點即可滿足精度要求。

LDQ方法的第一步是要找到所求節(jié)點的鄰域。我們用:

由式(14)、(15)加上適當(dāng)?shù)某跏紬l件,利用經(jīng)典4階Runge-Kutta法在時域上離散求得函數(shù)的數(shù)值解。

3 算例介紹

按以上數(shù)值方法編寫Fortran程序,求解下列不同情況下的算例。

3.1 單孤立波的運動及驗證

一種簡單的孤立波解可以表述[10]:

將式(18)作為初始條件,代入Fortran程序中應(yīng)用LDQ法進(jìn)行求解。對于LDQ法,節(jié)點數(shù)越多,數(shù)值結(jié)果越精確[11]。取總節(jié)點數(shù)N=400,局部節(jié)點數(shù)m=5,已足夠達(dá)到精確性要求。分別取t=0.0、1.0、2.0三個時刻的實部函數(shù)、虛部函數(shù)和包絡(luò)線函數(shù)的數(shù)值解與包絡(luò)線函數(shù)的解析解,函數(shù)圖像如圖1所示。

圖1 不同時刻時單孤立波的運動Fig.1 Themotion of a soliton at different times

從圖1中可以觀察到,孤立波在行進(jìn)途中始終保持穩(wěn)定的速度和形狀,不會分流成更小的波,也不會損失能量。孤立波能穩(wěn)定傳播的原因,在于孤立波在傳播過程中同時存在色散效應(yīng)和非線性的匯聚效應(yīng),且這兩種效應(yīng)的傳播速度相反,當(dāng)兩種作用達(dá)到某種平衡時,才能出現(xiàn)波形和速度穩(wěn)定的孤立波。

比較圖1中包絡(luò)線函數(shù)的數(shù)值計算解與解析精確解,二者吻合得很好,可見數(shù)值解充分逼近精確解,從而驗證了數(shù)值計算的精確性。

3.2 兩同向孤立波追趕碰撞耦合運動

兩同向孤立波追擊耦合運動,取初始條件:

分別取兩孤立波的位置為-10.0與10.0處,按式(16),取ve1=8.0,ve2=2.0,φ0=1.0,q=2.0,則t=0時的初始條件:

將式(20)作為初始條件進(jìn)行求解,取總節(jié)點數(shù)N=400,局部節(jié)點數(shù)m=5,得到各個時刻的函數(shù)圖像。取函數(shù)的實部f(x,t)演示,如圖2所示。

圖2 不同時刻時兩同向孤立波的耦合運動Fig.2 The interction of two deep-water solitons in the same direction at different times

根據(jù)圖2可以看出,波速較快孤立波的載體波數(shù)較多,兩孤立波追擊相遇后,耦合成一道大約2倍振幅的大波,但交匯過后,兩波又重新出現(xiàn),逐漸分開,回復(fù)為碰撞前的形狀。孤立子在碰撞的時候不滿足一般線性波動的疊加原理,碰撞過程就像波速較快的孤波把波速較慢的孤波吞掉后,然后又把波速較慢的孤波吐了出來,并且各自都毫發(fā)無傷。這種現(xiàn)象很顯然的是一種非線性的疊加,這也正是孤立波最重要的性質(zhì)之一。本例中所模擬的深水孤立波與KdV方程所描述的淺水孤立波不同,KdV方程所描述的兩淺水孤立波耦合后的合成波幅小于其中波幅較大者的幅度[12],而深水孤立波耦合后波幅會疊加增大。

3.3 高階孤立波

求解高階孤立波解的初始條件[13]:

系數(shù)M可為任意值,當(dāng)M為整數(shù)時,為穩(wěn)定孤立波,M=1時,為基本孤立波。取M=3的情況進(jìn)行模擬,取總節(jié)點數(shù)N=400,局部節(jié)點數(shù)m=5,得到高階孤立波振動的圖像,取包絡(luò)函數(shù)進(jìn)行演示,如圖3所示。

在輸入的初始條件為對稱性條件下,其輸出的孤立波以相同速度傳播。此時在群速度參考系中,所有孤立波的速度為零。當(dāng)大量的孤立波以相同速度傳播時,其疊加振幅由于孤立波間的相位干涉而出現(xiàn)振動特性。振動將產(chǎn)生非常大的波幅。

高階孤立波在傳播中波形發(fā)生周期變化,對于M=3的三階孤立波在傳播中變化很復(fù)雜。如圖3,它在1/4周期(t=0.2)與3/4周期(t=0.6)處,形成了兩側(cè)各有一個小峰的高大尖峰,而在半周期處(t=0.4)那個高大的尖峰又分裂為兩個峰。

圖3 高階孤立波的振動(M=3)Fig.3 The higher-order soliton′s vibration(M=3)

3.4 孤立波的反射和透射

孤立波在遇到不同介質(zhì)等引起的不均勻時,在界面處會將一部分反射,而另一部分將透射過去。

按式(16)取孤立波的初值,取ve=4.0,φ0=1.0,總節(jié)點數(shù)N=400,局部節(jié)點數(shù)m=5,設(shè)界面在x=10處,即令x≤10時,式(14)～ (16)中的q=2.0,x>10時,q=1.0。則得到孤立波入射到一個界面時的反射和透射的數(shù)值模擬,取函數(shù)的實部f(x,t)進(jìn)行演示,如圖4所示。

圖4 不同時刻時孤立波的反射和透射Fig.4 The soliton′s reflection and transmission at different times

由圖4可見,孤立波入射到一個界面時,在界面處會將一部分折返回原介質(zhì),在原介質(zhì)形成一個反向行進(jìn)的反射波,而另一部分透射到另一介質(zhì),在另一介質(zhì)中沿原來的方向繼續(xù)前進(jìn)。由于反射波的能量耗散,相比于入射波,透射波的波幅減小。而透射波的波數(shù)相比于入射波增加,這是因為在介質(zhì)的分界面上透射波發(fā)生了分裂。數(shù)值計算結(jié)果在物理上很好地解釋了孤立波的傳播,入射波分成了反射波和透射波,然后發(fā)生分裂的現(xiàn)象。

4 結(jié) 語

主要研究了局部微分求積法(LDQ法)對非線性薛定諤方程的孤立波解的數(shù)值求解。由于非線性孤立波在傳播過程中始終保持穩(wěn)定的速度和形狀,對數(shù)值精度的要求很高。LDQ法采用局部節(jié)點處理的方法,計算精度高,計算量小,使其能夠勝任對非線性孤立波的求解。

分別模擬了單深水孤立波運動,同向雙深水孤立波追趕碰撞耦合運動,高階孤立波振動和孤立波的反射與透射現(xiàn)象,并得到了較好的數(shù)值結(jié)果,展示了深水孤立波的一些奇妙特性和運動規(guī)律,分析了在不同初值條件下波形的變化特點,也驗證了LDQ法對該類問題的有效性。

由于深水孤立波是一種非常復(fù)雜的非線性現(xiàn)象,此處只是一個初步的研究,在未來的工作中將致力于將1+1維的數(shù)值方法拓展到2+1維。

[1] 劉式適,劉式達(dá).物理學(xué)中的非線性方程[M].北京:北京大學(xué)出版社,2001:214-217.

[2] Zhu Jia-min,Ma Zheng-yi,Fang Jian-ping,etal.General jacobian elliptic function expansionmethod and itsapplications[J].Chinese Physics,2004,13(6):798-804.

[3] 朱家民.高階非線性薛定諤方程的精確解研究[J].激光與紅外,2006,36(5):389-391.

[4] 王 偉,吳士明,孫建華.一般非線性schr?dinger方程的顯示孤立波解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2004,27(2):282-290.

[5] 趙 磊,隋 展,朱啟華,等.分步傅里葉法求解廣義非線性薛定諤方程的改進(jìn)及精度分析[J].物理學(xué)報,2009,58(7):4731-4737.

[6] 范恩貴,張鴻慶.非線性孤子方程的齊次平衡法[J].物理學(xué)報,1998,47(3):353-362.

[7] 阮航宇,李慧軍.用推廣的李群約化法求解非線性薛定諤方程[J].物理學(xué)報,2005,54(3):996-1001.

[8] Bellman R E,Casti J.Differential quadrature and long-term integration[J].Journalof Mathematical Analysisand Applications,1971,34:235-238.

[9] Zong Z,Lam K Y.A localized differential quadraturemethod and its application to the 2D wave equation[J].ComputationalMechanics,2002,29:382-391.

[10] 張義豐,李瑞杰,羅 鋒,等.深水波浪非線性薛定諤方程及其精確解[J].水科學(xué)進(jìn)展,2009,20(3):361-365.

[11] Zong Z,Zhang Y Y.Advanced Differential Quadrature Methods[M].New York:CRC Press,2009:241-255.

[12] 王振東.孤立波與孤立子[J].力學(xué)與實踐,2005,27(5):86-88.

[13] 龐小峰.孤子物理學(xué)[M].成都:四川科學(xué)技術(shù)出版社,2003:168-169.

Numerical simulationsof deep-water envelope solitons using localized differential quadrature(LDQ)method

ZHANGNu,ZONG Zhi,YU Xin
(School of Naval Architecture Engineering,State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment,Dalian Universityof Technology,Dalian 116024,China)

TV139.2

A

1005-9865(2011)01-0041-06

2010-04-21

創(chuàng)新研究群體科學(xué)基金資助項目(50921001);國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃資助項目(2010CB83270)

張 弩(1984-)男,遼寧本溪人,博士生,主要從事船舶與海洋工程水動力性能計算研究。E-mail:zhangnu@yahoo.cn