楊志全 ，侯克鵬，郭婷婷，馬 秋

（1. 中國科學(xué)院 水利部成都山地災(zāi)害與環(huán)境研究所，成都 610041；2. 中國科學(xué)院 山地災(zāi)害與地表過程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610041；3. 中國科學(xué)院 研究生院，北京 100049；4. 昆明理工大學(xué) 國土資源工程學(xué)院，昆明 650093；5. 中國有色金屬工業(yè)昆明勘察設(shè)計(jì)研究院，昆明 650051）

1 引 言

滲透注漿是目前應(yīng)用最廣泛的注漿方法之一，廣泛地運(yùn)用于各類工程之中，如：地下工程的加固與防滲、建筑物的基礎(chǔ)加固及地下工程支撐等。漿液在被注介質(zhì)中的滲流及擴(kuò)散形式取決于注漿方式[1]：①當(dāng)由鉆桿端部注漿（即點(diǎn)注漿）時(shí)，呈球面擴(kuò)散；②當(dāng)注漿不分段（注漿管穿過含水層到達(dá)底部不透水層），即通過完整孔或自下而上分段注漿時(shí)，形成柱形擴(kuò)散方式；③當(dāng)非完整孔或自上而下分段注漿時(shí)，就形成呈柱-半球形擴(kuò)散方式。

目前，在注漿領(lǐng)域，由于實(shí)際過程中的復(fù)雜性，所以導(dǎo)致其理論遠(yuǎn)遠(yuǎn)滯后于應(yīng)用。比較成熟的球形擴(kuò)散理論及柱面擴(kuò)散理論是基于牛頓體漿液的球形及柱面的滲透注漿機(jī)制研究[2]。楊秀竹[3]對(duì)賓漢體漿液的球形及柱面的滲透注漿機(jī)制進(jìn)行了研究并取得一定的成果。但這些相對(duì)比較成熟的滲透注漿機(jī)制研究幾乎都是基于球形及柱面基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，對(duì)于以柱-半球形方式滲透擴(kuò)散的注漿就不適用。對(duì)于國內(nèi)外的注漿實(shí)際工程，一方面，非牛頓體漿液較之牛頓體漿液，在各級(jí)建設(shè)工程中得到了廣泛的應(yīng)用，據(jù)文獻(xiàn)[4]，目前注漿實(shí)際工程中常用的水灰比（W/C）0.8～1.0的水泥漿、水泥黏土漿液、水泥復(fù)合漿液都是賓漢體漿液，屬于典型非牛頓體；另一方面，漿液都未考慮其黏度時(shí)變性，若不考慮其時(shí)變性，黏度固定為初始黏度值，計(jì)算出的理論擴(kuò)散尺寸顯然遠(yuǎn)大于實(shí)際注漿過程中的測(cè)量值。

從以上國內(nèi)外文獻(xiàn)綜述分析可以看出：對(duì)采用非完整孔或自上而下分段的方式注漿形成的柱-半球形擴(kuò)散滲透注漿機(jī)制的研究較少，但隨著注漿技術(shù)工程適用范圍的日益增大，柱-半球形滲透注漿也必然會(huì)在實(shí)際注漿工程到得到廣泛地運(yùn)用。雖然近年來也有人對(duì)柱-半球形開展過研究[1－5]，但由于所推導(dǎo)的機(jī)制公式參數(shù)物理意義不明確，且沒有考慮漿液黏度時(shí)變性，因而難以滿足工程實(shí)踐的需要及保證實(shí)際的注漿效果。因此，本文對(duì)黏度時(shí)變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿機(jī)制進(jìn)行探討。

2 黏度時(shí)變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿機(jī)制探討

2.1 流變方程及滲流運(yùn)動(dòng)方程的研究

賓漢體漿液的流變方程為[6]

流體黏度時(shí)變性規(guī)律為[4]

聯(lián)立式(1)與式(2)可以得到黏度時(shí)變的賓漢體漿液的流變方程為

式中：τ為剪切應(yīng)力；τ0為屈服應(yīng)力；np為塑性黏度(固定)；γ為剪切速率為流體初始黏度值，與式(1)中固定的粘塑性黏度值np相等；t為注漿時(shí)間；np(t)為第t時(shí)刻流體的黏度值；τ0(t)為第t時(shí)刻流體變動(dòng)的屈服應(yīng)力；k為黏性時(shí)變系數(shù)，可以通過試驗(yàn)測(cè)得。

又由文獻(xiàn)[4]，水泥漿液賓漢體的屈服應(yīng)力隨時(shí)間變化不大，可視為無時(shí)變性，即 τ0(t)= τ0(0)= τ0，由式（3）得到目前實(shí)際注漿工程運(yùn)用最廣泛的水泥漿液賓漢體的基于黏度時(shí)變性的流變方程(本文基于該式展開研究)。

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，設(shè)圓管的半徑為r0，在圓管中，取一段以管軸為對(duì)稱軸的微流體柱元素，長度為dl，半徑r＜r0。微流體柱元素段dl兩斷面所承受壓力分別為 p+dp和p，因而兩側(cè)壓差為dp（其中的p+dp與dp是用水頭表示的壓力）；表面上所受剪切應(yīng)力為τ，方向向左與流速方向相反，示意圖如圖1。

在不考慮流體重力情況下，根據(jù)圖1,微流體柱上受力滿足平衡，其關(guān)系為

該式表明：剪切應(yīng)力τ與管內(nèi)徑向距離r直接成正比關(guān)系；因而，在圓管中心線附近處τ很小，幾乎接近于0，反之在管壁處，τ最大。

圖1 基于黏度時(shí)變性的賓漢體漿液在圓管中的流動(dòng)示意圖Fig.1 Flow diagram of Bingham fluid based on time-dependent behavior of viscosity in the pipe

當(dāng)r=r1， τ=τ0；由式（6）得到：

聯(lián)立式（4）與（6），得到

積分得到：

式中：c為積分系數(shù)。

對(duì)于黏度時(shí)變性賓漢體漿液[6]：在 τ=-(r/2)/(dp/dl)≤ τ0時(shí)，表明不受剪切應(yīng)力τ作用，也即是：在圓管中存在一個(gè)徑向距離 r1，在 0 ≤ r ≤ r1內(nèi)流體相對(duì)于鄰層流體處于靜止?fàn)顟B(tài)的，其呈活塞式運(yùn)動(dòng)，速度 v=v1，得到其速度方程為

在r1≤ r ≤ r0范圍內(nèi)，流體相對(duì)于鄰層流體處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由邊界條件r=r0，v=0；得到其速度方程為

由上面的分析和圖1表明[8]，圓管中的流體速度為截頭拋物面形狀，其流量為通過剪切區(qū)（r1≤ r ≤ r0）與活塞區(qū)(0 ≤ r ≤ r1)流量之和，流量q為

聯(lián)立式(10)～(12)，解得q為

則流體的平均流速為

要使流體能在圓管中流動(dòng)，則需要克服阻礙流動(dòng)的臨界值(初切應(yīng)力)τ0，也就是流體的啟動(dòng)壓力梯度[7]，即要使 q =0，則令式(13)=0，也即解得：

為方便表述，令

亦即黏度時(shí)變性賓漢體漿液的啟動(dòng)壓力梯度。

聯(lián)立式（14）與式（16）～（18）4式，得到黏度時(shí)變性賓漢體漿液滲流運(yùn)動(dòng)方程為

式中：φ為孔隙率；μ為水的黏度；V為時(shí)變性賓漢體漿液的滲流速度。

2.2 基于黏度時(shí)變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿機(jī)理探討

在研究黏度時(shí)變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿機(jī)制時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)[4, 10－11]，提出如下假設(shè)：①被注介質(zhì)為均質(zhì)和各向同性；②流體為不可壓縮、均質(zhì)及各向同性且黏度存在時(shí)變性，其變化關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，而賓漢姆流體的屈服應(yīng)力在注漿過程中基本不變；③采用填壓法注漿，漿液通過非完整孔或自上而下分段注漿注入地層；④漿液流速較小，漿液除了在注漿孔周圍局部區(qū)域的流態(tài)呈紊流狀態(tài)外，其余皆為層流；⑤重力影響作用忽略不計(jì)。其擴(kuò)散的理論模型見圖2。

圖2 黏度時(shí)變性賓漢體漿液的柱-半球形擴(kuò)散理論模型Fig.2 Column-hemispherical diffusion theory model Bingham fluid based on time-dependent behavior of viscosity

圖中p1為注漿壓力(用水柱表示)；p0為注漿點(diǎn)地下的壓力(用水柱表示)；l0為注漿管半徑；l1為注漿時(shí)間為t時(shí)半球體部分最終擴(kuò)散半徑；m為注漿時(shí)間為 t時(shí)柱體部分?jǐn)U散長度；mdc為注漿管上、底部注漿孔與相鄰側(cè)邊注漿孔的距離；mcc為注漿管側(cè)邊上相鄰注漿孔的距離；msc為側(cè)邊最上注漿孔與注漿體頂部的距離；n為注漿管側(cè)邊上注漿孔個(gè)數(shù)。

開始注漿后其壓力梯度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于啟動(dòng)壓力梯度[12]，即則式（19）可簡(jiǎn)化成：

積分得到

考慮注漿邊界條件[11]：即 p=p1時(shí)，l=l0；p=p0時(shí)，l=l1，得

若λ=0及不考慮時(shí)間對(duì)漿液性質(zhì)的影響，由式（24）即得到牛頓漿液柱-半球形擴(kuò)散公式：

2.3 半球體部分?jǐn)U散半徑l1與柱體部分?jǐn)U散長度m的關(guān)系的探討

在探討半球體部分?jǐn)U散半徑與柱體部分?jǐn)U散長度的關(guān)系，作如下的假設(shè)條件：

①在注漿管側(cè)邊上，每相鄰兩注漿孔的距離都相等，都為mcc；②注漿管上，底部注漿孔與其相鄰側(cè)邊注漿孔距離等于側(cè)邊相鄰注漿孔距離，即：mdc=mcc；③通過每個(gè)側(cè)邊注漿孔注入的注漿量相等，都為Qc，且通過底部注漿孔注入的注漿量與側(cè)邊注漿孔注入的注漿量也相等，即 Qd=Qc。

針對(duì)上面的假設(shè)，對(duì)于①、②可在設(shè)計(jì)上實(shí)現(xiàn)，在不考慮重力影響作用下，則可以實(shí)現(xiàn)③。由此，本文的所做的假設(shè)是合理可行的。在理想條件下：總的注漿量為： Q= Qd+ nQc= (n + 1)Qd；柱體部分?jǐn)U 散 長 度 m= mdc+ (n -1)mcc+ msc= nmcc(或 mdc)+msc。

漿液通過注漿管上底部與側(cè)邊的注漿孔向四周擴(kuò)散。據(jù)圖 2，理論上分析：①通過底部注漿孔向四周擴(kuò)散的漿液量，一半在以其為界面的下平面擴(kuò)散成一個(gè)半球體(所需漿液的體積為另一半在以其為界面的上平面擴(kuò)散成圓柱形；②側(cè)邊注漿孔向四周擴(kuò)散的漿液量，一半在以其為界面的下平面擴(kuò)散圓柱形，另一半在以其為界面的上平面擴(kuò)散形成另一個(gè)圓柱形。因此，理論上，半球體為底部注漿孔擴(kuò)散的一半漿液量形成，其另一半漿液量與其相鄰側(cè)邊注漿孔擴(kuò)散的一半漿液形成二者之間的圓柱體，相鄰側(cè)邊注漿孔各自的一半漿液擴(kuò)散成他們之間的圓柱體，最上面?zhèn)冗呑{孔的一半漿液擴(kuò)散形成它與頂部的圓柱形體，由此，連在一起形成一個(gè)以注漿管為軸的圓柱-半球形擴(kuò)散注漿體。

（1）最上面?zhèn)冗呑{孔(即，側(cè)邊第n個(gè)注漿孔)以下每兩個(gè)注漿孔之間部分的圓柱體滿足：

（2）最上面?zhèn)冗呑{孔以上部分的圓柱體V上側(cè)圓柱形：滿足關(guān)系式

將式（29）帶入式（24）得到只含擴(kuò)散半徑l1的柱-半球形滲透注漿擴(kuò)散機(jī)理公式

3 參數(shù)的確定及公式的適用范圍

3.1 參數(shù)的確定

對(duì)黏度時(shí)變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿機(jī)制，即式（30）中各個(gè)參數(shù)的確定如下：

孔隙度φ為孔隙體積占總體積的比例，由下式得，

式中：ω為含水率，γ為土的天然重度，γs為土粒重度，都可依據(jù)文獻(xiàn)[13]測(cè)定。

為確定參數(shù)β、λ，需測(cè)定漿液的屈服應(yīng)力τ0、初始黏度值np0及圓管半徑r0。對(duì)于τ0及np0在采用旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)或者毛細(xì)管黏度計(jì)等測(cè)量不同剪切速率下的剪切應(yīng)力讀數(shù)值的基礎(chǔ)上，通過下式計(jì)算得到[14]：

式中：γ1、γ2，τ1、τ2分別為在配置好漿液瞬間，黏度計(jì)測(cè)定的兩個(gè)不同剪切速率對(duì)應(yīng)的剪切應(yīng)力。

在測(cè)定的被注介質(zhì)滲透系數(shù)K與孔隙度φ值及查詢不同溫度下水的黏度μ后，通過式(17)計(jì)算出r0，再由式(16)、(18)分別計(jì)算出參數(shù)λ、β。

注漿管的底部及側(cè)部注漿孔半徑l0可通過多次直接測(cè)定，求取平均值；注漿時(shí)間t則根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)及實(shí)際的工程情況進(jìn)行選??；注漿管的側(cè)邊注漿孔個(gè)數(shù)n根據(jù)具體的試驗(yàn)或?qū)嶋H情況設(shè)計(jì)；滲透系數(shù)K可在室內(nèi)試驗(yàn)或野外現(xiàn)場(chǎng)測(cè)定。

至此，在基于黏度時(shí)變性的賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿擴(kuò)散機(jī)制中，即式（30），除漿液的理論擴(kuò)散半徑l1是一個(gè)未知數(shù)外，其他的系數(shù)通過上面分析均已知，則l1通過式（30）可求；反之，已知l1，可以求出理論上的Δp。同時(shí)通過式（29），也能求出理論的柱體部分?jǐn)U散長度m

3.2 公式的適用范圍

黏度時(shí)變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿機(jī)制，是在假設(shè)賓漢體漿液為層流的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，因而對(duì)于紊流不適用。漿液的層流或紊流狀態(tài)由雷諾數(shù)Re來區(qū)分[15]，當(dāng)Re＞4 000時(shí)為紊流，當(dāng)2 000＜Re＜4 000為層流與紊流的混合流，當(dāng)Re＜2 000時(shí)為層流。

式中：d為漿液運(yùn)動(dòng)范圍尺寸(如：管徑，在本文中指流體在被注介質(zhì)中通過的孔隙尺寸)；np為漿液運(yùn)動(dòng)粘度，意義同上；為漿液運(yùn)動(dòng)平均速度。

4 室內(nèi)注漿驗(yàn)證試驗(yàn)

為驗(yàn)證本文推導(dǎo)的黏度時(shí)變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿機(jī)制，筆者進(jìn)行了室內(nèi)注漿試驗(yàn)。

4.1 注漿材料與被注介質(zhì)的選取

選擇選擇標(biāo)號(hào)為C32.5工程上廣泛運(yùn)用的普通硅酸鹽水泥注漿材料，分別配置水灰比為0.8與1.0水泥漿液（據(jù)大量文獻(xiàn)表明：這兩種漿液在配置瞬間為典型賓漢體漿液[4，16]）。由最新研究文獻(xiàn)[16]，可知各自的黏流變方程(（配置瞬間）與黏度時(shí)變性方程。

為最大限度地滿足被注介質(zhì)為均質(zhì)和各向同性的假設(shè)，選擇兩組顆粒粒徑分布較均勻的礫(砂)石，顆粒粒徑分別在3～5 mm及5～10 mm之間分布，試驗(yàn)前，將其在清水中洗淘3次，等干燥一定程度后開展基本參數(shù)的測(cè)定（見表1）與注漿試驗(yàn)。

表1 兩組顆粒粒徑分布較均勻的礫(砂)石體基本參數(shù)Table 1 Basic parameter of two groups gravel stone body of relatively uniform distribution particle size

4.2 室內(nèi)注漿驗(yàn)證試驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)及試驗(yàn)過程

室內(nèi)注漿試驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)，如圖3所示。

在注漿試驗(yàn)時(shí)，通過供壓裝置采用有壓氮?dú)馓峁┳{壓力，調(diào)節(jié)氮?dú)馄靠谔幍牡獨(dú)鉁p壓器，精確控制壓力輸出，其上所示的壓力即為注漿壓力。有壓氮?dú)馔ㄟ^管道從頂部進(jìn)入對(duì)裝入儲(chǔ)漿容器中的賓漢體漿液施加壓力，漿液由注漿管進(jìn)入裝有顆粒粒徑分布較均勻的礫(砂)石體的注漿試驗(yàn)箱，從而實(shí)現(xiàn)時(shí)變性賓漢體漿液在礫(砂)石體的注漿擴(kuò)散。

圖3 室內(nèi)注漿驗(yàn)證試驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)圖Fig.3 Device design of indoor grouting confirmation experiments

4.3 室內(nèi)注漿驗(yàn)證試驗(yàn)

首先根據(jù)式(33）判定水泥漿液的流層狀態(tài)。

先計(jì)算在配置完備瞬間水泥漿液在注漿管流動(dòng)的Reb：水灰比為0.8的水泥漿液的 R e0.8b=98.88，水灰比為 1的水泥漿液的Re1b=553.16。隨著其進(jìn)入礫(砂)石體，由于水泥漿液黏度時(shí)變性特征，運(yùn)動(dòng)黏度逐漸增大，則引起其可流動(dòng)礫(砂)石體孔隙尺寸與運(yùn)動(dòng)平均速度的減小，從而導(dǎo)致在注漿過程中瞬時(shí)Res減小，則水灰比為 0.8與 1水泥漿液R es＜R0.8b＜ 2 000。表明本實(shí)驗(yàn)采用的兩種水灰比的水泥漿液在注漿過程中符合層流理論基礎(chǔ)。

設(shè)計(jì)水灰比為 1的水泥漿液注入粒徑為 3～5 mm的礫(砂)石體中，為便于敘述，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)1；而粒徑為 5～10 mm 的礫(砂)石體中注入水灰比為0.8的水泥漿液，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)2。試驗(yàn)在室內(nèi)溫度及水溫為 20℃開展（20℃時(shí)，水的黏度μ=1.01×10-3Pa?s ），采用半徑7.5 mm的PVC管為注漿管。

注漿驗(yàn)證試驗(yàn)的一些基本滲透注漿參數(shù)由式(16)～(18)計(jì)算得到，見表2。

表2 兩組注漿驗(yàn)證試驗(yàn)的一些基本滲透注漿參數(shù)Table2 Some basic penetration grouting parameters abouttwo groups of grouting verification experiment

根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的實(shí)際情況，兩組擴(kuò)散滲透機(jī)制驗(yàn)證試驗(yàn)注漿管側(cè)邊設(shè)計(jì)的注漿孔個(gè)數(shù)都為4個(gè)，即n=4，其示意圖見圖4，試驗(yàn)設(shè)計(jì)參數(shù)見表3。其中圖4（b）中的L與X分別為注漿管側(cè)邊上每相鄰兩注漿孔的距離及底部注漿孔與相鄰側(cè)邊注漿孔距離，L=X=mdc=mcc。

圖4 注漿管注漿孔分布示意圖Fig.4 Diagram of grouting pore distribution in the grouting pipe

表3 兩組注漿驗(yàn)證試驗(yàn)的設(shè)計(jì)參數(shù)Table3 Design parameters of two groups of grouting verification experiment

根據(jù)式(29)及(30)兩組注漿驗(yàn)證試驗(yàn)的理論值與其實(shí)際測(cè)量值及其差值分析見表4。

表4 兩組注漿驗(yàn)證試驗(yàn)的理論值與實(shí)際測(cè)量值及差值分析Table 4 Theory values, actual measured values and differential analysis of two groups of grouting verification experiment

從表4可看出：由柱-半球形滲透注漿機(jī)制計(jì)算的半球體部分?jǐn)U散半徑、圓柱體部分?jǐn)U散高度及最終擴(kuò)散的注漿體體積理論值都大于試驗(yàn)測(cè)量的擴(kuò)散半徑、擴(kuò)散高度與注漿體體積值，其差率分別在15%、10%及 40%左右變動(dòng)。但據(jù)國外的一些研究表明：理論值與實(shí)際值的誤差范圍為-50%～100%都能接受，所以由柱-半球形滲透注漿機(jī)制計(jì)算的理論值與試驗(yàn)測(cè)量值的變化規(guī)律基本相符。這表明，本文推導(dǎo)的黏度時(shí)變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透注漿機(jī)制在總體上能較好地反映其在被注介質(zhì)中注漿滲透擴(kuò)散規(guī)律，可對(duì)注漿施工起到一定的指導(dǎo)作用。

滲透注漿機(jī)制理論計(jì)算出的理論值大于試驗(yàn)測(cè)量值的原因主要有2個(gè)：①影響漿液擴(kuò)散效果的因素有很多：如，漿液在實(shí)際擴(kuò)散過程中可能出現(xiàn)堵塞、濾水及沉淀等問題；在試驗(yàn)中配制的水泥漿液性能不穩(wěn)定，析水率常常超標(biāo)，變成不穩(wěn)定漿液，而理論公式計(jì)算采用穩(wěn)定性漿液性能指標(biāo)，從而導(dǎo)致理論計(jì)算的擴(kuò)散半徑、擴(kuò)散高度與注漿體體積計(jì)算結(jié)果偏大；②選擇的礫(砂)石體雖在顆粒粒徑分布較均勻，使其最大限度滿足均質(zhì)和各向同性假設(shè)，但畢竟不能達(dá)到理論上的完全均質(zhì)和各向同性，從而使試驗(yàn)測(cè)量值比理論計(jì)算值偏小。

5 結(jié) 論

（1）基于賓漢體漿液的基本流變方程與黏度時(shí)變性特性，建立了黏度時(shí)變性賓漢體漿液流變方程，推導(dǎo)了黏度時(shí)變性的賓漢體漿液的柱-半球形擴(kuò)散滲透機(jī)制及分析了各參數(shù)的確定方法及適用范圍。

（2）依據(jù)一些假設(shè)，探討了柱-半球形擴(kuò)散滲透機(jī)理中半球體部分?jǐn)U散半徑l1與柱體部分?jǐn)U散高度m的關(guān)系：

（3）由室內(nèi)注漿試驗(yàn)驗(yàn)證了推導(dǎo)的黏度時(shí)變性賓漢體漿液柱-半球形擴(kuò)散滲透機(jī)制。結(jié)果表明，由黏度時(shí)變性賓漢體漿液的柱-半球形滲透機(jī)制計(jì)算的半球體部分?jǐn)U散半徑、圓柱體部分?jǐn)U散高度及最終擴(kuò)散的注漿體體積理論值與試驗(yàn)測(cè)量值雖分別有15%、10%及 40%左右差異，但都處于可接受范圍內(nèi)，因而，在總體上能較好地反映黏度時(shí)變性賓漢體漿液的柱-半球形注漿滲透規(guī)律，對(duì)注漿設(shè)計(jì)、施工及理論研究等方面具有一定參考價(jià)值與指導(dǎo)作用。

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