李培超

（上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201620）

1 引 言

眾所周知，Biot首次推導(dǎo)建立了較為嚴(yán)格和完整的飽和土體三維固結(jié)理論[1－2]，從而奠定了多孔介質(zhì)流-固耦合滲流理論的基礎(chǔ)。Biot固結(jié)理論從提出至今，已被廣大巖土力學(xué)工作者所接受，它在很多工程領(lǐng)域都有廣泛地應(yīng)用，如軟土地基固結(jié)沉降、地下流體開(kāi)采誘發(fā)地面沉降、邊坡穩(wěn)定性問(wèn)題、城市垃圾填埋及核廢料處理、煤層氣的耦合滲流和突出、生物體軟組織變形等領(lǐng)域。

因點(diǎn)源匯誘發(fā)的土體固結(jié)問(wèn)題的解析解，目前已有不少文獻(xiàn)報(bào)道[3－5]，但它們絕大多數(shù)都是針對(duì)三維區(qū)域(如半空間)或無(wú)限區(qū)域的。文獻(xiàn)[6]首次給出了二維有限矩形區(qū)域點(diǎn)匯誘發(fā)的流動(dòng)變形耦合問(wèn)題的解析解。但所采用的數(shù)學(xué)模型是不可壓縮多孔介質(zhì)模型，本文則嘗試給出二維有限區(qū)域可壓縮多孔介質(zhì)模型的解析解。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 控制方程組

考察二維有限矩形區(qū)域內(nèi)因點(diǎn)匯(源)誘發(fā)的Biot固結(jié)問(wèn)題，物理模型如圖1所示，該問(wèn)題可視為平面應(yīng)變問(wèn)題。假設(shè)多孔介質(zhì)被單相流體所完全飽和，且是均勻各向同性和線彈性的，此時(shí)Biot固結(jié)理論(或稱可壓縮多孔介質(zhì)模型)可簡(jiǎn)化為

式中：p為孔隙流體壓力；u和w分別為水平方向和豎直方向的位移；α =1- Kb/Ks，為Biot孔隙彈性系數(shù)，Kb為多孔介質(zhì)體積彈性模量，Ks為固體顆粒體積彈性模量；λf= k/μf是孔隙流體流度，k為絕對(duì)滲透率，μf為孔隙流體黏度；φCt= φ/ Kf+ (α - φ)/Ks，φ為多孔介質(zhì)孔隙度，Ct為總體壓縮系數(shù)，Kf為孔隙流體體積彈性模量；χ=λf/(φCt)為導(dǎo)壓系數(shù)； m = 1/(1 - 2v)，v為多孔介質(zhì)泊松比；G為剪切體積彈性模量為體積應(yīng)變；q代表單位體積的源(源取正，匯取負(fù))，量綱為1/s。

如果不考慮多孔介質(zhì)固體顆粒和孔隙流體的壓縮性，即Ks→∞，Kf→∞，則α→1，1/χ→0，此時(shí)式(1)～(3)退化為

方程組(4)～(6)顯然即是文獻(xiàn)[6]所采用的不可壓縮多孔介質(zhì)模型。

圖1 二維有限矩形多孔介質(zhì)示意圖[6]Fig.1 Sketch of finite two-dimensional rectangular porous media[6]

2.2 邊界條件和初始條件

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本文假設(shè)壓力場(chǎng)和位移場(chǎng)邊界條件與文獻(xiàn)[6]完全相同，如圖1矩形四條邊所示。同時(shí)假設(shè)初始條件為 u(x,z,t = 0)= 0,w(x,z,t = 0)=0,和 p(x,z,t = 0)= 0。控制方程組(1)～(3)與邊界條件和初始條件構(gòu)成了封閉的定解問(wèn)題。下文試圖給出該定解問(wèn)題的解析解。

3 積分變換和求解

3.1 積分變換和變換域上的解析解

對(duì)于上述平面應(yīng)變固結(jié)問(wèn)題，可實(shí)施有限正余弦變換和拉氏變換求其解析解。相應(yīng)變換定義[6]為

式(8)～(10)即是可壓縮多孔介質(zhì)模型在變換域上的解析解?？梢?jiàn)以上解答中包含參數(shù)α及χ，即體現(xiàn)了Biot孔隙彈性系數(shù)以及多孔介質(zhì)壓縮性的影響，而這些因素在不可壓縮模型的解析解[6]（即文獻(xiàn)[6]之式(19)）中是根本無(wú)法反映的。

對(duì)于不可壓縮多孔介質(zhì)模型，有α→1，和1/χ→ 0 ，式(8)～(10)簡(jiǎn)化為

上述簡(jiǎn)化解式(11)～(13)和文獻(xiàn)[6]之式(19)相似。前者是有量綱形式，而后者是無(wú)量綱形式。不難證明，如果慮及二者之換算關(guān)系，實(shí)際上此二解是完全相同的。這一方面證實(shí)了不可壓縮多孔介質(zhì)模型之解析解可視為本文解析解的特例，同時(shí)也在一定程度上驗(yàn)證了本文解析解的正確性。

3.2 物理域之解析解

對(duì)式(8)～(10)實(shí)施三重反演可得二維有限區(qū)域平面固結(jié)問(wèn)題的解析解如下：

4 定流量點(diǎn)匯（源）問(wèn)題的解析解及驗(yàn)證

4.1 定流量點(diǎn)匯(源)的解析解

不妨假設(shè)矩形區(qū)域邊界壓力滿足 p1=p2=p3=p4=0，則有 B1=B2= 0。另假設(shè)源(匯)流量為 常 數(shù) ， 即 q(x,z,t)= q0δ ( x - x0)δ(z - z0)， 則將B1、B2及上述值代入式(8)～(10)，并實(shí)施拉普拉斯反演，得

將式(17)～(19)代入式(14)～(16)，即得定流量點(diǎn)源(匯)誘發(fā)的位移場(chǎng)和壓力場(chǎng)在物理空間上的解析解。

4.2 穩(wěn)態(tài)解析解的驗(yàn)證

當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí)的解通常稱為穩(wěn)態(tài)解。當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí)，對(duì)式(17)～(19)進(jìn)行簡(jiǎn)化并代入式(14)～(16)，可得穩(wěn)態(tài)解為

文獻(xiàn)[7]給出的壓力穩(wěn)態(tài)解析解為

其中：q1為定流量匯(正值)。

對(duì)于點(diǎn)匯，有 q0=-q1，又慮及 λn= nπ/a，則式(22)可改寫(xiě)為

可見(jiàn)，式(24)與式(23)完全相同，這再次驗(yàn)證了本文解析解之準(zhǔn)確性。而且此處同時(shí)給出了位移場(chǎng)的穩(wěn)態(tài)解析解，即式(20)和式(21)。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文給出了有限二維區(qū)域因點(diǎn)匯誘發(fā)的Biot固結(jié)問(wèn)題的解析解。結(jié)果表明，不可壓縮多孔介質(zhì)模型的解析解是本文解析解的特例。并進(jìn)一步討論分析了定流量匯所誘導(dǎo)的壓力場(chǎng)和位移場(chǎng)之穩(wěn)態(tài)解析解，它與現(xiàn)有文獻(xiàn)解析解的完全一致性再次驗(yàn)證了本文解析解的準(zhǔn)確性和可靠性。

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