李永軍 馬立元 段永剛

(軍械工程學院導彈工程系，河北 石家莊 050003)

0 引言

在實際工作中，檢測到的信號中都夾雜著各種干擾信號(噪聲)，這些干擾信號的存在嚴重影響了信號本身。為了更好地對信號進行分析，必須進行去噪處理。經(jīng)實際應用分析可知，信號往往包含許多尖峰或突變部分，且噪聲也不是平穩(wěn)的白噪聲，采用傳統(tǒng)的傅里葉變換對這種信號進行消噪，效果不明顯。而小波變換法由于具有時頻局部化、小波基選擇靈活、計算速度快、適應性廣以及在Besov空間中可以得到任何其他線性估計都達不到的最佳估計等優(yōu)點，成為信號去噪的一個強有力的工具。

Donoho提出基于閾值處理思想的小波域去噪技術。在小波去噪方法中，閾值法得到了廣泛應用。這是因為用閾值法去噪不僅能夠最大限度地抑制噪聲，而且可以很好地保留反映原始信號的特征尖峰點，去噪效果良好。

1 小波閾值去噪

1994年，斯坦福大學的D.L.Donoho和Johnstone在小波變換基礎上提出了小波閾值去噪的概念[1－2]。系統(tǒng)輸出信號，即觀測信號x(t)可表示為：

式中：s(t)為原始信號;n(t)為高斯白噪聲，其服從N(0，σ2)分布。

要把s(t)從x(t)中直接提取出來是比較困難的，需要借助變換方法才能做到。為方便理解，假設信號x(t)為一維信號，經(jīng)離散采樣后，可以得到N點離散信號x(n)(n=0，1，2，…，N －1)。對信號 x(n)作離散小波變換，即：

式中：WTx(j，k)為小波變換系數(shù);ψ()為小波函數(shù);j、k分別為小波變換的分解層數(shù)和平移時間。

小波變換，特別是正交小波變換具有很強的去數(shù)據(jù)相關性，它能夠使信號的能量在小波域內集中在一些大的小波系數(shù)中，而噪聲能量卻分布于整個小波域內。因此，經(jīng)小波分解后，信號的小波系數(shù)幅值要大于噪聲的小波系數(shù)幅值?？梢哉J為，幅值較大的小波系數(shù)一般以信號為主，而幅值較小的系數(shù)在很大程度上是噪聲信號。

Donoho提出的基于閾值的消噪算法(DTA)可以分為以下三個步驟：① 選擇小波和小波分解的層數(shù)j，計算含噪聲信號的小波分解系數(shù);②對每層系數(shù)選擇一個閾值，并且對高頻系數(shù)用閾值處理;③根據(jù)第j層的低頻系數(shù)和從第一層到第j層的高頻系數(shù)，計算信號的小波重構。

小波系數(shù)的分解和信號的重構均有成熟的算法及軟件程序，去噪的核心是閾值處理方法。

采用閾值的方法可以把信號系數(shù)保留，而使大部分的噪聲系數(shù)減小至零。Dohono提出的閾值去噪方法按照對變換系數(shù)進行閾值處理的方法，又可以分為硬閾值法和軟閾值法。硬閾值處理首先是把信號小波變換系數(shù)的絕對值與閾值比較，小于閾值的小波系數(shù)視為零，大于閾值的小波系數(shù)不變;然后根據(jù)小波系數(shù)進行信號重建。軟閾值處理是把小波系數(shù)大于閾值的變?yōu)樵擖c與閾值的差值。

硬閾值處理的數(shù)學公式可以表示為：

式中：λ為閾值;djk為小波系數(shù);為處理后小波系數(shù)。

軟閾值處理的數(shù)學公式可以表示為：

式中：λ為閾值;djk為小波系數(shù);為處理后的小波系數(shù)。式(3)和式(4)的圖形分別如圖1所示。

圖1 軟硬閾值法曲線圖Fig.1 Curves of soft and hard threshold methods

2 新閾值函數(shù)的構建

閾值去噪法的關鍵是閾值函數(shù)的構造，閾值函數(shù)關系著重構信號的連續(xù)性和精度，對小波去噪的效果影響很大。但是硬閾值函數(shù)在－λ和λ處是不連續(xù)的。這種不連續(xù)性導致重構信號容易出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象，也就是出現(xiàn)許多不期望的振蕩，失去原始信號的光滑性。而軟閾值函數(shù)雖然整體連續(xù)性好，但估計值與實際值之間總存在恒定的偏差，并且軟閾值函數(shù)的導數(shù)不連續(xù)，具有一定的局限性[6－7]。為了克服這些缺點，文獻[3]提出了軟硬閾值折衷法[3]，其數(shù)學表達式為：

該方法在閾值估計器中加入了α因子，0≤α≤1。適當調整α的大小，可以獲得較好的去噪效果。軟硬閾值折衷法的函數(shù)曲線如圖2所示。

圖2 軟硬閾值折衷法函數(shù)曲線Fig.2 Curves of the compromise soft and hard threshold methods

為使閾值函數(shù)更加靈活，本文提出了一種新的閾值函數(shù)——開方法。我們先考慮djk＞0的情況，設：

由式(6)可知，當djk＞＞λ時，接近于 djk，系數(shù) n為接近速度系數(shù)，n越大，其接近速度越快。對上式進行改寫，即：

對于一般情況，有：

因此，該方法的函數(shù)表達式為：

開方法曲線如圖3所示。

圖3 開方法曲線Fig.3 Curves of the extraction method

由于當n增大時，函數(shù)接近硬閾值處理函數(shù);當n減小時，函數(shù)接近軟閾值處理函數(shù)。因此，根據(jù)這一特點，可以得出參數(shù)n選擇的原則是：當待降噪信號中包含了大量的同性區(qū)域或要求降噪后信號有尖銳的突變時，應使閾值向硬閾值方向移動，即n的取值比較大，一般可選在2左右;而在信號比較平滑的情況下，應使閾值向軟閾值方向移動，即n的取值在0～2之間。按照這一原則適當調整n的大小，可以獲得更好的去噪效果。

3 仿真分析

為了驗證本文提出的閾值處理方法的有效性，在Matlab平臺下對不同去噪方法進行仿真試驗。對應于特定的含噪信號，不同的小波基會產生不同的消噪效果。這是小波方法進行信號消噪中的一個關鍵問題。

小波基的選擇和小波基的類型有關。在同一待降噪信號中，既有比較平滑的區(qū)域，又有突變的區(qū)域。在平滑區(qū)域中，一般采用高正則階、高消失矩的光滑小波基函數(shù)。因為選擇具有較高階消失矩的小波函數(shù)，能檢測信號中更精細的奇異性，所以在重構時，信號中的細節(jié)才能更多地得到恢復。

在突變區(qū)域中，要采用緊支撐的小波基。Daubechies基是具有緊支集的光滑正交小波基，小波的光滑性由其支集的長度N來確定，通過合理選擇N值的大小，既可以簡化計算的復雜程度，又保證了信號分析中的空間局部化要求。

Daubechies小波基函數(shù)使得內積計算快、基函數(shù)疊加快，其良好的空間局部化和良好的頻率局部化，在保證了信號展開和重構的低復雜度的同時，又保證了信號中主要成分和模式的識別。借用基和算法來進行信號小波變換處理是一種有效的方法。這里采用Daubechies作為小波基函數(shù)。

本文選取了Bumps信號和Blocks信號兩種Matlab中常用的信號作為原始信號[4－5]。

為模擬實際信號，向兩種信號中加入噪聲，噪聲方差為 0.1，其中輸入 Bumps含噪信號的信噪比是15.343 dB，Blocks 含噪信號的信噪比是 17.504 dB。分別用傳統(tǒng)的軟硬閾值法和文獻[3]提出的軟硬閾值折衷法與文中提出的開方法閾值法進行了去噪處理。分解層數(shù)為5層，開方法閾值法中的n取為1.8。

對于閾值的選取，Dohono等人曾給出通用閾值的選取，但在有些應用過程中發(fā)現(xiàn)該閾值并非十分理想，還需根據(jù)具體情況對其作一定的改進。閾值主要由噪聲方差的估計值和子帶系數(shù)的能量分布共同確定，大部分情況下，需要從觀測數(shù)據(jù)中估計噪聲方差。如果閾值λ選取過小，去噪后的信號仍然有噪聲的存在，造成去噪不完全;反之，如果閾值λ選取過大，部分有用信號將被誤認為噪聲而被濾掉，引起偏差。由于噪聲的小波變換系數(shù)隨著尺度的增大而減小，對信號進行去噪時，不同的分解層閾值的選取應該有所不同，并且隨分解尺度的增大，閾值應該有所減小。

本文采用文獻[3]給出的方法，即針對不同的分解尺度j，給出閾值的選取方法1)，其中，N為相應層的小波變換系數(shù)的個數(shù)，σ為噪聲方差。更加合適的閾值選取方法有待于今后進一步的研究。

Bumps和Blocks的原信號與含噪Bumps和Blocks信號時域圖如圖4所示。

圖4 Bumps和Blocks原信號與含噪信號時域圖Fig.4 Time domain graphic of Bumps and Blocks original signal and noising signal

經(jīng)試驗可知，這幾種方法都能去除大部分的噪聲信號，其中，硬閾值方法殘留噪聲最多，軟閾值去噪比較平滑，但其對原始信號中突變的重現(xiàn)不夠。開方法在平滑度上要優(yōu)于軟硬閾值折衷法和硬閾值法，比軟閾值法略差，但在突變信號的保留上明顯優(yōu)于軟閾值法。

兩信號分別采用不同閾值處理方法進行處理的結果如圖5所示。

圖5 各閾值處理方法去噪結果Fig.5 Results of each threshold processing method

為了能夠對分析結果進行量化，本文對幾種方法進行了500次仿真分析試驗并統(tǒng)計平均，得到各方法的信噪比(SNR)和均方差(MSE)如表1所示。

從表1可以看出，文獻[3]的方法和本文提出的方法去噪效果均優(yōu)于軟閾值法和硬閾值法，開方法的效果略優(yōu)于折衷法。

表1 SNR和MSE比較Tab.1 Comparison of SNR and MSE

4 結束語

本文針對Donoho和Johnstone提出的軟硬閾值去噪方法的缺點，構造了一種新的閾值函數(shù)，并對其進行分析，最后通過仿真試驗將該方法與傳統(tǒng)的硬軟閾值法和文獻[3]提出的軟硬閾值折衷法進行了比較。從試驗數(shù)據(jù)上可以看出，本文的開方去噪方法在進行去噪處理時，在信噪比增益和最小均方誤差意義上均優(yōu)于傳統(tǒng)的軟硬閾值法和軟硬閾值折衷法。試驗結果表明，新方法兼顧了軟硬閾值法的優(yōu)點，在去噪效果上要優(yōu)于以上三種方法。但由于該方法的參數(shù)n的確定需要一定的經(jīng)驗判斷，所以在使用時可能需要多次的試驗進行比較，以確定n的最佳取值。

[1]Donoho D L.Denoising by soft-thresholding[J].IEEE Transactions on Information Theory，1995，41(3)：613 －627.

[2]Donoho D L，Johnstone I M.Adapt to unknown smoothness via wavelet shrinkage[J].Journal of the American Statistical Association，1995，90(432)：1200 －1224.

[3]趙瑞珍，宋國鄉(xiāng)，王紅.小波系數(shù)閾值估計的改進模型[J].西北工業(yè)大學學報：自然科學版，2001，19(4)：625 －628.

[4]胡昌華，李國華，周濤.基于MATLAB 7.X的系統(tǒng)分析與設計——小波分析[M].3版.西安：西安電子科技大學出版社，2008.

[5]李祥兵，肖合林.基于 Matlab的小波閾值折衷去噪算法研究[J].電腦開發(fā)與應用，2009，22(6)：4 －6.

[6]陶紅艷，秦華峰，余成波.基于改進閾值函數(shù)的小波域去噪算法的研究[J].壓電與聲光，2008，30(1)：93 －95.

[7]朱艷芹，楊先麟.幾種基于小波閾值去噪的改進方法[J].電子測試，2008(2)：18－22.