段永剛 馬立元 李永軍 王天輝

(軍械工程學院導彈工程系，河北 石家莊 050003)

0 引言

對信號進行去噪并提取出原始信號一直是閾值去噪過程中一個重要的課題。目前，信號去噪的方法很多，如卡爾曼 (Kalman)濾波法、維納 (Wiener)濾波法和減譜法等[1－2]。小波分析是近年來發(fā)展起來的一種性能優(yōu)良的數(shù)學工具，它通過小波變換，把信號的特性分配到各個不同尺度的小波變換系數(shù)上，再對小波變換系數(shù)進行分析與處理，從而降低噪聲。

小波變換具有很強的去數(shù)據(jù)相關(guān)性，它能夠在小波域使信號的能量集中在一些大的小波系數(shù)中，而噪聲能量卻分布于整個小波域內(nèi)。經(jīng)小波分解后，信號的小波系數(shù)幅值要大于噪聲的小波系數(shù)幅值。因此，選擇一個合適的閾值對小波系數(shù)進行閾值處理，就可以保留信號系數(shù)，并使大部分的噪聲系數(shù)減小至零，從而達到去噪的目的。

1 小波閾值去噪原理

1994年，Donoho和Johnstone在小波變換的基礎(chǔ)上提出了小波閾值去噪的概念[3－5]。根據(jù)對變換系數(shù)進行閾值處理的方法來劃分，Dohono提出的閾值去噪方法又可以分為硬閾值法和軟閾值法。

軟閾值處理的數(shù)學公式可以表示為：硬閾值處理的數(shù)學公式可以表示為：

式中：λ為閾值;djk為小波系數(shù);為處理后的小波系數(shù)。

通過比較以上兩種方法可以發(fā)現(xiàn)，軟閾值方法通常會使去噪后的信號更平滑一些，但是它也會丟掉某些特征;而硬閾值可以保留信號的特征，但是在平滑方面有所欠缺[6]。針對以上問題，文獻[6]對閾值函數(shù)進行了改進，提出了軟硬閾值折衷法和模平方處理法這兩種新的閾值函數(shù)。

①軟硬閾值折衷法

軟硬閾值折衷法可定義為：

軟硬閾值折衷法在閾值估計器中加入α因子，α因子的取值范圍為0～1。通過調(diào)整α的大小，可以獲得較好的去噪效果。

②模平方處理法

模平方處理方法可定義為：

閾值函數(shù)曲線如圖1所示。

圖1 閾值函數(shù)曲線Fig.1 Curves of threshold function

2 高次逼近法

軟硬閾值折衷法和模平方處理法的優(yōu)點是去噪效果更好，但是適用性有限。為了使閾值函數(shù)更加靈活，適用性更廣泛，本文提出了一種新的閾值方法，即高次逼近法。

為了克服硬閾值處理方法在λ點處不連續(xù)的缺點，本文構(gòu)造了一個函數(shù)，使得估算出來的小波系數(shù)在λ點處連續(xù)，且|djk|→∞時，

該函數(shù)的數(shù)學表達式為：

由式(5)可以看出，當n→∞時，該方法接近于硬閾值法;當n=1時，該方法等同于軟閾值法。n越小，函數(shù)的曲線越平滑。因此，對于突變比較明顯的信號進行去噪，n的取值應該大一點;對于本身比較平滑的信號進行去噪，n的取值應該小一點。高次逼近法的曲線如圖2所示。

圖2 高次逼近法曲線Fig.2 Curves of the high order approximation method

3 仿真算例

為了說明高次逼近法的有效性和實用性，本文選取了含有噪聲的 Bumps信號和 Heavysine 信號[7－8]，并分別用高次逼近法與文獻[6]提出的軟硬閾值折衷法和模平方處理法對這兩種信號進行去噪對比。三種方法去噪后的信噪比比較如表1所示。

表1 各閾值法的信噪比比較Tab.1 Comparison of SNR with different threshold method dB

由表1可以看出，對于Bumps信號的去噪效果，高斯逼近法效果較好。對于Heavysine信號的去噪效果，三種方法都能保留信號的突變信息，但是高斯逼近法時域去噪效果要好于軟硬閾值折衷法和模平方處理法，信噪比相對較高。綜合比較可以看出，高斯逼近法對于平滑信號和突變信號都有較好的去噪效果。

4 結(jié)束語

Donoho和Johnstone提出的軟硬閾值去噪方法在連續(xù)性和平滑性方面不能達到統(tǒng)一，為了克服這種缺點，本文構(gòu)造了一種新的閾值函數(shù)，即高次逼近法。該方法的應用更加靈活，適用性更加廣泛，對與平滑信號和突變信號都有較好的去噪效果。本文通過仿真試驗將該方法與文獻[6]提出的兩種方法的去噪效果進行了比較，結(jié)果表明，新閾值函數(shù)的去噪效果比較理想，信噪比相對較高。

[1]Chui C K，Chen Guanrong.Kalman filtering with real-time applications[M].Berlin：Springer，1987：125 －136.

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[7]胡昌華，李國華，周濤.基于 MATLAB 7.x的系統(tǒng)分析與設(shè)計——小波分析[M].西安：西安電子科技大學出版社，2008.

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