王 蘇，沈 峰

（中國(guó)原子能科學(xué)研究院 反應(yīng)堆工程研究設(shè)計(jì)所，北京 102413）

利用高能強(qiáng)流質(zhì)子加速器驅(qū)動(dòng)質(zhì)子轟擊重核會(huì)發(fā)生散裂反應(yīng)，反應(yīng)中產(chǎn)生的高能中子可用作次臨界反應(yīng)堆的外加中子源（簡(jiǎn)稱外源）以維持鏈?zhǔn)搅炎兎磻?yīng)，這種加速器－反應(yīng)堆耦合的系統(tǒng)被稱為加速器驅(qū)動(dòng)的次臨界系統(tǒng)（ADS）。在傳統(tǒng)核動(dòng)力裝置的使用中會(huì)產(chǎn)生長(zhǎng)半衰期的錒系核素和大量強(qiáng)放射性的裂變產(chǎn)物等，隨之而來的核廢料處置可能導(dǎo)致嚴(yán)重的社會(huì)和生態(tài)問題。與臨界反應(yīng)堆相比，ADS的最主要優(yōu)點(diǎn)是具有較高的中子余額，可用于嬗變核廢料或轉(zhuǎn)換核燃料；且次臨界反應(yīng)堆具有本征安全性，一旦切斷加速器束流后ms時(shí)段內(nèi)即可停堆；此外，將ADS產(chǎn)生的熱量用于發(fā)電，可提高轉(zhuǎn)化和嬗變的經(jīng)濟(jì)性［1－2］。

ADS次臨界中子學(xué)為反應(yīng)堆物理學(xué)科的發(fā)展帶來新的動(dòng)力，各種分析方法在傳統(tǒng)的反應(yīng)堆物理框架中得到了全面的拓展和改進(jìn)。由于ADS存在散裂靶區(qū)與次臨界堆芯耦合的問題，使得堆內(nèi)的中子注量率分布較為特殊，尤其對(duì)次臨界熱堆而言，在其靶區(qū)周圍中子注量率和功率水平很高，全堆芯具有較高的中子能量和空間分布的不均勻性。為確保在功率運(yùn)行中一旦發(fā)生質(zhì)子束流或反應(yīng)性變化時(shí)次臨界反應(yīng)堆能夠安全運(yùn)行，減小誤停堆頻率，對(duì)于次臨界中子動(dòng)力學(xué)的研究是不可或缺的。由于中子能量及空間的不均勻性和計(jì)算程序的計(jì)算誤差等因素，使得在計(jì)算局部反應(yīng)性擾動(dòng)時(shí)利用微擾理論尤為方便。本工作建立基于微擾理論的次臨界反應(yīng)堆中子動(dòng)力學(xué)方程，給出含有外加源項(xiàng)的中子共軛方程［3］。

1 穩(wěn)態(tài)中子注量率分布的輸運(yùn)方程及多群方程

在處于穩(wěn)態(tài)下的由外源驅(qū)動(dòng)的次臨界堆中，任意位置處單位體積內(nèi)不同能量沿著不同空間立體角運(yùn)動(dòng)的中子在三維直角坐標(biāo)系中的平衡關(guān)系可用Boltz mann方程表示：

其中：φ為含有外中子源項(xiàng)輸運(yùn)方程的中子注量率；Σt為總宏觀截面；Σs和Σf分別為宏觀散射截面和宏觀裂變截面；f為沿著空間立體角Ω′運(yùn)動(dòng)且能量為E′的中子散射后其運(yùn)動(dòng)方向變?yōu)棣浮⒛芰孔優(yōu)镋的幾率；χ（E）為裂變中子能譜分布函數(shù)；s（r，Ω，E）為外中子源項(xiàng)；r為空間位置。

Boltz mann方程是一典型的線性微分－積分方程，它包含有r（x，y，z）、E和Ω（θ，φ）6個(gè)自變量，對(duì)這樣的方程求解在數(shù)學(xué)上是很困難的，因此，需對(duì)該方程進(jìn)行離散處理。將中子按能量分為若干群（共g群），并對(duì)所有空間立體角積分，則式（1）中的輸運(yùn)方程可改寫成矩陣形式的擴(kuò)散方程：

其中：φ為空間r（x，y，z）位置處多群中子注量率的向量表達(dá)式（φ1…φg）T；s為空間r（x，y，z）位置處多群源中子數(shù)目的向量表達(dá)式（s1…s g）T；A為空間r（x，y，z）位置處中子泄漏、總核反應(yīng)及散射項(xiàng)算子矩陣；P為空間r（x，y，z）位置處裂變產(chǎn)生項(xiàng)算子矩陣。

將消失項(xiàng)和產(chǎn)生項(xiàng)歸并為反應(yīng)堆多群方程的系數(shù)矩陣算子M（M＝A＋P），將式（2）改寫為：

對(duì)于1個(gè)ADS系統(tǒng)，一旦給定其幾何結(jié)構(gòu)、材料特性及外源參數(shù)（源強(qiáng)和能譜分布等），即可由式（3）中的多群方程解出穩(wěn)態(tài)時(shí)次臨界反應(yīng)堆的分群中子注量率分布。但由于反應(yīng)堆處于次臨界狀態(tài)，外源中子的增殖效應(yīng)發(fā)揮了舉足輕重的作用，這使得不能僅依靠中子注量率分布來快速有效地計(jì)算如反應(yīng)性變化、反應(yīng)性系數(shù)及緩發(fā)中子份額等其他物理參數(shù)。為將來分析次臨界反應(yīng)堆的安全特性，需進(jìn)一步推導(dǎo)出次臨界反應(yīng)堆的多群共軛方程。

2 多群共軛方程

根據(jù)傳統(tǒng)的反應(yīng)堆物理理論，臨界反應(yīng)堆的分群擴(kuò)散方程Mcφc＝0存在共軛方程M＊cφ＊c＝0，其中，Mc和M＊c互為共軛算子。對(duì)于分群近似情況，M＊c即為Mc的轉(zhuǎn)置矩陣，φc為臨界堆多群中子注量率函數(shù)，φ＊c為臨界堆多群中子價(jià)值函數(shù)。

對(duì)于含有外源的次臨界反應(yīng)堆，假設(shè)存在與式（3）共軛的方程，如式（4）所示：

式中：算子矩陣M＊具有與原方程中M相同的矩陣階數(shù)；向量φ＊、s＊與原方程中的向量φ、s具有相同的維數(shù)。

式（3）與（4）的共軛條件為：

式中：〈 〉為內(nèi)積算符，積分空間為整個(gè)次臨界反應(yīng)堆。

由經(jīng)典反應(yīng)堆理論［3］可知，與臨界反應(yīng)堆相同，對(duì)于分群近似的擴(kuò)散方程，算子矩陣M＊和M互為轉(zhuǎn)置，即M＊j，i＝M i，j，則將式（5）等式兩端相減可得：

式中：V為體積。

由于空間某位置處具有某一能量的中子對(duì)反應(yīng)堆穩(wěn)定功率的貢獻(xiàn)是相同的，不管其是來源于外加中子還是裂變產(chǎn)生的中子，因此，某一能群外加中子源的價(jià)值必然正比于與其相同能群的裂變中子的價(jià)值，設(shè)s＊j＝CΣf，jφ＊j（C為待定常數(shù)，Σf，j為第j群中子的宏觀裂變截面），將其代入式（6）的右側(cè)得：

若次臨界較低，s和Aφ、Mφ相比較小，當(dāng)C取值滿足sj＝CΣf，jφj時(shí)，則近似有共軛條件〈φ＊，Mφ＋s〉－〈φ，M＊φ＊＋s＊〉＝0。

式中：R為全堆的裂變率；W為全堆功率；Ef為平均每次裂變釋放的能量。

從式（8）可看出，S正比于W。當(dāng)給定外源源強(qiáng)、能譜及其他如幾何和材料參數(shù)時(shí)，可得到次臨界堆的穩(wěn)態(tài)功率，由此可得到常數(shù)C及分群源中子價(jià)值s＊j的表達(dá)式：

將s＊j代入式（4）得：

式（11）與式（3）相比，含S的表達(dá)式中同時(shí)含有φ＊j，需進(jìn)一步處理。構(gòu)造非零矩陣

得：

其中：

對(duì)于式（12），在無外源條件下（S＝0），該方程可簡(jiǎn)化為無外源穩(wěn)態(tài)（即臨界）下的中子共軛方程。

式（12）和（3）必然滿足共軛關(guān)系，即滿足下式的關(guān)系：

觀察組與對(duì)照組進(jìn)行心臟超聲檢查，使用彩色多普勒超聲診斷儀（GEvivid7），探頭頻率2MHz至4MHz，指導(dǎo)患者取左側(cè)臥位，將探頭放在患者心尖搏動(dòng)處，放映患者心臟尖端四腔切面，觀察心臟血流、心臟瓣膜、各形式間隔厚度、各心房室的內(nèi)徑，對(duì)左心室射血分?jǐn)?shù)進(jìn)行測(cè)量，周期為三期，記錄平均值。

式（14）兩端可分別表示為：

由于算子矩陣M＊和M互為共軛算子，必然滿足：

則由式（14）和（17）可得：

可看出，在穩(wěn)態(tài)下，式（18）右端即為反應(yīng)堆功率歸一化后的S倍。為進(jìn)一步得到反應(yīng)堆功率歸一化值為1的結(jié)果，對(duì)式（12）兩端同除以S，即可得到按反應(yīng)堆功率歸一化后的中子共軛方程：

對(duì)于一給定的穩(wěn)態(tài)（以下標(biāo)0代表該穩(wěn)態(tài)下的取值），式（18）右端可進(jìn)一步改寫為：

其中：

式（21）顯然不適用于外源為0的情況。從式（22）可看出，穩(wěn)態(tài)時(shí)n＊s，0與單位體積內(nèi)的外源中子數(shù)s0在整個(gè)次臨界反應(yīng)堆做內(nèi)積，結(jié)果為歸一化功率，n＊s，0的物理意義是，在已有外源s0和形成的次臨界反應(yīng)堆功率W0的基礎(chǔ)上，在空間某位置處每各向同性地引入1個(gè)外源中子所引起的次臨界反應(yīng)堆穩(wěn)定功率增加的比例。而且，n＊s，0與引入外源中子的位置、中子能量和反應(yīng)堆已有穩(wěn)定功率有關(guān)，因此，可稱其為與功率相關(guān)的次臨界中子價(jià)值函數(shù)。

在計(jì)算n＊s，0時(shí)，將與計(jì)算反應(yīng)堆中子注量率分布的方法相同，并不采用求解逆矩陣的方法，而采用內(nèi)外迭代的方式進(jìn)行計(jì)算。在進(jìn)行中子價(jià)值計(jì)算時(shí)，式（20）中的系數(shù)矩陣可由全反應(yīng)堆擴(kuò)散計(jì)算所需的群常數(shù)矩陣轉(zhuǎn)換得到，兩者同屬于正定矩陣，均可進(jìn)行收斂性確定的內(nèi)外迭代計(jì)算。

則式（18）在給定的穩(wěn)態(tài)下滿足：

3 增殖特性

對(duì)于不帶外源的反應(yīng)堆，已知其多群中子注量率φc可由穩(wěn)態(tài)特征值方程Aφc＋Pφc＝0給出，而其共軛函數(shù)φc＊由方程A＊φc＊＋＊φc＊＝0給出。則對(duì)于不帶外加中子源的反應(yīng)堆，其有效增殖因數(shù)keff的表達(dá)式為：

在外源驅(qū)動(dòng)的次臨界反應(yīng)堆中，由于外源中子所在位置和能量的不同，其對(duì)反應(yīng)堆功率的貢獻(xiàn)可能是不同的，所得到的次臨界增殖因數(shù)也可能不同，因而有必要給出新的增殖因數(shù)的表達(dá)式［4］。

對(duì)于帶外源的次臨界系統(tǒng)，由Aφ＝－（Pφ＋s）可得其增殖因數(shù)表達(dá)式：

式（24）定義中的分子是全堆單位時(shí)間內(nèi)裂變產(chǎn)生的總中子數(shù)，分母表示全堆單位時(shí)間內(nèi)消失的總中子數(shù)。由式（24）變化得到的式（25）直觀地體現(xiàn)了次臨界狀態(tài)源中子的增殖效應(yīng)。但該定義并未考慮中子價(jià)值造成的影響。為了方便進(jìn)一步分析微小擾動(dòng)引起的反應(yīng)性變化和更為準(zhǔn)確地描述次臨界系統(tǒng)的中子特性，應(yīng)考慮中子價(jià)值的權(quán)重，給出次臨界有效增殖因數(shù)ksub的定義。因空間某位置處引入某能量的中子和該位置處裂變產(chǎn)生相同能量的中子在堆內(nèi)所起的作用相同，ksub的定義如下：

keff、ks、ksub具有相似的 定 義 形 式，其中，keff是傳統(tǒng)反應(yīng)堆物理分析中的有效增殖因數(shù)，它是系統(tǒng)內(nèi)裂變中子的產(chǎn)生率與系統(tǒng)內(nèi)中子的總消失率之比，它反映的是反應(yīng)堆本身的增殖能力，與外源無關(guān)。ks是在外加中子源條件下全反應(yīng)堆中子數(shù)目平衡的歸并得到的。而ksub是考慮了不同中子注量率分布和中子價(jià)值分布的次臨界有效增殖因數(shù)，更易于應(yīng)用微擾理論進(jìn)一步分析得到反應(yīng)性的變化。在反應(yīng)堆逼近臨界時(shí)，占反應(yīng)堆總中子密度明顯比例的外源將不能再存在于反應(yīng)堆中，因此，ks和keff，1將趨于一致，且ksub和keff，2趨于一致?？煽闯?，ks與ksub的關(guān)系如同keff，1與keff，2的關(guān)系。在應(yīng)用到外源驅(qū)動(dòng)的次臨界反應(yīng)堆中，ksub和ks的定義均是適用的，但ksub較易準(zhǔn)確計(jì)算微擾引起的反應(yīng)性變化量。

4 結(jié)論

本研究基于經(jīng)典反應(yīng)堆物理的中子價(jià)值理論，給出了穩(wěn)態(tài)條件下外加中子源的次臨界反應(yīng)堆多群中子共軛方程的表達(dá)式，推導(dǎo)出中子價(jià)值函數(shù)表達(dá)式及其物理意義，并給出了次臨界反應(yīng)堆的增殖因數(shù)的不同定義方式和區(qū)別，為進(jìn)一步開展ADS次臨界反應(yīng)堆的中子動(dòng)力學(xué)的研究和分析奠定基礎(chǔ)。

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