汪東樹，王全義

（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021）

廣義Logistic型泛函微分方程零解的全局吸引性

汪東樹，王全義

（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州362021）

研究廣義Logstic型泛函微分方程x′（t）＋［1＋x（t）］F（t，x［·］α）＝0（t≥0，α≥1）零解的全局吸引性.運(yùn)用一些分析方法和技巧，對(duì)該方程的零解作出估計(jì)，得到方程零解是全局吸引的一些充分條件，結(jié)果推廣并改進(jìn)了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)論.

廣義Logistic型泛函微分方程；全局吸引性；振動(dòng)；非振動(dòng)

1 基本定理和引理

令g∶［0，＋∞）是一個(gè)非減的連續(xù)函數(shù)，且滿足g（t）＜t，t≥0，以及g（t）→＋∞（t→＋∞）.對(duì)于任意t≥0，用Ct表示連續(xù)函數(shù)φ∶［g（t），t］→［－1，＋∞）的全體構(gòu)成的賦范空間，其范數(shù)定義為

文［1］研究一維Logstic型泛函微分方程

零解的全局吸引性.式（1）中，F(xiàn)（t，φ）是［0，＋∞）×Ct上的連續(xù)泛函，F(xiàn)只依賴于t和φ在［g（t），t］上的數(shù)值，F(xiàn)（t，0）≡0，t≥0，且滿足Yorke條件為

其中，Mt（φ）＝max｛0，ss［u（p

t），t］φ（s）｝，r（t）∈C（［0，＋∞），（0，＋∞））.令τ＝－g（0），則式（1）相應(yīng)的初始

∈g條件為

式（3）中，φ∈C（［－τ，0］，［－1，＋∞）），φ（0）＞－1.文［1］得出如下的定理.

定理A 假設(shè)式（2）成立，且對(duì)于每個(gè)ε＞0，存在η＝η（ε）＞0，使得如果infφ（s）≥ε，就有

如果還滿足

對(duì)于充分大的t，式（1），（3）的每個(gè)解趨于零.

容易看到，對(duì)于廣義時(shí)滯Logistic方程

F（t，φ）＝r（t）［φ（·）］α并不滿足條件（2）.其中，α≥1為兩正奇數(shù)之比，r（t），g（t）同前.因此，方程（6）零解的全局吸引性問(wèn)題應(yīng)另行研究.文［2－3］研究了式（6）在初始條件式（3）下的零解的全局吸引性問(wèn)題.文［4］研究了包括式（1），（6）在內(nèi)的更一般性的泛函微分方程，即

2 主要結(jié)果和證明

且不等式組

定理1 在引理2成立的條件下，若式（5）成立，并滿足條件

在區(qū)域D＝｛（x，y）∶x≥0，0≤y＜1｝內(nèi)只有唯一解（x，y）＝（0，0），則式（3），（7）的每個(gè)解趨于零.

證明 設(shè)x（t）＝x（t，0，φ）是式（3），（7）的解.由引理1可知，x（t）在［0，＋∞）上存在且滿足對(duì)一切t≥0，有x（t）＞1.由引理2可知，若x（t）為非振動(dòng)解時(shí)，有

成立.因此，只需討論x（t）為振動(dòng)解的情形.

首先證明，若x（t）為振動(dòng)解，則x（t）有界.

令t1＞0，使得當(dāng)t≥t1時(shí)，有g(shù)（t）≥0.令t＊（t＊＞t1，t＊充分大）是x（t）的任一個(gè)局部左極大值點(diǎn)，且x（t＊）＞0.顯然，有x′（t＊）＝0.由式（8）可知，F(xiàn)（t＊，［x（·）］α＝0.下面證明存在t0∈［g（t＊），t＊］，使得x（t0）＝0；否則，由前面假設(shè)可知，當(dāng)t∈［g（t＊），t＊］時(shí)，有x（t）＞0.由于x（t）是振動(dòng)解，由閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)介值性定理，可知存在t＊＊＜g（t＊）（g（t＊＊）＞0），使得x（t＊＊）＝x（g（t＊））／2，且當(dāng)t∈［t＊＊，g（t＊）］時(shí)，有x（t）＞0.因此，由式（2）可知，當(dāng)t∈［t＊＊，g（t＊）］時(shí)，有F（t，［x（·）］α）≥0.

方程（8）兩端從t＊＊積分至g（t＊），有

這與假設(shè)x（t＊＊）＝x（g（t＊））／2相矛盾.即存在t0∈［g（t＊），t＊］，使得

方程（7）兩端從t0積分至t＊，可得

其中，可設(shè)t＊充分大.由于t＊的任意性，即證明了最終有x（t）≤eM－1.

令ˉt（ˉt＞t1）是x（t）的任一個(gè)局部左極小值點(diǎn)，且x（ˉt）＞0.顯然，有x′（ˉt）＝0.類似于式（14）的證

于是，可得到如下的結(jié)論.

推論1 當(dāng)α＝1時(shí)，在定理1成立的條件下，且式（5），（10）成立，則式（1），（3）的每個(gè)解趨于零.推論1比定理A的結(jié)果要好，包含了目前關(guān)于α＝1的很多結(jié)果［5］.

［1］ 庾建設(shè).一類泛函微分方程零解的全局吸引性及應(yīng)用［J］.中國(guó)科學(xué)：A輯，1996，26（1）：23－33.

［2］ CHEN M，YU J，ZENG D，et al.Global attractivity in a generalized nonautonomous delay Logistic equation［J］.Bulletin of Institute of Mathematics Academia Sinica，1994，22（2）：91－99.

［3］ LI Jing－wen.Global attractivity in a generalized delay Logistic equation［J］.Applied Mathematics：A Journal of Chinese Universities（B），1996，11（2）：165－174.

［4］ 王曉萍，廖六生.廣義Logistic型泛函微分方程零解的全局吸引性［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，27（1）：172－179.

［5］ 唐先華，庾建設(shè).Logistic型脈沖泛函微分方程零解的全局吸引性［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2002，25（5）：941－952.

Global Attractivity of the Zero Solution of the Super Logistic Functional Differential Equations

WANG Dong－shu，WANG Quan－yi
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

In this paper，the super Logistic type functional differential equations is investigated x′（t）＋［1＋x（t）］F（t，x［·］α）＝0，t≥0，α≥1.By using some analysis methods and techniques，some sufficient conditions are obtained for global attractivity of the zero solution by means of eatimating zero solution of the equation.The reference is generalized.

super Logistic type functional differential equations；global attractivity；nonoscillation；oscillation

O 175.12；O 175.15

A

（責(zé)任編輯：陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

1000－5013（2011）01－0103－06

2009－05－03

汪東樹（1981－），男，講師，主要從事常微分及泛函微分方程的研究.E－mail：wangds＠hqu.edu.cn.

福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（Z0511026）；國(guó)務(wù)院僑辦科研基金資助項(xiàng)目（09QZR10）