李偉偉 陳曉陽(yáng) 沈雪瑾 張小玲

1.上海大學(xué)，上海，200072 2.蘇州軸承廠有限公司，蘇州，215000

0 引言

滾子軸承具有承載能力大、徑向尺寸小等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用在重載及徑向空間受限的場(chǎng)合。疲勞點(diǎn)蝕是滾子軸承最典型的失效方式。研究發(fā)現(xiàn)，滾子軸承的疲勞壽命跟接觸應(yīng)力的若干次方成反比。赫茲于1881年給出了滾動(dòng)軸承點(diǎn)接觸下完整的理論解，而對(duì)于線接觸僅給出了理想狀況下的部分解。通常滾子與滾道的接觸屬于有限長(zhǎng)線接觸，對(duì)于此類問題的求解主要有三種方法：一是經(jīng)典數(shù)值解法；二是基于變分原理的方法；三是基于有限元、邊界元等現(xiàn)代數(shù)值方法。其中經(jīng)典數(shù)值解法因具有算法簡(jiǎn)便、求解精度高等優(yōu)點(diǎn)而應(yīng) 用 最 為 廣 泛。Hartnett等[1]、Chiu 等[2]將Boussinesq理論同影響系數(shù)法結(jié)合起來，求解了一般表面輪廓的接觸問題，分析了正載及偏載工況下滾子與滾道的接觸應(yīng)力。Ahmadi等[3]改進(jìn)了Hartnett的方法，將接觸區(qū)域沿寬度方向劃分為偶數(shù)個(gè)單元，避免了方程組的病態(tài)。文獻(xiàn)[4-5]利用切片法分析了滾子與滾道在正載及偏載工況下的接觸應(yīng)力，該方法忽略了片與片之間的聯(lián)系。文獻(xiàn)[6-7]在切片法的基礎(chǔ)上，考慮了片與片之間的聯(lián)系，求解了滾子與滾道的接觸問題。陳曉陽(yáng)[8]將Boussinesq理論同影響系數(shù)法相結(jié)合，分析了對(duì)數(shù)輪廓滾子與滾道的接觸應(yīng)力。毛月新[9]分析了偏載工況下滾子與滾道的接觸應(yīng)力。文獻(xiàn)[10-13]對(duì)滾子軸承歪斜工況產(chǎn)生的原因及影響因素進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[14-15]從工藝上提出了減小滾子歪斜角的方法。但關(guān)于滾子軸承在歪斜狀況下滾子與滾道的接觸問題鮮有報(bào)道，本文將針對(duì)此問題展開討論。

1 歪斜工況下滾子與滾道的接觸力學(xué)模型

根據(jù)彈性接觸理論，在歪斜工況出現(xiàn)前，滾子與滾道的接觸模型如圖1所示。當(dāng)滾子相對(duì)于滾道產(chǎn)生θ角的歪斜時(shí)，滾子與滾道的接觸模型如圖2所示。M、N分別是滾子和滾道外表面上的一點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為（x，y，z1）、（x，y，z2），受載前滾子與滾道在O點(diǎn)相接觸，受載后起始接觸點(diǎn)O擴(kuò)展為一接觸區(qū)域Ω，在接觸區(qū)域上壓力以函數(shù)p（x，y）分布，如圖3所示。彈性體表面有相同坐標(biāo)（x，y）的兩點(diǎn)M和N在z軸方向上的原始距離為z1＋z2，由此可得位移平衡方程如下[8]：

圖1 滾子與滾道正載下的接觸模型

圖2 滾子與滾道歪斜角為θ時(shí)的接觸模型

圖3 歪斜角為θ時(shí)，滾子與滾道受載后的應(yīng)力分布示意圖

式中，δ為兩彈性體的彈性趨近量；ω1、ω2分別表示兩彈性體在Z方向上的變形。

根據(jù)Boussinesq彈性體半空間體力—變形解，在接觸區(qū)域Ω內(nèi)可以得到求解一般光滑彈性體接觸問題的主導(dǎo)方程——Fredholm積分方程：

式中，p（x′，y′）為光滑彈性體表面坐標(biāo)為（x′，y′）點(diǎn)的壓力；E1、E2分別為滾子與滾道的彈性模量；ν1、ν2分別為滾子與滾道的泊松比。

同樣，在接觸區(qū)域Ω內(nèi)可得力的平衡方程：

式（2）和式（3）就構(gòu)成了求解歪斜工況下滾子與滾道接觸問題的基本方程。由于式（2）中積分核是奇異的，且積分域本身也是未知量，所以積分求解式（2）是非常困難的。計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度、精度的提高及數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展為數(shù)值求解有限長(zhǎng)線接觸問題提供了條件。

2 數(shù)值解法

利用結(jié)構(gòu)分析中的影響系數(shù)法，首先設(shè)定一個(gè)矩形接觸區(qū)域Ω1，且滿足Ω1＞Ω，然后將矩形接觸區(qū)域Ω1均勻劃分成n個(gè)矩形單元。假設(shè)接觸壓力在各個(gè)矩形單元上是均勻分布的，以pj表示單元j（j＝1，2，…，n）上的接觸壓力，并以單元i（i＝1，2，…，n）的中心（xi，yi）處彈性體表面的原始距離作為該單元的表面函數(shù)離散值Si，則在接觸區(qū)域Ω1內(nèi)離散處理式（2）、式（4）得[16]

式中，F(xiàn)ij為影響系數(shù)，它是作用在單元j上的壓力使單元i中心處產(chǎn)生z方向上的變形的系數(shù)；ag、bg分別為中心點(diǎn)坐標(biāo)為（xj，yj）的網(wǎng)格的半長(zhǎng)和半寬；Aj為矩形單元j的面積。

在接觸區(qū)域內(nèi)求解Fij，式（5）、式（6）可用矩陣形式表示為

式中，s1，s2，…，sn為編號(hào)為1，2，…，n的網(wǎng)格所對(duì)應(yīng)的表面函數(shù)。

分析式（8）～式（11）可知：當(dāng)滾子與滾道的幾何形狀、材料常數(shù)和外力pj已知的情況下，通過n＋1個(gè)方程求解n＋1個(gè)未知數(shù)，方程組有唯一解。據(jù)上述分析，用F ORTRAN計(jì)算機(jī)語(yǔ)言編程求解式（8），程序流程如圖4所示。

3 程序正確性驗(yàn)證

3.1 與點(diǎn)接觸赫茲解作對(duì)比

當(dāng)滾子與滾道的歪斜角θ＝90°時(shí)，滾子與內(nèi)圈滾道的接觸可看作是點(diǎn)接觸，可以利用赫茲理論解與程序計(jì)算結(jié)果作對(duì)比來驗(yàn)證程序結(jié)果的正確性。下例中，滾子半徑R＝5mm，滾子長(zhǎng)度L＝18.1mm，內(nèi)圈滾道半徑Ri＝5mm，外載荷Q＝600N，滾子與滾道的彈性模量和泊松比均分別為206GPa、0.3。

圖4 程序求解流程圖

由表1可知：假設(shè)θ＝90°，通過和點(diǎn)接觸標(biāo)準(zhǔn)赫茲解比較可知，程序計(jì)算結(jié)果誤差小于2%。

表1 赫茲理論解與程序解結(jié)果對(duì)比

滾子軸承在實(shí)際工作過程中，滾子與滾道的歪斜狀況通常受到保持架及擋邊的限制，歪斜角不可能達(dá)到90°，上述例子僅是為了驗(yàn)證程序的準(zhǔn)確性而假設(shè)的工況。

3.2 程序解與有限元分析結(jié)果的對(duì)比

利用Abaqus有限元軟件，建立滾子與滾道歪斜的三維模型，為了在提高計(jì)算效率的同時(shí)又不降低計(jì)算精度，僅取滾子與滾道的接觸部分進(jìn)行建模。程序求解時(shí)為了節(jié)省計(jì)算機(jī)運(yùn)算時(shí)間，使網(wǎng)格的長(zhǎng)度方向跟滾子長(zhǎng)度方向相同，這樣可使求解區(qū)域減小，有利于計(jì)算速度及計(jì)算精度的提高。以某廠HK1212型滾子軸承為例，滾子母線輪廓為直母線，R＝1mm，L＝7.3mm，Ri＝6mm，Ro＝8mm，θ＝3°，滾子與滾道的彈性模量均為206GPa，泊松比均為0.3。

由圖5、圖6可知：當(dāng)滾子與內(nèi)外圈滾道間的歪斜角θ＝3°時(shí)，程序計(jì)算結(jié)果和有限元分析結(jié)果應(yīng)力分布趨勢(shì)一致，各部分誤差均在10%以內(nèi)。

滾子與內(nèi)圈滾道之間歪斜角θ＝90°時(shí)與赫茲點(diǎn)接觸結(jié)果的對(duì)比及滾子與內(nèi)外滾道之間歪斜角θ＝3°時(shí)與有限元結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證了程序結(jié)果的正確性。

4 分析

4.1 不同歪斜角下滾子與滾道的接觸應(yīng)力分布

圖5 θ＝3°時(shí)滾子與內(nèi)圈之間的接觸應(yīng)力分布

圖6 θ＝3°時(shí)滾子與外圈之間的接觸應(yīng)力分布

滾子軸承參數(shù)為：R＝5mm，L＝25mm，Ri＝10mm，Ro＝20mm，滾子母線為最佳對(duì)數(shù)母線。當(dāng)外載荷Q＝20kN時(shí)，分別計(jì)算θ＝1°和θ＝2°時(shí)滾子與滾道的接觸應(yīng)力分布，結(jié)果如圖7、圖8所示。

從圖7、圖8可知：歪斜工況下滾子與滾道接觸時(shí)會(huì)產(chǎn)生“歪斜效應(yīng)”，即滾子與內(nèi)圈接觸時(shí)，接觸應(yīng)力在接觸副中部增大，兩端減??；滾子與外圈接觸時(shí)，接觸應(yīng)力在接觸副兩端增大，中部減小。隨著歪斜角的增大，歪斜效應(yīng)逐漸明顯，且滾子與外圈接觸時(shí)歪斜效應(yīng)更加明顯。由于隨著歪斜角的增大，滾子與滾道由線接觸逐漸轉(zhuǎn)為點(diǎn)接觸，因此才會(huì)出現(xiàn)逐漸明顯的歪斜效應(yīng)。

圖7 θ＝1°時(shí)滾子與滾道的接觸應(yīng)力分布

圖8 θ＝2°時(shí)滾子與滾道的接觸應(yīng)力分布

4.2 不同外載荷作用下滾子與滾道間的接觸應(yīng)力分布

滾子軸承參數(shù)為：R＝5mm，L＝25mm，Ri＝10mm，Ro＝20mm，滾子母線為最佳對(duì)數(shù)母線。分別計(jì)算Q＝5kN、Q＝20kN作用下，θ＝1°時(shí)，滾子與滾道的接觸應(yīng)力分布。

圖9 Q＝5kN、θ＝1°時(shí)滾子與內(nèi)外圈滾道的接觸應(yīng)力分布

圖10 Q＝20kN、θ＝1°時(shí)滾子與內(nèi)外圈滾道的接觸應(yīng)力分布

從圖9、圖10可知：當(dāng)歪斜角相同時(shí)，外載荷越小歪斜效應(yīng)越明顯。由于當(dāng)滾子與滾道間的歪斜角一定時(shí)，隨著外載荷的減小，滾子與滾道之間的接觸由線接觸逐漸轉(zhuǎn)為點(diǎn)接觸，沿滾道軸線方向的接觸區(qū)域長(zhǎng)度逐漸縮短，所以歪斜效應(yīng)逐漸明顯。重載時(shí)，歪斜角的存在也會(huì)使?jié)L子與滾道間最大接觸應(yīng)力增加，出現(xiàn)應(yīng)力集中，這將導(dǎo)致滾子軸承的疲勞壽命縮短。

4.3 不同內(nèi)外圈滾道半徑下的接觸應(yīng)力分布

滾子軸承參數(shù)為：Q ＝20kN，θ＝1°，R ＝5mm，L＝25mm。當(dāng)Ri＝5mm、Ro＝15mm和Ri＝20mm、Ro＝30mm時(shí)，滾子與滾道的接觸應(yīng)力分布如圖11、圖12所示。

圖11 Ri＝5mm、Ro＝15mm時(shí)滾子與滾道的接觸應(yīng)力分布

圖12 Ri＝20mm、Ro＝30mm時(shí)滾子與滾道的接觸應(yīng)力分布

由圖11、圖12可知：歪斜角、外載荷及滾子半徑一定時(shí)，隨著內(nèi)外圈滾道半徑的減小，歪斜效應(yīng)逐漸明顯。由于當(dāng)歪斜角、外載荷及滾子半徑一定時(shí)，隨著內(nèi)外圈滾道半徑的減小，沿滾道軸線方向的接觸區(qū)域長(zhǎng)度逐漸縮短，滾子與滾道的接觸由線接觸逐漸轉(zhuǎn)為點(diǎn)接觸，所以歪斜效應(yīng)逐漸明顯。

5 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)彈性接觸理論，建立了滾子相對(duì)滾道歪斜時(shí)的接觸模型，結(jié)合影響系數(shù)法，利用FORTRAN語(yǔ)言編程求解了歪斜工況下滾子與滾道的接觸問題。通過與點(diǎn)接觸赫茲解及有限元結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證了程序結(jié)果的正確性。通過分析歪斜角、外載荷及滾道半徑對(duì)滾子與滾道接觸應(yīng)力分布的影響可知：歪斜工況下，滾子與滾道接觸時(shí)會(huì)出現(xiàn)歪斜效應(yīng)，即滾子與內(nèi)圈接觸時(shí)，接觸應(yīng)力在接觸副中部增大，兩端減小；滾子與外圈接觸時(shí)接觸應(yīng)力在接觸副兩端增大，中部減?。煌嵝毙?yīng)隨著歪斜角的增大、外載荷的減小及滾道半徑的減小而逐漸明顯。

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