劉夢(mèng)麒 單汨源 汪小京

1.湖南大學(xué),長沙,410082 2.寧波現(xiàn)代物流規(guī)劃研究院,寧波,315042

0 引言

在生產(chǎn)控制系統(tǒng)(production control system,PCS)中,企業(yè)需要通過調(diào)節(jié)生產(chǎn)節(jié)奏和調(diào)整庫存水平來滿足下游顧客的需求。企業(yè)在調(diào)節(jié)生產(chǎn)節(jié)奏時(shí),不僅要考慮生產(chǎn)成本,而且要權(quán)衡生產(chǎn)率波動(dòng)所導(dǎo)致的庫存成本的變化,這兩者之間存在著效益背反。因此,在生產(chǎn)控制系統(tǒng)中,生產(chǎn)控制的目標(biāo)是:基于產(chǎn)品的市場需求,在合適的時(shí)間,生產(chǎn)恰當(dāng)數(shù)量的產(chǎn)品,保持恰當(dāng)數(shù)量的庫存,使計(jì)劃期內(nèi)的總成本最小。總成本包括生產(chǎn)成本和庫存成本。

目前,很多文獻(xiàn)針對(duì)隨機(jī)性需求下的生產(chǎn)控制系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型,設(shè)計(jì)了多種有效的算法以優(yōu)化生產(chǎn)控制策略。然而在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)實(shí)踐中,由于需求波動(dòng)、提前期變化、生產(chǎn)延遲和需求預(yù)測(cè)有誤差,這些數(shù)學(xué)模型在分析隨機(jī)系統(tǒng)時(shí)存在一定的局限性。對(duì)于研究和解決復(fù)雜系統(tǒng)問題而言,系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)具有較好的適用性。基于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué),Simon等[1]建立了APIOBPCS(auto pipeline,inventory and order based production control system)生產(chǎn)控制模型,結(jié)合當(dāng)期的需求預(yù)測(cè)、在制品庫存偏差、產(chǎn)成品庫存偏差等三方面的信息,制訂下一期的生產(chǎn)控制策略。APIOBPCS模型中的生產(chǎn)控制策略不僅可以減弱需求波動(dòng)對(duì)生產(chǎn)率的影響,而且還可以減小庫存偏差,降低庫存成本,實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)成本和庫存成本之間的合理平衡,達(dá)到總成本最低的目的。但是,在時(shí)變需求環(huán)境下,APIOBPCS模型中的庫存水平與實(shí)際需求之間會(huì)存在一定的偏差,且在企業(yè)對(duì)生產(chǎn)時(shí)間估計(jì)有偏差的情況下,庫存偏差會(huì)無限擴(kuò)大,APIOBPCS模型中的生產(chǎn)控制策略不能夠優(yōu)化系統(tǒng)總成本。因此,本文在APIOBPCS模型基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn),加入了一種新穎的控制機(jī)制,有效地削弱了生產(chǎn)時(shí)間估計(jì)誤差帶來的負(fù)面影響,消除了庫存與實(shí)際需求之間的偏差。

1 APIOBPCS生產(chǎn)控制系統(tǒng)

1.1 模型回顧

Forrester[2]首先將系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)應(yīng)用到 PCS系統(tǒng)中,隨后Towill[3]建立了IOBPCS(inventoryand order based production control system)生產(chǎn)控制模型。在IOBPCS模型的基礎(chǔ)上,很多學(xué)者進(jìn)行了修正和拓展。Edghill等[4]將目標(biāo)庫存水平(固定值)拓展為與需求相關(guān)的變動(dòng)值,建立了一個(gè)VIOBPCS(variable inventory and order based production control system)模型,并比較分析了不同環(huán)境下IOBPCS和VIOBPCS兩個(gè)模型的系統(tǒng)表現(xiàn)。Simon等[1]在IOBPCS模型中加入了在制品(work in process,WIP)庫存反饋控制機(jī)制,從而將IOBPCS模型拓展到APIOBPCS模型,APIOBPCS生產(chǎn)控制模型如圖 1所示。隨后,Mason-Jones等[5]通過比較IOBPCS和APIOBPCS兩種模型的系統(tǒng)表現(xiàn),總結(jié)分析了WIP庫存反饋控制機(jī)制在模型中的作用。Dejonckhere等[6]將目標(biāo)庫存補(bǔ)貨策略(order-up-to,OUT)引入到 APIOBPCS模型中,構(gòu)建了APVIOBPCS模型。經(jīng)過諸多學(xué)者對(duì)IOBPCS模型的拓展,現(xiàn)在已經(jīng)形成基于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的PCS模型族。該模型主要由以下五個(gè)部分組成:①需求預(yù)測(cè)機(jī)制;②目標(biāo)庫存水平設(shè)置;③庫存水平反饋機(jī)制;④在制品庫存水平反饋機(jī)制;⑤生產(chǎn)延遲。其模型如圖2所示。

圖1 APIOBPCS生產(chǎn)控制模型

圖2 基于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的PCS模型

1.2 模型構(gòu)建

表1是文中用到的有關(guān)量符號(hào)的含義。

表1 符號(hào)含義

圖3是APIOBPCS模型在復(fù)頻域(s域)的方塊圖,系統(tǒng)設(shè)置如下。

圖3 APIOBPCS方塊圖

(1)預(yù)測(cè)機(jī)制。采用一次指數(shù)平滑,其s域傳遞函數(shù)Ga(s)為

(2)目標(biāo)庫存設(shè)置。STINV=0

(3)生產(chǎn)過程。采用一階延遲,其s域傳遞函數(shù)Gp(s)為

為了得到系統(tǒng)的生產(chǎn)波動(dòng)和庫存變化情況,我們從APIOBPCS的方塊圖中可以得到以下兩個(gè)重要傳遞方程:

1.3 APIOBPCS庫存偏差

根據(jù)上文中建立的模型,以下將分析APIOBPCS系統(tǒng)在各種需求環(huán)境下的生產(chǎn)與庫存變化情況。

1.3.1 階躍需求環(huán)境階躍需求方程為

其拉普拉斯變換函數(shù)為 PCON(s)=1/s,結(jié)合式(3),根據(jù)終值定理,可以得到穩(wěn)態(tài)的生產(chǎn)訂單率ηFORT1為

結(jié)合式(4),同樣可以得到穩(wěn)態(tài)的庫存水平SFINV1為

1.3.2 線性需求環(huán)境

線性需求量是時(shí)間的線性函數(shù),為了簡化分析,假設(shè)需求函數(shù)為PCONt=t,其拉普拉斯變換函數(shù)為 PCON(s)=1/s2。

同理,結(jié)合式(3)和式(4),根據(jù)終值定理,可以得到穩(wěn)態(tài)下的生產(chǎn)訂單率和庫存水平分別為

由式(8)可得,生產(chǎn)訂單率不可能達(dá)到穩(wěn)態(tài),這是因?yàn)樾枨笫菚r(shí)間的增函數(shù)。當(dāng) T=Tp時(shí),穩(wěn)態(tài)的庫存水平SFINV2＜0,這說明庫存水平始終會(huì)出現(xiàn)負(fù)偏差,缺貨一直存在;當(dāng) T≠Tp時(shí),庫存不會(huì)到達(dá)穩(wěn)態(tài),而會(huì)逐漸增加(或者逐漸降低)。很明顯,APIOBPCS系統(tǒng)在線性需求環(huán)境下會(huì)出現(xiàn)永久缺貨或者無限庫存,無法達(dá)到目標(biāo)庫存水平。Disney等[7]通過在在制品反饋環(huán)中修正生產(chǎn)時(shí)間估計(jì)值,從而有效地消除了階躍需求下的庫存偏差。與文獻(xiàn)[7]不同,本文通過在庫存反饋環(huán)中采用一種新的控制機(jī)制來消除或者降低以上庫存偏差。

2 基于APIOBPCS的庫存偏差消除策略

2.1 PI-APIOBPCS模型

在庫存反饋環(huán)中采用 PI(proportional plus integral)控制機(jī)制,構(gòu)建PI-APIOBPCS模型,其方塊圖如圖4所示。

圖4 PI-APIOBPCS模型方塊圖

從PI-APIOBPCS方塊圖中可以得到:

式中,k1為PI控制機(jī)制中的增益系數(shù)。

在階躍需求下,可以得到穩(wěn)態(tài)庫存水平為

由式(10)可知,在階躍需求下的PIAPIOBPCS生產(chǎn)系統(tǒng)可以完全消除生產(chǎn)時(shí)間估計(jì)誤差帶來的負(fù)面影響,能夠使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)庫存最終恢復(fù)到目標(biāo)庫存水平。

在線性需求下,可以得到穩(wěn)態(tài)庫存水平為

由式(11)可知,在線性需求下,與APIOBPCS系統(tǒng)相比較,PI-APIOBPCS生產(chǎn)系統(tǒng)可以大大減小生產(chǎn)時(shí)間估計(jì)誤差對(duì)庫存的影響。當(dāng)T=Tp時(shí),PI-APIOBPCS系統(tǒng)能夠消除庫存偏差,當(dāng) T≠Tp時(shí),庫存偏差不會(huì)逐漸增大,而是保持在一定的水平上,且?guī)齑嫫钆cPI增益系數(shù)成反比。

根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定性定理,可以得到PI-APIOBPCS生產(chǎn)系統(tǒng)必須滿足以下條件:

化簡可得,k1＜(Tw+Tp)/(TiTwTp),將其代入式(11)可得,在存在生產(chǎn)時(shí)間估計(jì)誤差情況下,庫存偏差大于

2.2 PID-APIOBPCS模型

在線性需求下,當(dāng)存在生產(chǎn)時(shí)間估計(jì)誤差時(shí),PI-APIOBPCS生產(chǎn)控制系統(tǒng)不能消除庫存偏差,基于此,以下在生產(chǎn)訂單策略中增加一個(gè)PD(proportional plus derivative)控制機(jī)制,其方塊圖如5所示。

圖5 PID-APIOBPCS模型方塊圖

從PID-APIOBPCS模型方塊圖中可以得到:

式中,k2為PD控制機(jī)制中的增益系數(shù)。

在線性需求下,可以得到穩(wěn)態(tài)庫存水平為

當(dāng)存在生產(chǎn)時(shí)間估計(jì)誤差時(shí),與PIAPIOBPCS相同,PID-APIOBPCS系統(tǒng)中存在穩(wěn)態(tài)庫存偏差,且與PI控制機(jī)制中的增益系數(shù)成反比。

根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定性定理,可以得到PID-APIOBPCS必須滿足以下條件:

由式(15)可得,當(dāng)PD增益系數(shù)滿足k2＞Tp時(shí),PID-APIOBPCS系統(tǒng)一定會(huì)保持穩(wěn)定,因此,當(dāng)存在生產(chǎn)時(shí)間估計(jì)誤差時(shí),可以大幅增加PD增益系數(shù)k2,消除穩(wěn)態(tài)庫存偏差。

3 模擬分析

Disney等[8]采用遺傳算法對(duì)APIOBPCS系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化,得出庫存調(diào)整時(shí)間應(yīng)略小于生產(chǎn)時(shí)間,需求平滑時(shí)間應(yīng)為生產(chǎn)時(shí)間的兩倍,在制品庫存偏差調(diào)整時(shí)間應(yīng)該略大于生產(chǎn)時(shí)間的三倍。參照文獻(xiàn)[8]的參數(shù)設(shè)置,假設(shè) Tp=8d,Ti=7d,Ta=16d,Tw=25d。假設(shè)兩個(gè)控制器的增益系數(shù)分別為k1=0.01,k2=25?？紤]兩種需求函數(shù):階躍函數(shù)和線性函數(shù),假設(shè)PCONt=0.1t(t)。模擬時(shí)間為500個(gè)時(shí)間單位(d)。

3.1 階躍需求下系統(tǒng)表現(xiàn)

圖6 T=Tp時(shí),三個(gè)模型在階躍需求下的系統(tǒng)表現(xiàn)

圖7 T≠Tp時(shí),三個(gè)模型在階躍需求下的系統(tǒng)表現(xiàn)

3.2 線性需求下的系統(tǒng)表現(xiàn)

線性需求下,當(dāng)生產(chǎn)時(shí)間不存在估計(jì)誤差時(shí),即 T=Tp時(shí),三個(gè)模型的系統(tǒng)表現(xiàn)如圖8所示。圖8a為生產(chǎn)率的變化曲線圖,從圖8a可以看出,三個(gè)模型的生產(chǎn)率變化曲線基本保持一致,即穩(wěn)定增長;圖8b是庫存水平的變化曲線圖,從圖8b可以看出,APIOBPCS模型的庫存水平逐漸降低,且存在較大的庫存偏差(為負(fù)值),而兩個(gè)改進(jìn)的模型能夠消除原模型中的庫存偏差,其中PIDAPIOBPCS模型的庫存波動(dòng)最小,且最快到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。

圖8 T=Tp時(shí),三個(gè)模型在線性需求下的系統(tǒng)表現(xiàn)

線性需求下,當(dāng)生產(chǎn)時(shí)間存在估計(jì)誤差時(shí),三個(gè)模型的庫存水平變化情況如圖9所示。其中,圖9a是 T=5d條件下庫存水平的變化曲線圖,從圖9a可以看出,APIOBPCS模型中的庫存水平逐漸降低;圖9b是T=10d條件下庫存水平的變化曲線圖,從圖9b可以看出,APIOBPCS模型中庫存水平經(jīng)過一段時(shí)間降低后會(huì)逐漸增加,經(jīng)過改進(jìn)的兩個(gè)模型(PI-APIOBPCS和 PIDAPIOBPCS)均能夠有效地降低原模型中的庫存水平偏差,且均可以到達(dá)某一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài),其中,PID-APIOBPCS模型中的庫存水平波動(dòng)較小,到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間較短。

圖9 T≠Tp時(shí),三個(gè)模型在線性需求下的系統(tǒng)表現(xiàn)

4 結(jié)語

當(dāng)需求為階躍函數(shù)時(shí),APIOBPCS模型中的生產(chǎn)控制策略不能夠消除生產(chǎn)時(shí)間估計(jì)誤差所造成的庫存偏差,而且在線性需求下,該庫存偏差會(huì)無限增大。通過在庫存反饋中加入PI控制機(jī)制,建立PI-APIOBPCS模型可以完全地消除階躍需求下系統(tǒng)的庫存偏差,但是在線性需求下依然存在一定的庫存偏差,且生產(chǎn)率和庫存水平波動(dòng)比較大。在PI-APIOBPCS模型的基礎(chǔ)上,通過在生產(chǎn)過程中加入PD控制機(jī)制建立了PID-APIOBPCS模型,與PI-APIOBPCS模型相比,PID-APIOBPCS模型減小并消除了生產(chǎn)時(shí)間估計(jì)誤差所造成的庫存偏差,而且能夠大幅降低生產(chǎn)率和庫存水平的波動(dòng),較快到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。

由于在APIOBPCS模型中,需求預(yù)測(cè)和庫存反饋中僅僅采用了增益控制器,即按照固定比例調(diào)整庫存偏差,當(dāng)外界需求環(huán)境變化時(shí),這種固定比例的調(diào)節(jié)控制策略沒有考慮庫存偏差增長的態(tài)勢(shì),因此不能完全消除庫存偏差。在PID-APIOBPCS模型中,采用PID控制器,不僅考慮了外界需求預(yù)測(cè),而且跟蹤了庫存偏差的增長狀態(tài),能夠有效消除庫存偏差。因此,在實(shí)踐生產(chǎn)中,當(dāng)外界需求比較穩(wěn)定時(shí),根據(jù)需求預(yù)測(cè)和庫存偏差,可以采用簡單控制策略,調(diào)節(jié)生產(chǎn)節(jié)奏。當(dāng)外界需求波動(dòng)較大時(shí),要充分利用庫存偏差的動(dòng)態(tài)信息,主要包括庫存偏差現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì),調(diào)整生產(chǎn)節(jié)奏。

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