劉夢麒 單汨源 汪小京

1.湖南大學,長沙,410082 2.寧波現(xiàn)代物流規(guī)劃研究院,寧波,315042

0 引言

在生產(chǎn)控制系統(tǒng)(production control system,PCS)中,企業(yè)需要通過調(diào)節(jié)生產(chǎn)節(jié)奏和調(diào)整庫存水平來滿足下游顧客的需求。企業(yè)在調(diào)節(jié)生產(chǎn)節(jié)奏時,不僅要考慮生產(chǎn)成本,而且要權衡生產(chǎn)率波動所導致的庫存成本的變化,這兩者之間存在著效益背反。因此,在生產(chǎn)控制系統(tǒng)中,生產(chǎn)控制的目標是:基于產(chǎn)品的市場需求,在合適的時間,生產(chǎn)恰當數(shù)量的產(chǎn)品,保持恰當數(shù)量的庫存,使計劃期內(nèi)的總成本最小?？偝杀景ㄉa(chǎn)成本和庫存成本。

目前,很多文獻針對隨機性需求下的生產(chǎn)控制系統(tǒng)建立數(shù)學模型,設計了多種有效的算法以優(yōu)化生產(chǎn)控制策略。然而在現(xiàn)實生產(chǎn)實踐中,由于需求波動、提前期變化、生產(chǎn)延遲和需求預測有誤差,這些數(shù)學模型在分析隨機系統(tǒng)時存在一定的局限性。對于研究和解決復雜系統(tǒng)問題而言,系統(tǒng)動力學具有較好的適用性?；谙到y(tǒng)動力學,Simon等[1]建立了APIOBPCS(auto pipeline,inventory and order based production control system)生產(chǎn)控制模型,結合當期的需求預測、在制品庫存偏差、產(chǎn)成品庫存偏差等三方面的信息,制訂下一期的生產(chǎn)控制策略。APIOBPCS模型中的生產(chǎn)控制策略不僅可以減弱需求波動對生產(chǎn)率的影響,而且還可以減小庫存偏差,降低庫存成本,實現(xiàn)生產(chǎn)成本和庫存成本之間的合理平衡,達到總成本最低的目的。但是,在時變需求環(huán)境下,APIOBPCS模型中的庫存水平與實際需求之間會存在一定的偏差,且在企業(yè)對生產(chǎn)時間估計有偏差的情況下,庫存偏差會無限擴大,APIOBPCS模型中的生產(chǎn)控制策略不能夠優(yōu)化系統(tǒng)總成本。因此,本文在APIOBPCS模型基礎上進行改進,加入了一種新穎的控制機制,有效地削弱了生產(chǎn)時間估計誤差帶來的負面影響,消除了庫存與實際需求之間的偏差。

1 APIOBPCS生產(chǎn)控制系統(tǒng)

1.1 模型回顧

Forrester[2]首先將系統(tǒng)動力學應用到 PCS系統(tǒng)中,隨后Towill[3]建立了IOBPCS(inventoryand order based production control system)生產(chǎn)控制模型。在IOBPCS模型的基礎上,很多學者進行了修正和拓展。Edghill等[4]將目標庫存水平(固定值)拓展為與需求相關的變動值,建立了一個VIOBPCS(variable inventory and order based production control system)模型,并比較分析了不同環(huán)境下IOBPCS和VIOBPCS兩個模型的系統(tǒng)表現(xiàn)。Simon等[1]在IOBPCS模型中加入了在制品(work in process,WIP)庫存反饋控制機制,從而將IOBPCS模型拓展到APIOBPCS模型,APIOBPCS生產(chǎn)控制模型如圖 1所示。隨后,Mason-Jones等[5]通過比較IOBPCS和APIOBPCS兩種模型的系統(tǒng)表現(xiàn),總結分析了WIP庫存反饋控制機制在模型中的作用。Dejonckhere等[6]將目標庫存補貨策略(order-up-to,OUT)引入到 APIOBPCS模型中,構建了APVIOBPCS模型。經(jīng)過諸多學者對IOBPCS模型的拓展,現(xiàn)在已經(jīng)形成基于系統(tǒng)動力學的PCS模型族。該模型主要由以下五個部分組成:①需求預測機制;②目標庫存水平設置;③庫存水平反饋機制;④在制品庫存水平反饋機制;⑤生產(chǎn)延遲。其模型如圖2所示。

圖1 APIOBPCS生產(chǎn)控制模型

圖2 基于系統(tǒng)動力學的PCS模型

1.2 模型構建

表1是文中用到的有關量符號的含義。

表1 符號含義

圖3是APIOBPCS模型在復頻域(s域)的方塊圖,系統(tǒng)設置如下。

圖3 APIOBPCS方塊圖

(1)預測機制。采用一次指數(shù)平滑,其s域傳遞函數(shù)Ga(s)為

(2)目標庫存設置。STINV=0

(3)生產(chǎn)過程。采用一階延遲,其s域傳遞函數(shù)Gp(s)為

為了得到系統(tǒng)的生產(chǎn)波動和庫存變化情況,我們從APIOBPCS的方塊圖中可以得到以下兩個重要傳遞方程:

1.3 APIOBPCS庫存偏差

根據(jù)上文中建立的模型,以下將分析APIOBPCS系統(tǒng)在各種需求環(huán)境下的生產(chǎn)與庫存變化情況。

1.3.1 階躍需求環(huán)境階躍需求方程為

其拉普拉斯變換函數(shù)為 PCON(s)=1/s,結合式(3),根據(jù)終值定理,可以得到穩(wěn)態(tài)的生產(chǎn)訂單率ηFORT1為

結合式(4),同樣可以得到穩(wěn)態(tài)的庫存水平SFINV1為

1.3.2 線性需求環(huán)境

線性需求量是時間的線性函數(shù),為了簡化分析,假設需求函數(shù)為PCONt=t,其拉普拉斯變換函數(shù)為 PCON(s)=1/s2。

同理,結合式(3)和式(4),根據(jù)終值定理,可以得到穩(wěn)態(tài)下的生產(chǎn)訂單率和庫存水平分別為

由式(8)可得,生產(chǎn)訂單率不可能達到穩(wěn)態(tài),這是因為需求是時間的增函數(shù)。當 T=Tp時,穩(wěn)態(tài)的庫存水平SFINV2＜0,這說明庫存水平始終會出現(xiàn)負偏差,缺貨一直存在;當 T≠Tp時,庫存不會到達穩(wěn)態(tài),而會逐漸增加(或者逐漸降低)。很明顯,APIOBPCS系統(tǒng)在線性需求環(huán)境下會出現(xiàn)永久缺貨或者無限庫存,無法達到目標庫存水平。Disney等[7]通過在在制品反饋環(huán)中修正生產(chǎn)時間估計值,從而有效地消除了階躍需求下的庫存偏差。與文獻[7]不同,本文通過在庫存反饋環(huán)中采用一種新的控制機制來消除或者降低以上庫存偏差。

2 基于APIOBPCS的庫存偏差消除策略

2.1 PI-APIOBPCS模型

在庫存反饋環(huán)中采用 PI(proportional plus integral)控制機制,構建PI-APIOBPCS模型,其方塊圖如圖4所示。

圖4 PI-APIOBPCS模型方塊圖

從PI-APIOBPCS方塊圖中可以得到:

式中,k1為PI控制機制中的增益系數(shù)。

在階躍需求下,可以得到穩(wěn)態(tài)庫存水平為

由式(10)可知,在階躍需求下的PIAPIOBPCS生產(chǎn)系統(tǒng)可以完全消除生產(chǎn)時間估計誤差帶來的負面影響,能夠使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)庫存最終恢復到目標庫存水平。

在線性需求下,可以得到穩(wěn)態(tài)庫存水平為

由式(11)可知,在線性需求下,與APIOBPCS系統(tǒng)相比較,PI-APIOBPCS生產(chǎn)系統(tǒng)可以大大減小生產(chǎn)時間估計誤差對庫存的影響。當T=Tp時,PI-APIOBPCS系統(tǒng)能夠消除庫存偏差,當 T≠Tp時,庫存偏差不會逐漸增大,而是保持在一定的水平上,且?guī)齑嫫钆cPI增益系數(shù)成反比。

根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定性定理,可以得到PI-APIOBPCS生產(chǎn)系統(tǒng)必須滿足以下條件:

化簡可得,k1＜(Tw+Tp)/(TiTwTp),將其代入式(11)可得,在存在生產(chǎn)時間估計誤差情況下,庫存偏差大于

2.2 PID-APIOBPCS模型

在線性需求下,當存在生產(chǎn)時間估計誤差時,PI-APIOBPCS生產(chǎn)控制系統(tǒng)不能消除庫存偏差,基于此,以下在生產(chǎn)訂單策略中增加一個PD(proportional plus derivative)控制機制,其方塊圖如5所示。

圖5 PID-APIOBPCS模型方塊圖

從PID-APIOBPCS模型方塊圖中可以得到:

式中,k2為PD控制機制中的增益系數(shù)。

在線性需求下,可以得到穩(wěn)態(tài)庫存水平為

當存在生產(chǎn)時間估計誤差時,與PIAPIOBPCS相同,PID-APIOBPCS系統(tǒng)中存在穩(wěn)態(tài)庫存偏差,且與PI控制機制中的增益系數(shù)成反比。

根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定性定理,可以得到PID-APIOBPCS必須滿足以下條件:

由式(15)可得,當PD增益系數(shù)滿足k2＞Tp時,PID-APIOBPCS系統(tǒng)一定會保持穩(wěn)定,因此,當存在生產(chǎn)時間估計誤差時,可以大幅增加PD增益系數(shù)k2,消除穩(wěn)態(tài)庫存偏差。

3 模擬分析

Disney等[8]采用遺傳算法對APIOBPCS系統(tǒng)進行優(yōu)化,得出庫存調(diào)整時間應略小于生產(chǎn)時間,需求平滑時間應為生產(chǎn)時間的兩倍,在制品庫存偏差調(diào)整時間應該略大于生產(chǎn)時間的三倍。參照文獻[8]的參數(shù)設置,假設 Tp=8d,Ti=7d,Ta=16d,Tw=25d。假設兩個控制器的增益系數(shù)分別為k1=0.01,k2=25?？紤]兩種需求函數(shù):階躍函數(shù)和線性函數(shù),假設PCONt=0.1t(t)。模擬時間為500個時間單位(d)。

3.1 階躍需求下系統(tǒng)表現(xiàn)

圖6 T=Tp時,三個模型在階躍需求下的系統(tǒng)表現(xiàn)

圖7 T≠Tp時,三個模型在階躍需求下的系統(tǒng)表現(xiàn)

3.2 線性需求下的系統(tǒng)表現(xiàn)

線性需求下,當生產(chǎn)時間不存在估計誤差時,即 T=Tp時,三個模型的系統(tǒng)表現(xiàn)如圖8所示。圖8a為生產(chǎn)率的變化曲線圖,從圖8a可以看出,三個模型的生產(chǎn)率變化曲線基本保持一致,即穩(wěn)定增長;圖8b是庫存水平的變化曲線圖,從圖8b可以看出,APIOBPCS模型的庫存水平逐漸降低,且存在較大的庫存偏差(為負值),而兩個改進的模型能夠消除原模型中的庫存偏差,其中PIDAPIOBPCS模型的庫存波動最小,且最快到達穩(wěn)定狀態(tài)。

圖8 T=Tp時,三個模型在線性需求下的系統(tǒng)表現(xiàn)

線性需求下,當生產(chǎn)時間存在估計誤差時,三個模型的庫存水平變化情況如圖9所示。其中,圖9a是 T=5d條件下庫存水平的變化曲線圖,從圖9a可以看出,APIOBPCS模型中的庫存水平逐漸降低;圖9b是T=10d條件下庫存水平的變化曲線圖,從圖9b可以看出,APIOBPCS模型中庫存水平經(jīng)過一段時間降低后會逐漸增加,經(jīng)過改進的兩個模型(PI-APIOBPCS和 PIDAPIOBPCS)均能夠有效地降低原模型中的庫存水平偏差,且均可以到達某一個穩(wěn)定狀態(tài),其中,PID-APIOBPCS模型中的庫存水平波動較小,到達穩(wěn)定狀態(tài)的時間較短。

圖9 T≠Tp時,三個模型在線性需求下的系統(tǒng)表現(xiàn)

4 結語

當需求為階躍函數(shù)時,APIOBPCS模型中的生產(chǎn)控制策略不能夠消除生產(chǎn)時間估計誤差所造成的庫存偏差,而且在線性需求下,該庫存偏差會無限增大。通過在庫存反饋中加入PI控制機制,建立PI-APIOBPCS模型可以完全地消除階躍需求下系統(tǒng)的庫存偏差,但是在線性需求下依然存在一定的庫存偏差,且生產(chǎn)率和庫存水平波動比較大。在PI-APIOBPCS模型的基礎上,通過在生產(chǎn)過程中加入PD控制機制建立了PID-APIOBPCS模型,與PI-APIOBPCS模型相比,PID-APIOBPCS模型減小并消除了生產(chǎn)時間估計誤差所造成的庫存偏差,而且能夠大幅降低生產(chǎn)率和庫存水平的波動,較快到達穩(wěn)定狀態(tài)。

由于在APIOBPCS模型中,需求預測和庫存反饋中僅僅采用了增益控制器,即按照固定比例調(diào)整庫存偏差,當外界需求環(huán)境變化時,這種固定比例的調(diào)節(jié)控制策略沒有考慮庫存偏差增長的態(tài)勢,因此不能完全消除庫存偏差。在PID-APIOBPCS模型中,采用PID控制器,不僅考慮了外界需求預測,而且跟蹤了庫存偏差的增長狀態(tài),能夠有效消除庫存偏差。因此,在實踐生產(chǎn)中,當外界需求比較穩(wěn)定時,根據(jù)需求預測和庫存偏差,可以采用簡單控制策略,調(diào)節(jié)生產(chǎn)節(jié)奏。當外界需求波動較大時,要充分利用庫存偏差的動態(tài)信息,主要包括庫存偏差現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢,調(diào)整生產(chǎn)節(jié)奏。

[1]Simon J,Naim M M,Towill D R.Dynamic Analysis of a WIP Compensated Decision Support System[J].International Journal of Manufacturing System Design,1994,1:283-297.

[2]Forrester J W.Industrial Dynamics[M].Cambridge,MA:Productivity Press,1961.

[3]Towill D R.Dynamic Analysis of an Inventory and Orderbased Production Control System[J].International Journal of Production Research,1982,20:671-687.

[4]Edghill J,Towill D R.Assessing Manufacturing System Performance:Frequency Response Revisited[J].Engineering Costs and Production Economics,1990,19:319-326.

[5]Mason-Jones R,Naim M M,Towill D R.The Impact of Pipeline Control on Supply Chain Dynamics[J].The International Journal of Logistics Management,1997,8:47-62.

[6]Dejonckhere J,Disney S M,Lambrecht M R,et al.Measuring and Avoidingthe Bullwhip Effect:a Control Theoretic Approach[J].European Journal of Operations Research,2003,147:567-590.

[7]Disney S M,Towill D R.Eliminating Drift in Inventory and Order Based Production Control Systems[J].International Journal of Production Economics,2005,93/94(8):331-344.

[8]Disney S M,Naim M M,Towill D R.Genetic Algorithm Optimization of a Class of Inventory Control Systems[J].InternationalJournal of Production Economics,2000,68:259-278.