王 宇，宋新龍，張 行，汪 燦，余宏明

（1.中國地質(zhì)大學（武漢）工程學院，武漢 430074；2.中鐵西北科學研究院有限公司，蘭州 730000）

邊坡工程模糊隨機可靠度分析

王 宇1，宋新龍2，張 行1，汪 燦1，余宏明1

（1.中國地質(zhì)大學（武漢）工程學院，武漢 430074；2.中鐵西北科學研究院有限公司，蘭州 730000）

將模糊隨機理論應用于邊坡可靠性評價當中，為了考慮隨機變量的模糊隨機性，引入穩(wěn)定系數(shù)的隸屬函數(shù)對邊坡的實際工作狀態(tài)進行模糊可靠評價。提出模糊隨機極限狀態(tài)方程的二次構(gòu)造思想，即將模糊隨機理論和響應面法相結(jié)合，首先利用響應面法進行一次構(gòu)造，得到可靠度響應面函數(shù)，在此基礎上借助隸屬函數(shù)的補函數(shù)作為輔助，進行二次構(gòu)造極限狀態(tài)方程來計算邊坡的模糊隨機可靠度。結(jié)果表明，該方法計算簡便、收斂速度快，克服了對模糊概率密度函數(shù)直接積分求解時過程復雜、耗費機時的缺點，具有較高的計算精度和廣泛的工程實用性。計算所得到的可靠性指標更加能夠真實地反映邊坡的穩(wěn)定狀態(tài)，為邊坡工程可靠性研究提供了一種新的方法。

模糊可靠度；響應面法；隸屬函數(shù)；功能函數(shù)；可靠性指標

邊坡工程的穩(wěn)定可靠性問題一直是巖土工程領域的一個研究熱點，邊坡穩(wěn)定性分析經(jīng)歷了以單一穩(wěn)定系數(shù)Fs來衡量穩(wěn)定性的定值法和考慮巖土體參數(shù)隨機性的概率分析法，但是巖土工程中不僅存在隨機性，還存在著大量的模糊性。邊坡穩(wěn)定和失穩(wěn)之間存在著一個模糊過渡區(qū)。邊坡穩(wěn)定模糊隨機可靠度的研究已有了一定的進展，國內(nèi)外學者已經(jīng)作了一些相關性研究工作，并取得了一定成就［1－6］，但是模糊理論與可靠度結(jié)合在邊坡工程中的應用仍然存在許多問題，比如邊坡模糊評價標準的建立、隨機過程隸屬函數(shù)的建立等，其中比較突出的問題是極限狀態(tài)變量模糊隨機可靠度的求解問題，因為它直接影響著邊坡穩(wěn)定評價尺度的正確與否。以往常常通過構(gòu)造模糊破壞概率函數(shù)，對隨機變量進行模糊處理，然后進行數(shù)值積分求解，計算難度大，過程復雜，計算時相當耗費機時，尤其當被積表達式為多元函數(shù)時，直接計算多重積分得到可靠性指標顯得更為困難。在前人研究的基礎上，本文將響應面法（RSM）與模糊隨機可靠度理論相結(jié)合，計算邊坡的模糊隨機可靠度指標，該方法避免了傳統(tǒng)計算方法的缺陷，為邊坡工程可靠性分析的理論與工程實踐提供了一條新的途徑。

1 模糊隨機極限狀態(tài)方程構(gòu)造

1.1 基于RSM法功能函數(shù)一次構(gòu)造

RSM方法根據(jù)各種試驗結(jié)果，采用統(tǒng)計推斷的方法對極限狀態(tài)方程在驗算點附近進行重構(gòu)。用RSM法重構(gòu)復雜結(jié)構(gòu)的近似功能函數(shù)，就是設計一系列變量值，每一組變量值組成一個試驗點，然后逐點進行結(jié)構(gòu)數(shù)值計算，得到對應的一系列功能函數(shù)值，通過這些變量值和功能函數(shù)值來重構(gòu)一個明確表達的函數(shù)關系。

在邊坡穩(wěn)定可靠度分析中，通常結(jié)合傳統(tǒng)的穩(wěn)定系數(shù)法來處理，即可得到邊坡穩(wěn)定可靠度分析的功能函數(shù)為

式中：X為隨機參數(shù)；G（X）為功能函數(shù)；Fs（X）為穩(wěn)定系數(shù)方程。由于功能函數(shù)G（X）無法明確表達，根據(jù)響應面法可以用一個近似多項式g（X）作為響應函數(shù)去代替真實的功能函數(shù)，因此式（1）可以表示為

響應函數(shù)的形式要滿足2個要求：①其數(shù)學表達式在基本能夠描述真實函數(shù)的前提下要盡量簡單，以避免可靠性分析過于復雜；②響應函數(shù)中應設計盡可能少的待定系數(shù)以減少分析的工作量。同時滿足這兩方面要求時以多項式為最佳。文獻［7］提出了含一次項以及二次交叉項的響應面函數(shù)，但經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)帶交叉項的與不帶交叉項的二次多項式精度差異不大［8，9］，而后者計算量要遠遠小于前者。基于以上考慮，本文采用不帶交叉項的二次多項式作為響應面函數(shù)，可表示如下：

式中：xi為隨機變量；a，bi，ci為待定系數(shù)。

利用響應面法完成邊坡模糊隨機分析功能函數(shù)的第一次構(gòu)造過程如下：

（1）確定分析中所要考慮的隨機變量。在確定每一個隨機變量在試驗點的取值時，一般考慮每個隨機變量都有4個值，分別是均值μi、方差σi和μi±σi。在目前的分析計算中，通常取m＝1，將g（μi，…，σi±μi，…，σi）代入式（3）就得到2n＋1個方程。

（2）用邊坡穩(wěn)定分析的程序，求得每一試驗點（μi，…，σi±μi，…，σi）所對應的穩(wěn)定系數(shù)。

（3）將每一試驗點所對應的穩(wěn)定系數(shù)值及相應的隨機變量的值代入到由第二步產(chǎn)生2n＋1個的方程中，這樣就得到了一個方程組，解線性方程組，就可以求得a，bi，ci。再將每一個系數(shù)代入式（3）就得到了所要求的響應面函數(shù)，從而也就完成了穩(wěn)定系數(shù)極限狀態(tài)方程的第一次構(gòu)造。

1.2 基于模糊理論的功能函數(shù)二次構(gòu)造

在邊坡可靠性分析中，即使基本隨機變量僅具有隨機性，但其破壞失穩(wěn)準則是模糊不明確的，邊坡的破壞可以看作為一個隨機事件，邊坡的可靠度就是模糊隨機事件的概率。

由于邊坡失穩(wěn)破壞的模糊性，使得功能函數(shù)Z＝g（X）的值僅反映了邊坡穩(wěn)定性適用程度的大小，其變化表示了邊坡穩(wěn)定適應性的損益。認為，Z＞0不表示邊坡完全處于可靠狀態(tài)，Z＜0并不意味著邊坡完全破壞，Z＝0也不是邊坡可靠和破壞的失穩(wěn)狀態(tài)界線。

考慮邊坡由“完全失穩(wěn)”到“完全穩(wěn)定”之間的中間過渡性時，引入可以表征邊坡穩(wěn)定性的隸屬函數(shù)μz。當μz→0時，表示邊坡極不穩(wěn)定，失穩(wěn)的可能性很大；當μz→0.5時，表示邊坡處于極限狀態(tài)，邊坡穩(wěn)定和失穩(wěn)的可能性都為0.5；當μz→1時，表示邊坡很穩(wěn)定，失穩(wěn)的可能性很?。?0］。

設邊坡破壞失穩(wěn)的模糊隨機事件可表示為

式中z∈Ω是模糊隨機事件空間中的狀態(tài)隨機變量。

若Z的概率密度函數(shù)為fz（z），根據(jù)模糊數(shù)學理論可定義邊坡破壞事件的概率為

式中μE（z）為邊坡失穩(wěn)隸屬函數(shù)，應為遞減函數(shù)，使邊坡的破壞程度隨穩(wěn)定系數(shù)的增大而減小。

設基本隨機變量X的聯(lián)合概率密度函數(shù)為fx（x），則邊坡破壞事件E的概率可表示為

若X是獨立隨機變量，式（6）又可寫成

直接計算式（6）和（7）的多重積分得到邊坡的可靠性指標比較困難，下面介紹隸屬函數(shù)補函數(shù)這一思想來解決這一問題。

邊坡穩(wěn)定系數(shù)隸屬函數(shù)μE（z）為遞增函數(shù)，則相應邊坡失穩(wěn)時的破壞隸屬函數(shù)μE（z）應為遞減函數(shù)，即隨著穩(wěn)定系數(shù)的增大，破壞概率變小，且0≤μE（z）≤1，因此可將1－μE（z）看做隨機變量Xn＋1的累 積分布函數(shù)F（x）。于是式（6）變?yōu)?/p>

xn＋1n＋1

其中新的隨機變量Xn＋1的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為：

上述做法把隸屬函數(shù)的補函數(shù)視為一個新隨機變量的累積分布函數(shù)，類似于非正態(tài)隨機變量的當量化，具有一定的普遍性。其實在式（9）中，也可以直接令FXn＋1（xn＋1）為標準正態(tài)分布函數(shù)?（xn＋1），相應地式（10）中的fXn＋1（xn＋1）為標準正態(tài)概率密度函數(shù)φ（xn＋1），類似于映射變量法的處理，則所得的Xn＋1為標準正態(tài)分布變量。

由式（8）可知，邊坡模糊隨機可靠度問題的失效域為｛x｜gx（x）≤xn＋1｝，因此相應的等效功能函數(shù)為

于是，式（11）右側(cè)等于0即為模糊極限狀態(tài)方程，以式（9）和（10）為補充條件，可以利用經(jīng)典可靠度分析方法計算模糊隨機可靠度。

2 穩(wěn)定系數(shù)隸屬函數(shù)的確定

在缺乏對邊坡的影響因素深入徹底地認識之前，簡單地以某一穩(wěn)定系數(shù)為依據(jù)來判斷邊坡的穩(wěn)定或失穩(wěn)的狀態(tài)顯然是不合理的，其次，如果直接考慮因素的模糊隨機性，假設一種有界模糊數(shù)，其核值、最大容許區(qū)間以及隸屬函數(shù)線型的確定等關鍵問題都是由主觀決定的，缺乏客觀依據(jù)。因此，從穩(wěn)定系數(shù)隸屬函數(shù)這一角度出發(fā)來研究邊坡的穩(wěn)定可靠性應該更加科學合理。

穩(wěn)定系數(shù)的隸屬函數(shù)的具體形式直接影響邊坡穩(wěn)定性評價結(jié)果，因此隸屬函數(shù)的構(gòu)造在邊坡穩(wěn)定模糊隨機可靠度分析中顯得至關重要。結(jié)合邊坡的實際情況，一般來說，穩(wěn)定系數(shù)越大則邊坡穩(wěn)定的可能性越大，并且當穩(wěn)定系數(shù)由小到大變化時，對邊坡狀態(tài)的判斷也存在從容易（失穩(wěn)）到困難（模糊平衡）再到容易（穩(wěn)定）的變化過程。這要求穩(wěn)定系數(shù)的隸屬函數(shù)是單調(diào)升函數(shù)，且其曲線的斜率隨著安全系數(shù)的增大先單調(diào)增大然后再單調(diào)減小。

本文從常見隸屬函數(shù)中選取，并結(jié)合前人的研究成果［11－14］，選用戒下型嶺形分布函數(shù)作為邊坡穩(wěn)定系數(shù)的隸屬函數(shù)，其函數(shù)表達式為

式中a，b為待定系數(shù)，穩(wěn)定系數(shù)小于a的邊坡絕對破壞，大于b的邊坡絕對穩(wěn)定，等于（a＋b）／2時狀態(tài)最模糊。

3 工程應用分析

3.1 研究區(qū)概況

杭蘭高速公路樅樹坪邊坡位于重慶市巫山縣兩坪鄉(xiāng)桂花村境內(nèi)，長約300 m，呈約262°走向沿溪溝南側(cè)山坡展布。邊坡出露地層巖性，上覆為第四系全新-更新統(tǒng)殘坡積含碎石亞黏土：褐黃、灰黃色，濕，硬塑狀，含10%～20%的碎石、角礫，鉆探揭露上覆殘坡積堆積層厚度12～26.90 m，結(jié)構(gòu)不均，穩(wěn)定性較差；下伏基巖為T2b3泥灰?guī)r，巖層產(chǎn)狀189°∠34°，巖層傾向與自然邊坡坡向反向斜交。邊坡土體的重度采用天然狀態(tài)下γ＝21 kN／m3，飽和狀態(tài)下γ＝25.6 kN／m3?；瑤量辜魪姸忍烊粻顟B(tài)下取c＝29.6 kPa，φ＝23.5°，飽和狀態(tài)下取c＝14.4 kPa，φ＝13.2°。滑帶土抗剪強度統(tǒng)計見表1。

3.2 功能函數(shù)一次構(gòu)造

根據(jù)極限狀態(tài)方程二次確定思想，首先由響應面法擬合二次函數(shù)進行功能函數(shù)的一次構(gòu)造。在計算穩(wěn)定系數(shù)時，采用有限元強度折減法求解，按照平面應變問題建立模型。巖土材料用二維實體結(jié)構(gòu)單元六結(jié)點三角等參單元T6，按照連續(xù)介質(zhì)處理，采用理想的彈塑性模型。典型的邊坡最大剪應變和最大水平位移云圖見圖1和圖2。天然工況和飽水工況下穩(wěn)定系數(shù)計算結(jié)果見表2。

表1 滑帶土抗剪強度參數(shù)統(tǒng)計表Table 1 Shear strength parameters of soil from the sliding zone

圖1 邊坡最大剪應變圖Fig.1 M aximum shear strain of slope

圖2 邊坡最大水平位移云圖Fig.2 M aximum horizontal displacement of slope

表2 穩(wěn)定性計算結(jié)果Table 2 Results of stability calculation

據(jù)穩(wěn)定性計算結(jié)果，根據(jù)上文所述的響應面法便可構(gòu)造出邊坡天然狀態(tài)和飽水狀態(tài)下的響應面函數(shù)。

3.3 功能函數(shù)二次構(gòu)造

為了盡量減少人為因素給分析結(jié)果帶來的主觀影響，本文利用杭蘭高速公路上27個邊坡穩(wěn)定系數(shù)統(tǒng)計資料構(gòu)造模糊約束條件，來確定戒下型嶺形分布隸屬函數(shù)中的待定系數(shù)。經(jīng)過野外實地調(diào)查和室內(nèi)深入的研究發(fā)現(xiàn)，穩(wěn)定的邊坡中，穩(wěn)定系數(shù)最小為0.84，即安全系數(shù)小于0.84的邊坡不可能再處于穩(wěn)定狀態(tài)，隸屬度為0；在破壞的邊坡中，穩(wěn)定系數(shù)最大則達到了1.62，即穩(wěn)定系數(shù)大于1.62的邊坡不可能再破壞，隸屬度為1。求得了穩(wěn)定系數(shù)的隸屬函數(shù)后，相應的則可以得到邊坡失穩(wěn)破壞時的隸屬函數(shù)

于是可令a＝0.84，b＝1.62，此時有（a＋b）／2＝1.23，于是穩(wěn)定系數(shù)的隸屬函數(shù)可確定為

為了使用上文所提的模糊理論對功能函數(shù)進行二次構(gòu)造，由隸屬函數(shù)模糊算子的運算性質(zhì)，反求了邊坡破壞時的隸屬函數(shù)，函數(shù)采用戒上型嶺形分布，其函數(shù)曲線與戒下嶺形互補，表示為

采用隸屬函數(shù)補函數(shù)法，引入新的隨機變量X3，由此來構(gòu)造邊坡失穩(wěn)隸屬函數(shù)的補函數(shù)。由式（9）和式（10）知，新的隨機變量X3的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)分別為：

黏聚力c、內(nèi)摩擦角φ參數(shù)統(tǒng)計已知，進一步可求得新隨機變量X3的均值和方差，從而可以構(gòu)造形如式（11）的極限狀態(tài)方程。

3.4 計算結(jié)果及分析

利用最終得到的功能函數(shù)對二種工況下的邊坡進行可靠性評價，可分別求得該高邊坡在天然狀態(tài)和飽水狀態(tài)下的模糊隨機可靠度指標，并按隨機參數(shù)為正態(tài)分布時給出的失效概率，計算時采用一次二階矩法。為了便于說明計算結(jié)果的可靠性，同時計算了傳統(tǒng)模糊可靠度和不考慮穩(wěn)定系數(shù)隸屬函數(shù)情況下的可靠度指標，見表3。

由表3的計算結(jié)果可知，常規(guī)的邊坡可靠性分析方法由于沒有考慮隨機變量模糊性對失穩(wěn)概率的影響，得出的破壞概率過小，過大地估計了邊坡的穩(wěn)定可靠狀態(tài)；功能函數(shù)二次構(gòu)造法的計算結(jié)果和直接數(shù)值積分得出結(jié)果相差很小，這說明了二次構(gòu)造法符合計算精度要求。為了便于和以往的可靠性指標直接積分法相對比，本文僅考慮了隨機變量的正態(tài)分布類型。邊坡模糊隨機可靠度分析，以考慮隨機變量模糊容許區(qū)間等價于穩(wěn)定系數(shù)隸屬函數(shù)的模糊化處理，用這種方法評價邊坡的實際狀態(tài)，將更加科學合理，符合客觀事實。

表3 可靠性計算結(jié)果Table 3 Results of reliability calculation

4 結(jié)論及建議

本文將模糊隨機理論引入邊坡可靠性評價中，既考慮了因素的隨機性，同時也考慮了因素的模糊性，使邊坡可靠性評價結(jié)果更加客觀、真實。應用響應面法耦合模糊隨機理論構(gòu)造可靠性功能函數(shù)，避免了傳統(tǒng)方法的缺點，計算效率高，結(jié)果可靠，具有廣泛的應用前景和工程價值。邊坡模糊隨機可靠性分析的難點問題是穩(wěn)定系數(shù)隸屬函數(shù)的選取，評價的合理性很大程度上取決于邊坡穩(wěn)定隸屬函數(shù)確定的正確性。然而隸屬函數(shù)的準確確定不太現(xiàn)實，由邊坡實例的統(tǒng)計結(jié)果作為模糊約束的土坡穩(wěn)定隸屬函數(shù)表達式仍然包含很多人為因素，需要更多的工程實例的檢驗和修正。

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（編輯：曾小漢）

Fuzzy Stochastic Reliability Analysis of Slope Engineering

WANG Yu1，SONG Xin-long2，ZHNAG Hang1，WANG Can1，YU Hong-ming1
（1.School of Engineering，China University of Geosciences，Wuhan 430074 China；2.Northwest Research Institute Co.，Ltd of C.R.E.C，Lanzhou 730000）

Fuzzy stochastic theory is applied to the slope reliability evaluation.Considering the fuzzy and stochastic features of random variables，the subordinate function of stability factor is introduced to perform fuzzy reliability analysis for the actualworking condition of the slope.The secondary structure of fuzzy random limit state equation is proposed on the basis of combining the fuzzy stochastic theory with the response surfacemethod.The response surfacemethod is used on a structure firstly to obtain the reliability response surface function，based on which the complementary function of subordinate function is used as an auxiliary to carry on the secondary limit state equation to calculate the random fuzzy reliability of the slope.Rather than directly solving the fuzzy probability density function by integral calculus，which is complicated and time-consuming，thismethod is proved to be simplewith fast convergence and high precision of calculation，thereby can be used widely.The slope stability can be reflectedmore accurately by the calculated reliability indexes.Themethod can be regarded as a new approach of studying the reliability of slopes.

fuzzy reliability；response surfacemethod；subordinate function；performance function；reliability index

P642

：A

2010-10-15；

2011-05-03

國家“十一五”科技支撐計劃項目（2008BAC47B0）；交通部西部交通建設科技項目（200906）

王 宇（1985-），男，河北滄州人，碩士研究生，主要從事邊坡穩(wěn)定性分析及邊坡與滑坡工程治理設計等方面研究，（電話）13720184614（電子信箱）good541571889＠126.com。