王彩霞，王戰(zhàn)偉

(1.華北水利水電學(xué)院，河南鄭州450011;2.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院，河南鄭州450015)

早在1927年，Kermark和Mckendrick就利用動(dòng)力學(xué)方法建立了SIR傳染病模型［1］.近20年來(lái)，國(guó)際上傳染病動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展迅速，國(guó)內(nèi)外眾多的專家學(xué)者建立了大量的傳染病數(shù)學(xué)模型［2－9］，對(duì)傳染病的治療和預(yù)防起到很大的作用.

很多傳染病不僅可通過(guò)接觸傳染，而且感染者可能通過(guò)遺傳傳給下一代，如肝炎、肺結(jié)核等.以往的研究主要集中在水平傳染上，也就是接觸傳染.為了更準(zhǔn)確地了解傳染病的性態(tài)，文獻(xiàn)［6－9］研究了一些具有垂直傳染的傳染病模型.在傳染病的研究中密度制約是不可忽略的因素.

1 傳染病模型

在考慮傳染病垂直傳染的基礎(chǔ)上同時(shí)考慮密度制約得到模型:

式中:x，y分別為易感者和感染者;d為死亡率;β為水平感染率;r為感染者的治愈率;ax，aθy分別為新增的易感者和感染者，0≤θ≤1反應(yīng)疾病對(duì)生育能力的影響;cx(x+y)和cy(x+y)分別為易感者和感染者的密度制約項(xiàng).假定所有的參數(shù)均為正，由模型的生物意義可知假定合理.

2 主要結(jié)果及證明

對(duì)于模型(1)，假設(shè) N=x+y，有

Γ ={(x，y)∈R2+:x+y ＜ －N}為模型(1)的正不變集.下面所有的分析都是在正不變集Γ內(nèi)進(jìn)行.

經(jīng)計(jì)算可得到模型(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)為E0=(0，0)，E1=(x0，0)=((a － d)c－1，0)，感染平衡點(diǎn)－E=(－x，－y).為了討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，下面給出模型(1)的雅克比矩陣

2.1 平衡點(diǎn)E0=(0，0)的穩(wěn)定性

定理1 平衡點(diǎn)E0=(0，0)總是存在，并且當(dāng)a ＜d時(shí)，E0=(0，0)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明平衡點(diǎn)E0=(0，0)的存在性由模型(1)易得.為了研究E0的穩(wěn)定性，直接代入上述雅可比矩陣可得，當(dāng)且僅當(dāng)a＜d時(shí)，E0局部穩(wěn)定.下面通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)來(lái)證明E0的全局漸近穩(wěn)定性.令

沿模型(1)的解求導(dǎo)計(jì)算后可得

當(dāng) a ＜d 時(shí)，V'≤0，并且當(dāng)且僅當(dāng)(x，y)=(0，0)時(shí)V'=0.因此，利用Lyapunov-LaSalle不變?cè)淼玫疆?dāng)a＜d時(shí)，E0=(0，0)全局漸近穩(wěn)定.

2.2 平衡點(diǎn) E1=((a－d)c－1，0)的穩(wěn)定性

定理2 當(dāng)a＞d時(shí)，平衡點(diǎn)E0丟失它的穩(wěn)定性，同時(shí) E1=((a－ d)c－1，0)出現(xiàn);當(dāng) R0＜1 時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn) E1=((a－d)c－1，0)全局漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0＞1時(shí)，E1是鞍點(diǎn).

證明顯然當(dāng)a＞d時(shí)，E1存在.將E1代入雅克比矩陣整理后可得

顯然當(dāng)R0＜1時(shí)，E1局部漸近穩(wěn)定;R0＞1時(shí)，E1是鞍點(diǎn).為進(jìn)一步得到平衡點(diǎn)E1的全局性態(tài)，令

利用 Dulac 準(zhǔn)則，構(gòu)造函數(shù) φ(x，y)=(xy)－1，由

可知在正不變集 Γ內(nèi)，系統(tǒng)(1)沒(méi)有閉軌.根據(jù)Poincare-Bendixson定理可知當(dāng)R0＜1時(shí)，E1全局漸近穩(wěn)定.

2.3 感染平衡點(diǎn)－E=(－x，－y)的穩(wěn)定性

由于感染平衡點(diǎn)的復(fù)雜性，需要先得到存在2個(gè)感染平衡點(diǎn)的條件.通過(guò)一般方法研究感染平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性非常麻煩甚至得不到結(jié)論，在這里筆者巧妙地構(gòu)造了2個(gè)函數(shù)并用它們的幾何特性得到了感染平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性.

令Q(x，y)=0，通過(guò)計(jì)算可以得到

代入

可得

由拋物線的幾何特性可知，要使方程存在2個(gè)正解必須同時(shí)滿足aθ＜r+d和Δ＞0.其中，

顯然當(dāng)aθ＜r+d時(shí)，Δ＞0一定成立.也就是說(shuō)，當(dāng)aθ＜r+d時(shí)，可得到2個(gè)正解分別記做－x1=x*，－x2=x*(x*＜x*)，又因?yàn)?/p>

模型(1)存在2個(gè)感染平衡點(diǎn) E*=(x*，y*)和E*=(x*，y*).為了研究E*和E*的穩(wěn)定性，構(gòu)造如下2個(gè)函數(shù):

易知模型(1)存在2個(gè)正平衡點(diǎn)，等價(jià)于f1(x)和f2(x)的圖形有2個(gè)正交點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)f2(x)，計(jì)算后可得

由函數(shù)的幾何特性可知，當(dāng)aθ＜r+d，β＞c時(shí)，2函數(shù)具有圖1所示特性.

圖1 函數(shù)曲線

為了得到感染平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，將－E代入雅克比矩陣整理后可得

經(jīng)計(jì)算可得

根據(jù)上述圖形的幾何特性，易得

而trJ(－E)=－r－x－1－y－c－x－c－y＜0，因此，平衡點(diǎn)E*=(x*，y*)局部漸近穩(wěn)定，E*=(x*，y*)為鞍點(diǎn).進(jìn)一步利用定理2中的Dulac函數(shù)，根據(jù)Poincare-Bendixson定理可知感染平衡點(diǎn)E*=(x*，y*)是全局漸近穩(wěn)定的.(證明過(guò)程同定理2).

綜上所述可得

定理3 當(dāng)(β－c)x*＞r+d－aθ，β＞c，aθ＜r+d時(shí)，模型(1)存在2個(gè)感染平衡點(diǎn)E*=(x*，y*)和 E*=(x*，y*).并且 E*=(x*，y*)全局漸近穩(wěn)定，E*=(x*，y*)為鞍點(diǎn).

注定理3和定理2并不矛盾，因?yàn)闂l件(βc)x*＞r+d－aθ已保證R0＞1，此時(shí)E1是鞍點(diǎn).

［1］ Kermack W O，Mckendrick A G.A contribution to the mathematical theory of epidemic［J］.Proc R Soc Lond，1927，A115:700 －721.

［2］馬知恩，周義倉(cāng)，王穩(wěn)地，等.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究［M］.北京:科學(xué)出版社，2004.

［3］ Wang Wendi.Backward bifurcation of an epidemic model with treatment［J］.Math Biosci，2006，201:58 － 71.

［4］ Wang Wendi，Ruan Shigui.Bifurcations in an epidemic model with constant removal rate of the infectives［J］.J Math Anal Appl，2004，291(2):775 －793.

［5］唐曉明，薛亞奎.具有飽和治療函數(shù)與密度制約的SIS傳染病模型的后向分支［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，40(24):241－246.

［6］付景超，井元偉，張中華，等.具有垂直傳染和連續(xù)預(yù)防接種的SIRS傳染病模型的研究［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008，23(2):273 －278.

［7］楊建雅，張鳳琴.一類具有垂直傳染的SIR傳染病模型［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，21(3):341 －344.

［8］郭淑利，李學(xué)志.具有垂直傳染的年齡結(jié)構(gòu)SEIR流行病模型的穩(wěn)定性［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，28(4):735－751.

［9］劉開(kāi)源，陳蘭蓀.一類具有垂直傳染與脈沖免疫的SEIR傳染病模型的全局分析［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2010，30(3):323－333.