435241 湖北省陽新縣白沙中學(xué) 董才強(qiáng)

一元二次方程整數(shù)根問題解題探析

435241 湖北省陽新縣白沙中學(xué) 董才強(qiáng)

含有字母參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問題是一種常見的題型，但這類問題涉及的知識點(diǎn)較多，思維的要求較高，所以難度比較大，學(xué)生往往望而卻步.本文通過一道中考試題來說明這類問題常用的幾種解法.

原題 (2011年黃石)已知二次函數(shù)y=x2-2mx+4m-8.

(1)當(dāng)x≤2時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍;

(2)以拋物線y=x2-2mx+4m-8的頂點(diǎn)A為一個頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正三角形AMN(M，N兩點(diǎn)在拋物線上)，請問：△AMN的面積是與m無關(guān)的定值嗎?若是，請求出這個定值;若不是，請說明理由.

(3)若拋物線y=x2-2mx+4m-8與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，求整數(shù)m的值.

解 (1)二次函數(shù)y=x2-2mx+4m-8的圖象是開口向上，對稱軸為直線x=m的拋物線，

∵當(dāng)x≤2時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，

∴ m≥2.

(2)如圖1所示，設(shè)拋物線的對稱軸與MN交于點(diǎn)B，根據(jù)拋物線和正三角形的對稱性可知：MN∥x軸，且AB垂直平分MN.

設(shè) M(a，b)，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(m，b)，顯然有 m＞a，

圖1

即△AMN的面積是與m無關(guān)的定值.

(3)很明顯，這一問的本質(zhì)是一個含有字母參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問題，下面對第(3)問的解法作重點(diǎn)探討.

解法1 利用判別式

令y=0，即可得到關(guān)于x的一元二次方程：

由題意，(m-2)2+4必須為完全平方數(shù)，不妨設(shè)(m-2)2+4=n2(其中n為整數(shù))，

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m=2時，關(guān)于x的一元二次方程x2-2mx+4m-8=0有整數(shù)根，∴m=2.

點(diǎn)評 本題解法的最后一步檢驗(yàn)雖一語帶過，但卻是一個必不可少的步驟.因?yàn)檎禂?shù)一元二次方程的判別式是完全平方數(shù)只是該方程有整數(shù)根的必要條件，但不是充分條件.也就是說，當(dāng)△為完全平方數(shù)時，并不能保證方程一定有整數(shù)根，所以必須進(jìn)行檢驗(yàn).

解法2 利用因式分解

對方程x2-2mx+4m-8=0稍作變形：

∴當(dāng)方程有整數(shù)根時，x=4或0，這時m=2.

點(diǎn)評 這個解法只用到整式的變形(先配方，再因式分解)，解題的必要性和充分性同時實(shí)現(xiàn)，參數(shù)和未知數(shù)的值也同時求出，而且不需要代入檢驗(yàn)，減少了出錯的機(jī)會.

解法3 利用根與系數(shù)的關(guān)系

∴當(dāng)方程有整數(shù)根時，m=2.

點(diǎn)評 這個解法沒有用到“m為整數(shù)”的條件，更反映出本題的特殊結(jié)構(gòu)，并且對學(xué)生來說，比上述各解法更容易想到.

解法4 構(gòu)造恒等式

點(diǎn)評 這個解法同解法3形式上很相似，只是消去參數(shù)m的途徑略有差異.而且，由于恒等式中的x可以任意取值，能為我們用于各種場合提供方便.同解法3一樣，由于本題要求參數(shù)m為整數(shù)，所以必須對求出的x1，x2進(jìn)行取舍.

解法5 變換主元，反客為主

點(diǎn)評 這個解法變換了思維角度，視m為主元x為參數(shù)，則易于求出m，再利用代數(shù)式的恒等變形和整除的性質(zhì)來達(dá)到求解的目的.

由此可見：解答含有參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根的問題雖然技巧性強(qiáng)，但是有規(guī)律可循，要仔細(xì)觀察所給方程的特征，綜合運(yùn)用所學(xué)知識，選擇簡便的解法.

20110925)