何春龍 尤肖虎 朱鵬程 盛 彬

(東南大學(xué)移動(dòng)通信國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096)

多徑衰落和頻譜效率是未來(lái)移動(dòng)通信系統(tǒng)中的2個(gè)最主要挑戰(zhàn).正交頻分復(fù)用(orthogonal frequency division multiplexing，OFDM)技術(shù)將信道分成若干個(gè)并行子信道，能夠?qū)㈩l率選擇性信道轉(zhuǎn)變?yōu)槠教顾ヂ湫诺?，而多輸入多輸?multiple input multiple output，MIMO)技術(shù)可顯著提高平坦衰落信道的容量，從而大幅度提高頻譜效率.因此，將MIMO和OFDM技術(shù)相結(jié)合可實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)在無(wú)線通信系統(tǒng)中的高速傳輸［1-2］.

已有的研究成果表明，MIMO-OFDM技術(shù)在發(fā)射端已知信道狀態(tài)信息(CSI)的前提下能顯著提高系統(tǒng)性能［3-6］.單用戶MIMO-OFDM 系統(tǒng)在發(fā)射端已知CSI時(shí)，可通過(guò)簡(jiǎn)單的波束成形或預(yù)編碼技術(shù)來(lái)獲得發(fā)射分集增益和陣列增益.在時(shí)分雙工系統(tǒng)中可以利用信道的互易性得到發(fā)送端的CSI，而頻分雙工系統(tǒng)不具有互易性.因此在實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，接收端通過(guò)有限反饋將某些與信道相關(guān)的信息發(fā)送給發(fā)射端.在MIMO-OFDM系統(tǒng)中，有限反饋數(shù)量與子載波個(gè)數(shù)成正比，因此即使采用量化的波束成形，反饋開(kāi)銷(xiāo)依然很大.針對(duì)MIMO-OFDM系統(tǒng)中反饋開(kāi)銷(xiāo)過(guò)大的問(wèn)題，文獻(xiàn)［7］提出了分組和線性球狀插值算法，接收端只需反饋導(dǎo)頻點(diǎn)的波束成形向量，非導(dǎo)頻點(diǎn)的波束成形向量通過(guò)子載波頻率的相關(guān)性得到;文獻(xiàn)［8］通過(guò)在Grassmann流形上求解最小二乘法得到非導(dǎo)頻子載波上的波束成形向量從而減少反饋開(kāi)銷(xiāo);文獻(xiàn)［9］提出了三階樣條補(bǔ)插和變換域補(bǔ)插的方法來(lái)減少反饋開(kāi)銷(xiāo);文獻(xiàn)［10-12］針對(duì)多用戶MIMO-OFDM系統(tǒng)提出利用子載波頻率之間的相關(guān)性來(lái)減少反饋開(kāi)銷(xiāo).本文針對(duì)線性球狀插值算法復(fù)雜度過(guò)大并且只適用于非量化波束成形的情況，提出了一種通用的插值算法，并在通用插值算法基礎(chǔ)上提出了一種相位量化方法.

1 系統(tǒng)模型

圖1所示為Mt根發(fā)送天線、Mr根接收天線、N個(gè)子載波的MIMO-OFDM系統(tǒng).在發(fā)送端，調(diào)制信號(hào){S(k)，k=1，2，…，N}首先乘以對(duì)應(yīng)的波束成形向量 w(k)={w1(k)，w2(k)，…，wMt(k)}T，然后經(jīng)過(guò)IDFT變換后，信號(hào)通過(guò)頻率選擇性衰落信道發(fā)送出去.假設(shè)H(k)為Mr×Mt信道矩陣，其中的元素表示第k個(gè)子載波的復(fù)信道增益.接收端經(jīng)過(guò) z(k)={z1(k)，z2(k)，…，zMr(k)}T向量合并后，第k個(gè)子載波信號(hào)可表示為

式中，n(k)是均值為0，方差為N0的Mr維獨(dú)立同分布復(fù)高斯噪聲.假設(shè)信道參數(shù)僅在接收端已知，且子載波功率滿足，則第 k 個(gè)子載波的信噪比(SNR)可表示為［7］

圖1 Mt發(fā)Mr收MIMO-OFDM波束成形有限反饋系統(tǒng)框圖

2 MIMO－OFDM波束成形插值算法

在MIMO-OFDM波束成形系統(tǒng)中，波束成形向量在頻域上具有相關(guān)性，因此可利用該特性來(lái)減少波束成形向量反饋量，即只反饋?zhàn)虞d波上的波束成形向量，然后利用信道頻域相關(guān)性，內(nèi)插重構(gòu)非導(dǎo)頻子載波上的波束成形向量.因此，關(guān)鍵問(wèn)題是利用性能好的插值算法來(lái)重構(gòu)非導(dǎo)頻子載波上的波束成形向量.下面將具體介紹各種插值算法.

2.1 線性球狀插值算法

為了表示方便，記wl=w(lK+1)，0≤l≤N/K－1，則第lK+k個(gè)子載波的線性球狀插值計(jì)算公式為［7］

式中，K為一組子載波的大小;ck=(k－l)/K為線性權(quán)重值;wN/K=wN/K－1;θl為相位旋轉(zhuǎn)參數(shù).為了得到線性插值的最佳性能，接收端需要計(jì)算出最優(yōu)的相位值.如果以平均誤碼率性能最小為準(zhǔn)則優(yōu)化相位值，那么相位參數(shù)的代價(jià)函數(shù)非常復(fù)雜.文獻(xiàn)［7］提出了將一組子載波中有效信道增益的最小值最大化的準(zhǔn)則，得到次優(yōu)的相位參數(shù)為

通過(guò)假設(shè)第lK+K/2+1個(gè)子載波有最差的有效信道增益，相位旋轉(zhuǎn)參數(shù)θl可表示為［7］

式中，R=HH(lK+K/2+1)H(lK+K/2+1).經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，式(6)的解可表示為［7］

其中

2.2 提出的通用插值算法

通過(guò)分析2.1節(jié)的線性球狀插值算法，可發(fā)現(xiàn)式(6)的閉式解有2個(gè)問(wèn)題:①算法求解過(guò)程非常復(fù)雜;②不適用于量化波束成形的情形.比如當(dāng)使用的碼書(shū)長(zhǎng)度為16，子載波個(gè)數(shù)為64，則這64個(gè)子載波波束成形向量是由長(zhǎng)度為16的碼書(shū)組成的，因此必然存在2個(gè)或以上子載波的波束成形向量相同，故η1=0，因此式(7)沒(méi)有解.針對(duì)這2個(gè)問(wèn)題，本文提出了一種通用的插值算法，該方法不僅適用于非量化波束成形，并且也適用于量化波束成形.其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，c1，c2，…，ct為權(quán)重值;w－1=w0;wN/K=wN/K－1，0≤k≤K;θ1，θ2，…，θt－1為相位旋轉(zhuǎn)參數(shù).令x=c1wl－1+c2ejθ1wl+ … +ctejθt－1wl+t－1，則次優(yōu)的相位旋轉(zhuǎn)參數(shù) θ1，2，…，t－1可表示為

式(12)的解為

式中，［］+表示偽逆.從式(10)的解可得出相位旋轉(zhuǎn)參數(shù)一定要小于等于發(fā)射天線個(gè)數(shù).該限制條件對(duì)式(13)在實(shí)際應(yīng)用中沒(méi)有影響，因?yàn)橄辔恍D(zhuǎn)參數(shù)一旦大于天線個(gè)數(shù)，那么實(shí)際的系統(tǒng)將極大地增加反饋量.通過(guò)應(yīng)用Rayleigh熵定理，可得到簡(jiǎn)化的通用插值算法為

2.3 二階高斯插補(bǔ)算法

二階高斯插補(bǔ)算法是利用前后3個(gè)連續(xù)的導(dǎo)頻子載波波束成形向量估計(jì)非導(dǎo)頻子載波波束成形向量.則第lK+k個(gè)子載波的二階高斯插補(bǔ)算法計(jì)算公式為［9］

其中

2.4 變換域插補(bǔ)算法

首先將反饋得到的波束利用IDFT將其變換到變換域，即［9］

其中，L=N/K.保留G(n)序列中前L0個(gè)點(diǎn)的值不變，后L－L0個(gè)點(diǎn)的值置0，即

其中，M=K/2+1.設(shè)得到的新序列為 G′(n)，將G′(n)進(jìn)行 DFT 變換得［9］

2.5 提出的相位量化法

由式(13)可看出相位旋轉(zhuǎn)參數(shù)無(wú)法量化，因此本文提出一種新的量化方法，即通過(guò)選擇相位旋轉(zhuǎn)參數(shù)使一組子載波中總的有效信道增益最大化.下面以二階插值為例來(lái)說(shuō)明量化過(guò)程.經(jīng)過(guò)修正的高斯插值算法數(shù)學(xué)表達(dá)式為

則次優(yōu)的相位旋轉(zhuǎn)參數(shù)可表示為

式中，P={0，2π/T，4π/T，…，2(L －1)π/T}，T 為相位旋轉(zhuǎn)參數(shù)量化級(jí)別，決定了系統(tǒng)性能和復(fù)雜度.T越大，系統(tǒng)性能越好，但算法復(fù)雜度和反饋量都相應(yīng)地增加.因此實(shí)際系統(tǒng)中應(yīng)選擇合適的T值.

3 計(jì)算復(fù)雜度與反饋開(kāi)銷(xiāo)分析

考慮到實(shí)際系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性，對(duì)各種插值算法的反饋量都在量化波束成形情況下進(jìn)行比較.波束成形向量采用碼書(shū)W進(jìn)行量化，每個(gè)波束成形向量需要反饋量，因此理想的量化波束成形需要的反饋量，分組方法、二階高斯插補(bǔ)和變換域插補(bǔ)的反饋量都為，線性球狀插值算法波束成形向量反饋量為，同時(shí)相位參數(shù)需要的反饋量為N/Klog2T.為了便于比較，本文提出的通用插值算法和相位量化法都僅采用一個(gè)相位參數(shù)，因此其反饋量與線性球狀插值算法相同.各種插值算法的反饋量如表1所示.

表1 各種插值算法反饋量比較(N=1024，K=8，T=4，W=16)

本文中計(jì)算復(fù)雜度定義為每個(gè)OFDM符號(hào)需要的復(fù)數(shù)乘法次數(shù)，因?yàn)橥?、信道估?jì)、QAM調(diào)制與解調(diào)、接收端合并和DFT/IDFT對(duì)各種算法復(fù)雜度都一樣，因此本文不考慮它們的復(fù)數(shù)乘法，僅考慮插值算法、波束成形量化和相位量化的復(fù)雜度.分組方法的量化復(fù)雜度為K，二階高斯插補(bǔ)時(shí)式(15)產(chǎn)生的復(fù)雜度為3NMt，變換域插補(bǔ)時(shí)式(16)和(18)產(chǎn)生的復(fù)雜度分別為N/2log2N和N/2log2N/K，線性球狀插值時(shí)式(4)產(chǎn)生的復(fù)雜度為2NMt，提出的相位量化法由式(20)產(chǎn)生的復(fù)雜度為NT.具體比較如表2所示.

表2 各種插值算法復(fù)雜度比較(N=1024，K=8，T=4，W=16)

4 仿真結(jié)果

MIMO-OFDM系統(tǒng)仿真參數(shù)設(shè)置如下:發(fā)射天線數(shù)Mt=4，接收天線數(shù) Mr=2;載頻fc=3.5 GHz，帶寬B=20 MHz，OFDM 采用N=1 024個(gè)子載波，循環(huán)前綴長(zhǎng)度為256個(gè)樣點(diǎn);仿真信道采用室外環(huán)境［13］，其功率延時(shí)譜服從負(fù)指數(shù)衰落，最大多徑時(shí)延為7 μs;采用QPSK調(diào)制，每條時(shí)域多徑均采用瑞利衰落信道，且不同的收發(fā)天線之間的信道是獨(dú)立同分布的，信道在一幀內(nèi)不變.本文考慮非量化波束成形和量化波束成形2種情況，在量化波束成形中碼書(shū)長(zhǎng)度W=16，即每個(gè)波束成形向量只需反饋4 bit信息給發(fā)送端［14］.為了比較的公平性，本文提出的通用插值算法和相位量化法都只采用一個(gè)相位參數(shù)，并且在通用插值算法中2個(gè)加權(quán)系數(shù)為［15］

圖2和圖3分別為非量化和量化波束成形向量情形下的插值算法誤比特率(BER)性能比較曲線圖，其中Choi等［7］提出的插值法指的是式(6)的解.由圖2和圖3可看出，本文提出的通用插值算法在非量化和量化波束成形向量情形下誤比特率性能明顯優(yōu)于分組方法、二階高斯插補(bǔ)和變換域插補(bǔ).在BER為1.0×10－3時(shí)，提出的通用插值算法在非量化和量化情形下相對(duì)分組方法分別有2.5和5 dB的信噪比增益，由此可證明本文提出的通用插值算法的正確性.同時(shí)也可看出，本文提出的相位量化方法在非量化和量化波束成形向量情形下誤比特率性能都接近理想波束成形性能.在BER為1.0×10－3時(shí)，提出的相位量化方法在非量化和量化情形下相對(duì)通用插值算法分別有1和2 dB的信噪比增益;Choi等［7］提出的插值法在非量化波束成形下也具有好的性能，但本文提出的通用插值算法和Choi等［7］提出的插值法都沒(méi)有量化相位，因此在實(shí)際系統(tǒng)中不能實(shí)現(xiàn).

圖2 非量化波束成形下的插值算法BER性能比較

圖3 量化波束成形下的插值算法BER性能比較

由表1可看出，二階高斯插補(bǔ)、變換域插補(bǔ)以及分組方法所需的反饋開(kāi)銷(xiāo)最小，提出的通用插值算法和相位量化方法的反饋量和Choi提出的插值法相當(dāng)，相對(duì)分組方法增加了50%，相對(duì)理想波束成形量化減少了81.25%.由表2可看出，分組方法算法復(fù)雜度最低.本文提出的相位量化方法、通用的插值法和Choi提出的插值法在反饋開(kāi)銷(xiāo)和復(fù)雜度方面大體相當(dāng);通用的插值算法復(fù)雜度相對(duì)分組方法增加了16.7%，相對(duì)理想波束成形量化減少了85.4%.

綜上所述，如果系統(tǒng)對(duì)誤比特率性能要求不是很高，而對(duì)復(fù)雜度和反饋量有較高要求，則分組方法是最好的選擇;如果系統(tǒng)對(duì)誤比特率要求高，對(duì)反饋量和復(fù)雜度沒(méi)有過(guò)高要求，并且要求能實(shí)際實(shí)現(xiàn)(即波束成形向量和相位參數(shù)都要求量化)，則本文提出的相位量化法將是很好的選擇.

5 結(jié)語(yǔ)

為了減少M(fèi)IMO-OFDM系統(tǒng)中波束成形向量的反饋開(kāi)銷(xiāo)，本文提出了一種通用的插值算法和相位量化方法.通用的插值算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但因?yàn)榉答佅辔粵](méi)有量化，因此在實(shí)際系統(tǒng)中不能實(shí)現(xiàn).而相位量化方法反饋的導(dǎo)頻波束成形向量和相位信息都已經(jīng)量化，因此便于實(shí)際系統(tǒng)實(shí)現(xiàn).仿真結(jié)果表明，提出的相位量化方法的誤比特率性能優(yōu)于現(xiàn)有的插值算法，并且易于實(shí)際系統(tǒng)實(shí)現(xiàn).

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