曹金燕

（太原理工大學(xué)，山西 太原 030024）

波在介質(zhì)中傳播常會(huì)遇到粗糙介質(zhì)表面，這些介質(zhì)表面的粗糙起伏相對(duì)于入射波的波長(zhǎng)不能忽略，此時(shí)除了鏡面方向的反射外，還會(huì)在其他方向產(chǎn)生散射。由于入射波與目標(biāo)、背景的相互作用產(chǎn)生的散射場(chǎng)不僅能反映目標(biāo)和背景的特征信息，而且也可用于對(duì)目標(biāo)的識(shí)別和隱藏。近幾十年來(lái)，隨機(jī)粗糙表面電磁散射理論在光學(xué)、聲學(xué)、電磁學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用和研究，并且隨著激光雷達(dá)、制導(dǎo)、引信、通訊及激光武器在軍事上的應(yīng)用，加速了對(duì)激光目標(biāo)特性的理論與實(shí)驗(yàn)研究。由此而發(fā)展的研究方法也多種多樣，值得后學(xué)者學(xué)習(xí)與借鑒。

1 粗糙面散射基本理論

粗糙面的電磁散射問題本質(zhì)上是在一定的邊界條件下求解Maxwell方程。在解決實(shí)際問題時(shí)，少數(shù)時(shí)候是直接求解Maxwell方程，而在大多數(shù)情況下直接求解的是由Maxwell方程結(jié)合邊界條件導(dǎo)出的積分方程。即一種是簡(jiǎn)化積分方程，獲得表面切向場(chǎng)或等效表面電流進(jìn)而求解遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)，稱為近似方法；另一種是從散射場(chǎng)的積分方程出發(fā)，利用數(shù)值模擬的方法直接求解，稱為數(shù)值方法。因此，電磁場(chǎng)的積分方程是粗糙面電磁散射問題的基本理論依據(jù)。

對(duì)于具有時(shí)間因子eiwt的時(shí)諧電磁波在均勻介質(zhì)空間中傳播時(shí)其電磁場(chǎng)E、H分別滿足矢量方程：

圖1 介質(zhì)散射體的散射情況

（3）～（6）式稱為 Stratton-Chu 積分公式，是求解電、磁散射常用的公式。其意義是：表面外任意點(diǎn)可用表面上各點(diǎn)的本地場(chǎng)來(lái)表示。

其中，η=（μ/ε）1/2為波阻抗。其邊界場(chǎng)的積分方程為

上式稱為電場(chǎng)的積分方程（EFIE）。

上式稱為磁場(chǎng)的積分方程(MFIE)。

2 粗糙面電磁散射特性研究方法

2.1 近似法

2.1.1 基爾霍夫近似(KA)

基爾霍夫近似就是在粗糙表面的任何一點(diǎn)都近似認(rèn)為產(chǎn)生平面界面反射，該點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)由過這一點(diǎn)的切平面上的總場(chǎng)代入遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)的積分表示式（10）而得到。

由于基爾霍夫近似中是用切平面代替曲面，所以在使用基爾霍夫近似時(shí)，就必須滿足切平面的兩個(gè)條件，用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為：

所以基爾霍夫近似在小于30°～40°的入射角是有效的。

采用這種假設(shè)后，簡(jiǎn)化了遠(yuǎn)場(chǎng)散射積分公式，然而要得到解析解仍是相當(dāng)困難。這種方法缺點(diǎn)是不能反映極化、退極化特性，也不適合于掠入射情況。

目前基爾霍夫近似在很大程度上得到了修正與應(yīng)用,如引入遮蔽函數(shù)、討論多次散射等。

2.1.2 微擾法（SPM）

微擾法是20世紀(jì)70年代后期發(fā)展起來(lái)的處理粗糙面散射的經(jīng)典方法之一。這一方法認(rèn)為粗糙面被入射波照射時(shí)，散射場(chǎng)和透射場(chǎng)可以用遠(yuǎn)離表面?zhèn)鞑サ奈粗穹钠矫娌ǖ寞B加來(lái)表示。這種表示通常稱為Rayleigh假設(shè)，并受固有誤差的影響。未知振幅通過求解表面切向電磁場(chǎng)每階微擾滿足的邊界條件及微分關(guān)系得到?？梢哉f(shuō)微擾法是一個(gè)解積分方程的漸近方法。

應(yīng)當(dāng)指出的是，對(duì)微擾法來(lái)說(shuō)，不存在很精確的條件，不同的研究者在研究各種特定的表面時(shí)，可以得出一些不同的條件。

微擾法的優(yōu)點(diǎn)是其結(jié)果能反應(yīng)極化及退極化特性，在任意散射角都是有效的，因此適用于掠入射情況。

2.1.3 二尺度方法(TS)

“二尺度”方法就是當(dāng)一隨機(jī)粗糙面由兩種粗糙度構(gòu)成，一種滿足微擾方法的假設(shè)，另一種滿足基爾霍夫近似假設(shè)，而將這兩種方法結(jié)合起來(lái)構(gòu)成的一種散射模型。

對(duì)于一些由自然力造成的粗糙表面，如海面等,可以近似認(rèn)為是在一個(gè)大粗糙面上附加一些微粗糙面。在一級(jí)近似下，可以簡(jiǎn)單把微粗糙面每單位面積平均非相干散截面疊加在大粗糙表面的非相干截面上。大粗糙面的散射功率被證明是產(chǎn)生于很小法平面，這些小的法平面按光學(xué)原理產(chǎn)生徑向反射。微粗糙面產(chǎn)生的功率與粗糙度譜成正比，其機(jī)理完全不同于大粗糙尺度的散射。因此，由于兩種尺度的散射功率是不相關(guān)的，他們可以迭加在一起。這種近似滿足斜度不太大的表面。

以往的結(jié)果已經(jīng)表明，單獨(dú)大粗糙度表面產(chǎn)生的后向功率在垂直方向很強(qiáng)，但接近于掠射時(shí)迅速下降。然而，微粗糙表面在垂直方向附近散射強(qiáng)度很小，但隨著接近掠射，強(qiáng)度幾乎不下降。因此，復(fù)合粗糙表面的散射，在近垂直入射的區(qū)域，用徑向反射來(lái)解釋，即大粗糙尺度散射。而近掠射區(qū)由微粗糙尺度散射來(lái)支配。

2.1.4 消光定理法

消光定理法是把Ewald-Oseen消光定理作為一種邊界條件和微擾理論相結(jié)合來(lái)求解散射場(chǎng)的近似解。首先把表面起伏高度h作為小參量將表面電磁場(chǎng)展開成h的冪級(jí)數(shù)，然后，由于求解空間散射場(chǎng)和透射場(chǎng)滿足Helmholtz方程，可將他們用平面波疊加來(lái)表示，最后比較各階小量前的系數(shù)從而獲得透射場(chǎng)與散射場(chǎng)各階近似。

這種方法優(yōu)點(diǎn)是:沒有作任何物理近似假設(shè)，如Rayleigh假設(shè)，沒有對(duì)表面斜度作任何限制，因而求解精度高，使用范圍廣，尤其是適用于掠射情況。

飛行載荷實(shí)測(cè)是驗(yàn)證飛機(jī)結(jié)構(gòu)完整性、完成新機(jī)定型必須進(jìn)行的試驗(yàn)項(xiàng)目。飛機(jī)載荷測(cè)量主要方法有：應(yīng)變法、壓力法及其他成熟的方法，還可以使用加速度計(jì)、熱測(cè)試設(shè)備及外掛外載荷測(cè)試。壓力測(cè)量法不方便實(shí)施且耗費(fèi)較高，通常采用應(yīng)變電橋測(cè)量法來(lái)測(cè)量飛行載荷[1]。應(yīng)變法主要思想是通過地面校準(zhǔn)試驗(yàn)來(lái)建立應(yīng)變電橋與加載載荷之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(即載荷模型)，飛行中將實(shí)測(cè)應(yīng)變代入載荷模型，即可得到飛行實(shí)測(cè)載荷。

2.1.5 全波法

全波法是E.Bahar在20世紀(jì)50年代提出的，經(jīng)過幾十年的發(fā)展己構(gòu)成了一種系統(tǒng)地研究電磁散射的理論方法。這一方法把散射場(chǎng)表示為輻射場(chǎng)、側(cè)向場(chǎng)及表面場(chǎng)之和，每個(gè)成分都以一般Fourier變換形式給出，其幅值表示為前向和后向之和，這種散射場(chǎng)的表示要求在粗糙面上滿足嚴(yán)格的邊界條件。由麥可斯韋方程出發(fā)，利用Fourier變換表示的基函數(shù)的正交性和邊界條件可以獲得一組關(guān)于前向和后向波幅的藕合差分方程。最終解的有效范圍依賴于求解這組藕合方程的假設(shè)。全波法所獲得的結(jié)果包含了作為特殊情況基爾霍夫近似與微擾法一級(jí)近似結(jié)果，為了使能量守恒，全波法所獲得的平均功率表示是粗糙面散射理論的一個(gè)很重要補(bǔ)充。

全波法的優(yōu)點(diǎn)是表面不受高度、斜度的限制。

2.1.6 相位微擾法

相位微擾法是由Winebrenner和Ishinaryu提出的，它可以應(yīng)用于對(duì)于任意入射波長(zhǎng)而言粗糙度連續(xù)變化的粗糙面的散射問題。這一方法與非均勻介質(zhì)波傳播中的Rytov方法類似，其本質(zhì)是邊界上的單極子源密度以新的函數(shù)指數(shù)eψ的形式表示，這種函數(shù)按不同級(jí)次ψ=ψ1+ψ2+···展開。對(duì)不同高度水平面的一級(jí)近似公式是嚴(yán)格的。因此，對(duì)Rayleigh參數(shù)不能作為小參數(shù)。另外，相位微擾法散射系數(shù)在適當(dāng)?shù)南拗葡驴赊D(zhuǎn)化為基爾霍夫方法。

相位微擾法的優(yōu)點(diǎn)是它使得平均散射強(qiáng)度明確分離為鏡向分量和漫反射分量。但該方法在掠入射情況下，誤差較大。

2.2 數(shù)值法

2.2.1 矩量法（MOM）

矩量法是計(jì)算電磁散射問題最常用的一種數(shù)值方法。直接從積分方程出發(fā)，利用矩量法可以研究強(qiáng)高度起伏、大斜率粗糙面，獲得表面場(chǎng)的精確解。由此而獲得的遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)及散射功率沒有附加任何簡(jiǎn)化假設(shè)。這一方法主要優(yōu)點(diǎn)是它所獲得的散射場(chǎng)是精確的，可用于驗(yàn)證其它近似方法的有效范圍。然而，由于需要矩陣求逆計(jì)算，受計(jì)算機(jī)內(nèi)存的限制，僅應(yīng)用于小尺度粗糙面和中等入射角。

2.2.2 時(shí)域有限差分方法（FDTD）

FDTD方法是Yee在1966年首先提出來(lái)的在時(shí)域計(jì)算目標(biāo)電磁散射的一種數(shù)值方法。從依賴時(shí)間變量的麥克斯韋方程出發(fā)，在電場(chǎng)和磁場(chǎng)各分量交叉設(shè)置的網(wǎng)格空間中，利用具有二階精度的中心差分格式把各場(chǎng)分量滿足的微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程，按時(shí)間交替計(jì)算電磁場(chǎng)。

FDTD方法的優(yōu)點(diǎn)是：①占用計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)空間小，若進(jìn)行并行計(jì)算，更加提高了FDTD解決實(shí)際復(fù)雜問題的能力和速度；②構(gòu)成粗糙面的各種復(fù)雜的邊界條件能自動(dòng)地得到滿足，這為解決非均勻介質(zhì)和結(jié)構(gòu)復(fù)雜系統(tǒng)中的電磁問題提供了極大的方便；③由于直接求解的是時(shí)域Maxwell方程，所以不僅可以計(jì)算時(shí)諧連續(xù)波的散射，而且可以計(jì)算非時(shí)諧脈沖波的散射，當(dāng)然也可用于穩(wěn)態(tài)電磁場(chǎng)的計(jì)算。顯然，隨著高速電子數(shù)字計(jì)算機(jī)的發(fā)展，F(xiàn)DTD方法的應(yīng)用范圍和解決實(shí)際問題的潛力一定會(huì)不斷的得到完善和發(fā)展。

2.2.3 前后向迭代法（FBM）

以MoM為基礎(chǔ)，并設(shè)法減少計(jì)算量的快速計(jì)算方法得到了進(jìn)一步的研究發(fā)展。其中一種新的數(shù)值方法是前后向迭代法(Forward Backward Method，F(xiàn)BM)。該方法將粗糙表面每個(gè)離散單元的感應(yīng)電流對(duì)散射場(chǎng)的貢獻(xiàn)分為前向與后向兩個(gè)部分：由入射電磁波和在該接收?qǐng)鰡卧懊娴脑磫卧袘?yīng)電流共同產(chǎn)生的前向貢獻(xiàn)，以及在該接收?qǐng)鰡卧竺娴脑磫卧袘?yīng)電流產(chǎn)生的后向貢獻(xiàn)。首先通過整個(gè)粗糙面計(jì)算得到前向貢獻(xiàn)，然后用來(lái)確定后向貢獻(xiàn)，通過多次迭代直到收斂為止。這種方法具有很快的收斂性，使得計(jì)算速度加快，其計(jì)算量為O（N2）。因此FBM適用于快速模擬計(jì)算包含低掠角入射時(shí)粗糙表面的散射問題。但是EFIE數(shù)值計(jì)算的不穩(wěn)定性會(huì)導(dǎo)致該方法的收斂速度較慢。

2.2.4 波束模擬法

當(dāng)寬波束入射或掠入射時(shí)，由于被照射的面積很大，利用矩量方法直接求解時(shí)，要求很大矩陣求逆，超出計(jì)算機(jī)內(nèi)存，使計(jì)算無(wú)法進(jìn)行。Sallard M和Maystre提出波束模擬方法(BSM)，即把一個(gè)寬波束分解成許多窄波束，所有窄波束對(duì)散射面的散射場(chǎng)就等于寬波束對(duì)散射面的散射場(chǎng)。它可以用于寬波束入射或掠入射的粗糙面散射問題，減少所需計(jì)算機(jī)內(nèi)存。然而使用這一方法必要前提是表面相互影響的兩點(diǎn)間隔必須足夠的小，這樣合成表面的解可以通過每一個(gè)子表面相關(guān)迭加來(lái)獲得。這就要求入射到子表面的誘導(dǎo)電流需要限制在被照射的區(qū)域，只有這一條件嚴(yán)格的滿足，誘導(dǎo)電流的線性迭加才可以嚴(yán)格產(chǎn)生散射場(chǎng)。除上述方法外還有有限元法、小斜率近似方法等。

3 結(jié)論

近似方法雖簡(jiǎn)單，但因其作了一定的近似，因此有一定的適用范圍。數(shù)值方法較精確，但其計(jì)算復(fù)雜，有時(shí)即使是使用高效的計(jì)算機(jī)也很難實(shí)現(xiàn)。人們?cè)趯?shí)際中往往采用近似方法計(jì)算粗糙面的電磁散射，而采用數(shù)值方法研究近似方法的有效性。

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