陳希有,李冠林,劉鳳春,董維杰

(大連理工大學 電子信息與電氣工程學部,遼寧大連 116023)

0 引言

電路理論的物理基礎是電磁場原理,但隨著電路理論的發(fā)展而完善。在教學上,電路課程與電磁場課程的關系日漸淡化。最重要的基爾霍夫定律被建立在集中參數(shù)假設的基礎上,作為公理而提出,對它們的物理涵義只做宏觀上的解釋(電荷守恒和能量守恒)?；鶢柣舴蚨蔀槭裁葱枰獫M足集中參數(shù)條件？什么是集中參數(shù)條件？在無電磁場背景的條件下,這些都不易講解清楚。還有,最近的電路和物理類教材都說可以證明線性互感的兩個互感系數(shù)是相等的,但都沒有證明,只有在早期的電路和物理類教材中才能找到證明[1]。從證明中我們方可得知,并不是所有線性互感的互感系數(shù)都是相等的。這種脫離根基的現(xiàn)象對培養(yǎng)具有堅實的理論基礎的高素質(zhì)人才顯然是不利的。

我們認為電路教學中適當講授電路問題的電磁場原理,對于夯實學生的電路概念,掌握概念、方法、定理和定律的應用條件,培養(yǎng)學生的電磁學應用能力是很有幫助的[2]。

1 關于電流的教學方法

為更好地解釋KCL及其成立條件,需準確理解電流的定義。在以前各階段的物理課程中,學生主要學習了兩種電流-傳導電流和位移電流。簡述如下[3,4]。

1)傳導電流:介質(zhì)中帶電粒子的定向運動所形成的電流,并將單位時間內(nèi)通過導體橫截面的電荷量稱為電流強度,簡稱電流,即

正電荷運動的方向規(guī)定為電流的方向。S表示積分曲面,JC表示傳導電流密度。

2)位移電流:這是麥克斯韋定義的電流,由變化的電場產(chǎn)生,將某點電位移D的時間變化率稱為該點的位移電流密度,用 jD表示,即

電容元件內(nèi)部的電流主要是位移電流。

物理學已闡明,全部電流之和具有連續(xù)性,全電流連續(xù)性定律來表述。各電流可以有熱效應、磁效應和化學效應。由于學生學習了全電流概念,所以可明確闡述:電路理論中的電流單指傳導電流,該電流可以通過電流表加以感知和計量,通過電阻時具有熱效應,它從元件的端子流入和流出。這樣強調(diào)可以為即將學習的KCL及其成立條件準備重要的鋪墊。

2 KCL及其成立條件的電磁學表述

在電路理論中,雖然KCL是作為公理提出的,但它與電荷守恒和能量守恒這樣的自然界普遍公理是不同的。它的正確性是有明確物理基礎的,即電磁學中的全電流連續(xù)性定律原理,教學時應該使學生了解這些。

在不存在徒動電流時,全電流連續(xù)性定律的積分形式可表述為

其中,S表示任意高斯面。

由上式可知,如果在某種條件下可以不計位移電流,則傳導電流本身便是連續(xù)的,表述為

當把積分中的高斯面用于包圍電路中的節(jié)點時,上式表述的就是電路中KCL(敘述從略)。例如對圖1電路有

圖1 只存在傳導電流的高斯面

這樣便從電磁學角度順理成章地得出了KCL成立的必要條件是:封閉面上的位移電流小到忽略不計,傳導電流只在導線中流動。這樣又為闡述集中參數(shù)電路準備了必要的鋪墊。

3 關于電壓的教學方法

因為電壓涉及電場力對電荷的做功情況,所做的功還可能與路徑有關,參見圖2。所以在教學時還是基于電磁場原理定義電壓為好[5,6],這樣便于敘述KVL及其條件。

圖2 電荷在電場中的移動

空間或?qū)щ娒劫|(zhì)中的電荷在電場力的作用下定向運動。試探電荷dq在電場中所受到的電場力F與電荷量成正比:F=(dq)E,E表示總電場強度,它包括庫侖電場強度Ec、感應電場強度Ei和局外電場強度 Ee,即E=Ec+Ei+Ee。

因此,電場力F將電荷dq從a點沿路徑l移動到b點所做的功為式中,uab(l)在量值上等于電場力將單位正電荷由a點沿路徑l移動到b點所作的功,稱為由a點到b點沿路徑l的電壓,即

一般說來,上述電壓的量值是與路徑有關的。如果在某種條件下,空間的感應電場和局外電場小到可以忽略不計,或者非常集中,從而在選擇積分路徑時可以避開這些電場,僅剩庫侖電場,而庫侖電場的重要性質(zhì)是做功與路徑無關,只與端點的位置有關,這時上式的積分可以重新表示成

這就是電路理論中所用到的電壓,嚴格說是端電壓,為符合習慣起見仍稱電壓。在只有庫侖電場的條件下,可以使用電位這個概念。這便意味著,在電路中使用電壓和電位這樣的概念是有條件的。

上式明確表示了電壓是積分量,這符合IEV(International Electro-technical Vocabulary)對電路理論的定義:電路理論是研究電與磁系統(tǒng)的理論,該理論用積分量描述電磁現(xiàn)象。

關于積分量的定義為“電磁場相關量的線、面或體積分,例如電壓、電流、電荷、磁通、磁壓、磁鏈?！碑斢胾=w/q(或u=dw/dq)來定義電壓時,則不易看出電荷的運動路徑,因而不易理解使用電壓的條件;形式上也看不出電壓是積分量;也不易理解q是導線和元件中流動的實際電荷,還是計算用的試探電荷？知識有些不托底。

4 KVL及其成立條件的電磁學表述

在電路滿足一定條件時,選擇的閉合路徑可以避開感應電場和局外電場而只存在庫侖電場,庫侖電場沿閉合路徑的線積分為零,即

當將上述積分應用于電路中的閉合路徑時便自然得到KVL,且KVL成立的必要條件也自然明了:計算電壓的路徑上只存在庫侖電場。這便為闡述集中參數(shù)電路又準備了新的鋪墊。

由于計算電壓時涉及到電場強度的線積分,這樣才易于從電磁場角度說清KVL的成立條件。

5 集中參數(shù)假設的電磁學表述

按照上述對電流和電壓的闡述,以及對KCL和KVL各自成立條件的電磁學表述,便可用電磁學語言闡述它們同時成立的充要條件,即集中參數(shù)電路條件:

(1)除電容內(nèi)部外,電路中的位移電流可以忽略不計,即 D/ t=0,只存在傳導電流;

(2)傳導電流只能在導線和元件中流動;

(3)在計算電壓的路徑上只存在庫侖電場。局外和感應電場忽略不計,即Ee=0,Ei= B/ t=0。

其中,第1個條件在時變情況下相當于空間介質(zhì)的介電常數(shù)ε=0,并且除電容外,其它地方?jīng)]有電荷積累,或者說已經(jīng)用電容表示了電荷積累現(xiàn)象;第2個條件相當于空間介質(zhì)的電導率γ=0,傳導電流被集中在導線和元件中,這樣才有節(jié)點和支路的概念。高壓遠距離輸電線不能作為集中參數(shù)電路,原因就是空間介質(zhì)的電導率 γ≠0,導線間到處分布著傳導電流,且由于距離長而不能被忽略;而第3個條件相當于空間介質(zhì)的磁導率μ=0,除電源元件外不存在局外電場,除電感元件外不存在感應電場,或者說已經(jīng)用電感表示了存在感應電場的現(xiàn)象。又由于感應電場是磁場變化產(chǎn)生的,所以也相當于不計空間磁場隨時間的變化,但允許磁場的存在。

根據(jù)電磁學原理,介電常數(shù)ε和磁導率μ只要其一為零,在這樣媒質(zhì)中的電磁波速度就會是無限大,相當于電路幾何尺寸遠小于電磁波波長的情況。但這只是集中參數(shù)的必要條件而非充分條件,因為充分條件要求媒質(zhì)中電導率γ、介電常數(shù)ε和磁導率μ全為零[7]。顯然這是一種理想化條件,實際上是不可能存在的。

從電磁學原理可知,當電路幾何尺寸遠小于電磁波長時,電路周圍分布的是似穩(wěn)場或稱為緩變場。分析這種場時,可以不用考慮電磁波的傳播延時,相當于將位移電流產(chǎn)生的磁場和變化的磁場產(chǎn)生的感應電場這兩方面的某一個方面忽略。因此,似穩(wěn)場表現(xiàn)為靜電場和恒定磁場的分布規(guī)律,在空間電導率γ=0的電路中可以使用 KCL和 KVL。這樣便密切了集中參數(shù)電路與似穩(wěn)場的關系。

可知就KCL或KVL而言,它們各自成立時并不需要滿足集中參數(shù)的全部條件。例如,如果只要求KCL成立,則只需滿足條件(1)和條件(2),因為這樣只剩下導線中的傳導電流,它必然連續(xù);如只要求KVL成立,則只需滿足條件(3),因為這時任何兩節(jié)點之間都存在僅含庫侖場的路徑,閉合路徑上的線積分等于零。所以集中參數(shù)電路是KCL和KVL分別成立的充分條件而非必要條件,但它是KCL和KVL同時成立的充要條件。

6 結(jié)語

為培養(yǎng)學生具有扎實的理論基礎,從而具有較強的創(chuàng)新實力,在電路理論教學中適當延伸某些概念的物理基礎,加強與電磁學的內(nèi)在聯(lián)系是必要的。這樣可以幫助學生更加準確地理解電路基本定律的應用條件,以便將來更好地建立分析對象的電路模型或電磁場模型,而這些只有利用電磁學原理才能解釋清楚。電路理論課程不僅要重視先進計算方法的教學,更要重視對物理概念的準確闡述。

本文在成稿過程中,得到了中國工程院院士俞大光以及北京航空航天大學雷銀照教授的悉心指教,他們的寶貴建議使作者受益匪淺。在此,對兩位老師的幫助表示謝意。

[1] 俞大光,《電工基礎》(修訂本,上冊)(M),北京:人民教育出版社,1964年。

[2] 俞大光,場與路還是合并為好(J),南京:電氣電子教學學報,2002,24(2):1-2.

[3] 余虹,姜東光,張殿鳳,劉中原.《大學物理學》(M),北京:科學出版社,2002年2月。

[4] 楊學棟,李斌.《大學物理學》(M),哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學出版社,2000年3月。

[5] 陳希有,孫立山,柴鳳.《電路理論基礎》(第三版)(M),北京:高等教育出版社,2004年1月。

[6] Anant Agarwal,Jeffrey H.Lang著;于歆杰,朱桂萍,劉秀成譯.模擬和數(shù)字電子電路基礎(M).北京:清華大學出版社,2008年7月.

[7] 俞大光.對電工基礎中的幾個基礎問題的看法(C).北京:電工電子課程報告論壇論文集.2006,pp1-2.