楊晉萍,王 路,馮 帆

(1.山西大學(xué)工程學(xué)院,山西太原 030013;2.太原高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)管理委員會,山西太原 030006;3太原理工大學(xué),山西太原 030024)

一個按預(yù)期要求做正常運行的線性系統(tǒng),由于某種外界擾動,或系統(tǒng)特性不穩(wěn)定,會影響系統(tǒng)的正常運行。這時,我們需要設(shè)計一種調(diào)節(jié)器,使系統(tǒng)具有閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且有達(dá)到輸出調(diào)節(jié)(無差調(diào)節(jié))的性質(zhì),并且當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生微小擾動時,仍然保持這兩種性質(zhì)。設(shè)計具有這種性質(zhì)的調(diào)節(jié)器問題,稱為魯棒調(diào)節(jié)器問題。對于任何實際系統(tǒng),經(jīng)常有外部擾動。要求系統(tǒng)在干擾的作用下,使被調(diào)信號能跟蹤給定值信號,從而使系統(tǒng)達(dá)到無偏差的調(diào)節(jié)[1]。

1 雙機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)方程

我們考慮由兩臺電樞控制的直流電機(jī)帶動同一負(fù)載的調(diào)速系統(tǒng),假定兩臺電機(jī)傳動比都為1,此時兩臺電機(jī)與負(fù)載的角速度相同,設(shè)為 ω。假定兩臺電機(jī)的勵磁電流恒定,則雙機(jī)的狀態(tài)方程為這里 ,我們令,式中,Ce1、分別為兩臺電機(jī)的電勢常數(shù)。分別為兩臺電機(jī)的轉(zhuǎn)矩常數(shù)。J為負(fù)載的總轉(zhuǎn)動慣量(包括電機(jī)本身的轉(zhuǎn)動慣量),B為阻尼系數(shù),為負(fù)載轉(zhuǎn)矩,和為兩臺電機(jī)的電樞電路電阻和為兩臺電機(jī)的電樞電路電感;

負(fù)載力矩可視為外界干擾,即Mz=x21,設(shè)它為階躍函數(shù),故其狀態(tài)方程為

希望在給定范圍內(nèi)負(fù)載能實現(xiàn)無極調(diào)速。設(shè)轉(zhuǎn)速的給定值為階躍函數(shù),其狀態(tài)方程為

如果將干擾和給定值都視為外部干擾,則式(2)和式(3)為外部輸入的狀態(tài)方程。

我們除了希望轉(zhuǎn)速調(diào)到給定值yr外,還希望在穩(wěn)定運行時兩臺電機(jī)的負(fù)載能平均分配,如果Cm1=,就是希望電樞電流相同,即=0。因此,可把和作為輸出和,則輸出方程為

這樣,雙機(jī)拖動系統(tǒng)由式(1)～式(4)描述,電機(jī)的狀態(tài)方程為

外部輸入的狀態(tài)方程為

輸出方程:

2 調(diào)節(jié)器問題的一般形式

由上面例題可知,作為調(diào)節(jié)問題,裝置的狀態(tài)方程描述包括裝置本身的狀態(tài)方程、外部輸入狀態(tài)方程和輸出方程三部分[2]。

作為調(diào)節(jié)問題,就是要設(shè)計控制器

①閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;

②達(dá)到輸出調(diào)節(jié)(無差調(diào)節(jié)),即對任意初值x1

今后,將具有上述性質(zhì)的調(diào)節(jié)器稱為輸出調(diào)節(jié)器,簡稱調(diào)節(jié)器。由裝置狀態(tài)方程與控制器所組成的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程,經(jīng)過簡單計算可化為

xL稱為閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)向量,它所在的空間記為Vx1,易知VxL=Vx1Vxc,Vxc為調(diào)節(jié)器式(10)所在的狀態(tài)空間。

閉環(huán)系統(tǒng)(即AL)的特征多項式為

3 魯棒調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)形式

其中b為a(s)的伴隨陣,B為一列向量。

在式(8)和式(9)中,考慮如下形式的控制器:

式中

可見,式(14)是由兩個SE∶式(18)子系統(tǒng)鎮(zhèn)定補(bǔ)償器ST:式(17)和伺服補(bǔ)償器SE∶式(18)所組成。

SE是由p個相同的獨立子系統(tǒng)所組成。每一個子系統(tǒng)的輸入是y的一個分量,其系數(shù)陣為外部輸入的最小多項式的伴隨陣。由此可見,魯棒調(diào)節(jié)器由伺服補(bǔ)償器SE、鎮(zhèn)定補(bǔ)償器ST和控制規(guī)律組成。

鎮(zhèn)定補(bǔ)償器和控制規(guī)律的作用在于保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,鎮(zhèn)定補(bǔ)償器的設(shè)計是通常的極點配置。只要系統(tǒng)狀態(tài)x可以直接測量,補(bǔ)償器的階數(shù)就是零階的;若不能直接測量,則要采用多維觀測器。伺服補(bǔ)償器的作用在于當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時,使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到輸出調(diào)節(jié),因為伺服補(bǔ)償器由外部輸入的最小多項式a(s)所確定,這些子系統(tǒng)可以看作是外部輸入模型在調(diào)節(jié)器中的嵌入,是用來補(bǔ)償外部干擾對系統(tǒng)的影響,從而允許實際系統(tǒng)的參數(shù)在鄰域內(nèi)發(fā)生微小變化,此即為內(nèi)模原理所反映的工程實質(zhì)。

4 魯棒調(diào)節(jié)器的設(shè)計原理

伺服補(bǔ)償器SE是由外部輸入模型所確定,可用式(18)和式(19)來計算。因此魯棒調(diào)節(jié)器設(shè)計的關(guān)鍵在于求出控制規(guī)律中的和F以及鎮(zhèn)定補(bǔ)償器ST。

伺服補(bǔ)償器可以看作是串聯(lián)在裝置上,這個串聯(lián)系統(tǒng)稱為擴(kuò)張系統(tǒng),記為?？刂埔?guī)律和鎮(zhèn)定補(bǔ)償器組成擴(kuò)張系統(tǒng)Se的一個輸出動態(tài)反饋補(bǔ)償器。因此就可歸結(jié)為設(shè)計這種補(bǔ)償器(控制規(guī)律和鎮(zhèn)定補(bǔ)償器),使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,且有滿意的動態(tài)響應(yīng)的問題。

在設(shè)計之前,先研究它的能控能觀性,擴(kuò)張系統(tǒng)Se的狀態(tài)方程為

[定理1]擴(kuò)張系統(tǒng)式(22)和式(23)能控能觀(能穩(wěn)能檢測)的充分必要條件為對任意λ∈ σ(A2),有

在前述的基本假設(shè)條件下,對于系統(tǒng)式(5)、式(6)、式(7),如果式(24)成立,則存在魯棒調(diào)節(jié)器。還可看出,如果系統(tǒng)是能控能觀的,則存在魯棒調(diào)節(jié)器,使閉環(huán)系統(tǒng)的極點能任意配置。

對擴(kuò)張系統(tǒng)設(shè)計輸出動態(tài)反饋補(bǔ)償器,這個補(bǔ)償器即為鎮(zhèn)定補(bǔ)償器和控制規(guī)律。

利用動態(tài)反饋極點配置的方法,選擇K1和K2,使式(30)在狀態(tài)反饋下式的作用下:

閉環(huán)系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)響應(yīng)。

如設(shè)計一個全階觀測器

此鎮(zhèn)定補(bǔ)償器為式(26),控制規(guī)律為式(27),如圖1所示。

圖1 魯棒調(diào)節(jié)器

將式(27)代入式(26)中,消去u,得到式(17)形式的鎮(zhèn)定補(bǔ)償器,閉環(huán)系統(tǒng)的極點為

5 雙機(jī)拖動系統(tǒng)魯棒調(diào)節(jié)器的設(shè)計

現(xiàn)針對雙機(jī)拖動的調(diào)速系統(tǒng),設(shè)計一個魯棒調(diào)節(jié)器(圖1)。

(1)設(shè)計伺服補(bǔ)償器,其外部輸入模型為

其最小多項式為a(S)=S,因而b=0,B=1,由式(18)可知伺服補(bǔ)償器為

(2)設(shè)計擴(kuò)張系統(tǒng)的狀態(tài)反饋

由式(5)、式(6)、式(7)和式(30)式可知擴(kuò)張系統(tǒng)為

求如式(31)所示的狀態(tài)反饋為

使式(32)和式(33)在式(34)作用下,閉環(huán)系統(tǒng)有滿意的極點。

(3)設(shè)計鎮(zhèn)定補(bǔ)償器。假設(shè)x2=0,雙機(jī)拖動的調(diào)速系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式(32),輸出方程為

針對系統(tǒng)式(32)和式(35),設(shè)計一個全階觀測器式(26),并將式(34)代入整理得

選擇G得使式(36)有滿意的極點。式(36)即為所求的鎮(zhèn)定補(bǔ)償器。

(5)確定魯棒調(diào)節(jié)器。所求魯棒調(diào)節(jié)器由式(36)、式(30)和式(34)組成。

6 結(jié)語

如果受控系統(tǒng)的參數(shù),即系統(tǒng)矩陣 A、B和C等元素有某些變化,從而導(dǎo)致補(bǔ)償?shù)牟煌耆?使得擾動補(bǔ)償和靜態(tài)無差不能實現(xiàn),需要改進(jìn);而且閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式的系數(shù)在參數(shù)附近變化時,的特征根也在變化,但希望仍在復(fù)平面的左半平面內(nèi),達(dá)到閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。為了達(dá)到系統(tǒng)穩(wěn)定和無差調(diào)節(jié),必須對受控系統(tǒng)進(jìn)行魯棒調(diào)節(jié)器的設(shè)計。本文就以雙機(jī)拖動調(diào)速系統(tǒng)的魯棒調(diào)節(jié)器的設(shè)計為例加以闡明,供讀者參考。

[1] 涂奉生,董達(dá)生等編著.多變量線性控制系統(tǒng)[M].北京:煤炭工業(yè)出版社,1988。

[2] 涂奉生,齊寅峰編著.多變量線性控制系統(tǒng)分析與設(shè)計[M].北京:化學(xué)工業(yè)出版社,1989。