田社平,陳洪亮,張 峰

(上海交通大學(xué)電子信息學(xué)院,上海 200240)

0 引言

互易電路是指滿足端口互易特性的電路。對(duì)于不含獨(dú)立電源的電路,如果該電路對(duì)外具有兩個(gè)端口,構(gòu)成二端口電路,當(dāng)該二端口電路的參數(shù)矩陣的元素滿足如下關(guān)系,即

則稱該電路為互易電路或互易二端口電路[1]。

互易定理是互易電路性質(zhì)的概括與總結(jié),現(xiàn)行電路教材中一般將互易定理描述為三種形式[2,3]或兩種形式[4]。這三種形式可簡(jiǎn)單地表述為:對(duì)互易電路,電路的正向轉(zhuǎn)移電阻和反向轉(zhuǎn)移電阻相等;電路的正向轉(zhuǎn)移電導(dǎo)和反向轉(zhuǎn)移電導(dǎo)相等;電路的正向轉(zhuǎn)移電流比和反向轉(zhuǎn)移電壓比大小相等,符號(hào)相反。上述三個(gè)結(jié)論如果用二端口電路的參數(shù)矩陣來(lái)描述,正好對(duì)應(yīng)式(1)～式(3)。

由于描述二端口電路的參數(shù)矩陣有六種形式,從邏輯上講,由式(1)～式(6)可知互易電路的性質(zhì)應(yīng)該有六種表現(xiàn)形式,除互易定理的三種形式外,互易電路還具有式(4)～式(6)所表達(dá)的性質(zhì)。下面就式(4)～式(6)所表達(dá)的性質(zhì)作一補(bǔ)充討論。

1 互易電路性質(zhì)的補(bǔ)充討論

1.1 互易電路補(bǔ)充性質(zhì)之一

針對(duì)式(4),可推出互易電路具有如下性質(zhì)。

[補(bǔ)充性質(zhì)1]已知圖1所示電路中N為互易電路,如果在端口11’施加電壓源激勵(lì)uS1,在端口22’得到電壓響應(yīng)u2,如圖1(a)所示。反之,對(duì)端口22’施加電流源激勵(lì)iS2,可在端口11’得到電流響應(yīng)i1,如圖1(b)。則在電路具有唯一解的情況下,有

圖1 互易電路補(bǔ)充性質(zhì)之一

上述性質(zhì)可直接由式(4)推出。由該性質(zhì)可知,如果N為互易電路,則電路的正向轉(zhuǎn)移電壓比和反向轉(zhuǎn)移電流比大小相等,符號(hào)相反。請(qǐng)注意該性質(zhì)與電路教材中互易定理形式3的區(qū)別[2,3]。

1.2 互易電路補(bǔ)充性質(zhì)之二

針對(duì)式(5),可推出互易電路具有如下性質(zhì)。

[補(bǔ)充性質(zhì)2]已知圖2所示電路中N為互易電路,如果在端口11’施加電壓源激勵(lì)或電流源激勵(lì),在端口22’得到電壓響應(yīng)或電流響應(yīng),分別如圖2(a)～圖2(d)所示。則在電路具有唯一解的情況下,有

圖2 互易電路補(bǔ)充性質(zhì)之二

證明:不失一般性,假設(shè)二端口電路N的a參數(shù)矩陣為

則對(duì)圖2(a)電路,有

由式(9)可得

同理,由圖2(b)電路,有

由式(11)可得

類似地,由圖2(c)和圖2(d)可得關(guān)系式:

N為互易電路,因此Δa=a11a22-a12a21=1,由式(10)、式(12)～式(14)可得出式(8)。

1.3 互易電路補(bǔ)充性質(zhì)之三

針對(duì)式(6),可推出互易電路具有如下性質(zhì)。

[補(bǔ)充性質(zhì)3]已知圖3所示電路中N為互易電路,如果在端口22’施加電壓源激勵(lì)或電流源激勵(lì),在端口11’得到電壓響應(yīng)或電流響應(yīng),分別如圖3(a)～(d)所示。則在電路具有唯一解的情況下,有

圖3 互易電路補(bǔ)充性質(zhì)之三

上述性質(zhì)的證明與互易電路補(bǔ)充性質(zhì)之二的證明類似。

2 互易定理和補(bǔ)充性質(zhì)之間的關(guān)系

由于描述二端口電路的六種參數(shù)矩陣之間可以相互轉(zhuǎn)換,因此對(duì)互易電路,如果描述其端口特性的六種參數(shù)矩陣都存在,則互易定理的三種形式和三種補(bǔ)充性質(zhì)中任意一者都可推出其他五者,即互易電路的六種性質(zhì)是完全等價(jià)的。但是,并非所有的二端口電路都存在六種參數(shù)矩陣,因此對(duì)互易電路,如果描述其端口特性的某一種參數(shù)矩陣不存在,則與之對(duì)應(yīng)的性質(zhì)也就不存在。從這個(gè)意義上講,互易電路的六種性質(zhì)之間具有一定的獨(dú)立性。

如圖4所示,二端口電路均由電阻元件構(gòu)成,因此都是互易電路。經(jīng)計(jì)算可知,圖4(a)電路不存在G矩陣,因此不滿足正向轉(zhuǎn)移電導(dǎo)和反向轉(zhuǎn)移電導(dǎo)相等這一性質(zhì)。圖4(b)電路不存在R矩陣,因此不滿足正向轉(zhuǎn)移電阻和反向轉(zhuǎn)移電阻相等這一性質(zhì)。圖4(c)電路不存在G、H、A、^A矩陣,因此僅滿足正向轉(zhuǎn)移電阻和反向轉(zhuǎn)移電阻相等和補(bǔ)充性質(zhì)之一。

圖4 二端口互易電路

值得指出的是,對(duì)互易電路,如果其A矩陣存在,由于A矩陣元素滿足式(5),由A矩陣與^A矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系可知,對(duì)應(yīng)的 ^A矩陣必存在。反之,如果^A矩陣,則對(duì)應(yīng)的A矩陣必存在。因此補(bǔ)充性質(zhì)之二和補(bǔ)充性質(zhì)之三可互相推出,兩者等價(jià)。

3 結(jié)語(yǔ)

由于二端口電路可以有6種參數(shù)矩陣描述形式,因此對(duì)互易二端口電路具有式(1)～式(6)由矩陣參數(shù)所表達(dá)的6種性質(zhì),與之對(duì)應(yīng),互易二端口電路的端口電壓、電流關(guān)系應(yīng)具有互易定理3種形式和本文介紹的3種補(bǔ)充性質(zhì)所表達(dá)的性質(zhì)。

本文在互易定理的基礎(chǔ)上給出互易電路所具有的三個(gè)補(bǔ)充性質(zhì),給出了相應(yīng)的證明,通過(guò)這些討論,有助于正確理解互易性的概念,并對(duì)電路課程的教學(xué)具有一定的幫助作用。

[1] 李瀚蓀.簡(jiǎn)明電路分析基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社.2002

[2] 陳希有.電路理論基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社.2004

[3] 陳洪亮,張峰,田社平.電路基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社.2007

[4] 于歆杰,朱桂萍,陸文娟.電路原理[M].北京:清華大學(xué)出版社.2007