邵小桃,成 超,張靜文

(北京交通大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,北京 100044)

平板電容器是“電磁場(chǎng)與電磁波”課程中靜態(tài)場(chǎng)部分常見的計(jì)算模型。根據(jù)平板電容器的電荷分布,可以計(jì)算平板電容器的電位和電場(chǎng)分布。為了求解方便,一般情況下將平板導(dǎo)體上的電荷分布視作均勻的,基于Schwarz-Christoffel變換,仿真求解平板電容器電場(chǎng)和電位分布。在實(shí)際情況下,平板導(dǎo)體上電荷分布并不是均勻的。本文討論線電荷密度為ρ的帶電長(zhǎng)線在相距為r的點(diǎn)處產(chǎn)生的電位,然后利用Matlab仿真軟件,得出平板電容器上的電荷密度分布,最終給出空間電位分布和電場(chǎng)分布仿真圖形。從結(jié)果可以看出,平行板平均分塊數(shù)N越大,所得出的結(jié)果越逼近實(shí)際情況。

1 均勻帶電長(zhǎng)條的電位分布

圖1 xoz平面中的均勻帶電長(zhǎng)條

沿 x2到 x1方向,電荷均勻分布,此時(shí)每一線元dx實(shí)際代表與z軸平行的帶電長(zhǎng)線。如選取有限足夠遠(yuǎn)r0處為參考點(diǎn),線電荷密度為ρ的帶電長(zhǎng)線在軸距為r處產(chǎn)生的電位:

寬度在x2到x1的帶電長(zhǎng)條可看做無限多個(gè)線電荷密度為ρ的帶電長(zhǎng)線構(gòu)成,每個(gè)帶電長(zhǎng)線在二維平面中的點(diǎn)(x,y)處產(chǎn)生的電位

因?yàn)閞0選在有限足夠遠(yuǎn),則x對(duì)r′0無影響,可看作常數(shù)。此處僅討論等位線,可將上式積分常數(shù)項(xiàng)舍去,故有

寬度在x2到 x1的帶電長(zhǎng)條在二維平面中的點(diǎn)(x,y)處產(chǎn)生的電位為

其等位線如圖2所示。

圖2 均勻帶電長(zhǎng)條的電位分布

從圖2可以看出,等位線為橢圓簇;電場(chǎng)線在導(dǎo)體表面有切向分量,切向分量沿邊緣方向越來越大,并致邊緣完全達(dá)到切向。電場(chǎng)線在導(dǎo)體表面有較強(qiáng)的切向分量,將促使導(dǎo)體內(nèi)部自由電荷向?qū)w兩端移動(dòng),直至電荷分布使得其產(chǎn)生的電位滿足導(dǎo)體為等位體,否則電荷將在切向電場(chǎng)的作用下繼續(xù)移動(dòng)。最終,電荷分布將呈現(xiàn)出兩端多,中間少的情形。這就是平行板的“邊緣效應(yīng)”。

2 平板電容器電場(chǎng)分布逼近

依據(jù)上面討論,將實(shí)際將實(shí)際平板電容器沿z向無限延伸,而 x方向則有限延伸,將三維問題轉(zhuǎn)換成為二維問題。xoy平面內(nèi)相距為d、寬度為a的平板電容器如圖3所示放置。

圖3 平板電容器xoy平面圖

依據(jù)前面推導(dǎo)出的公式,對(duì)應(yīng)圖3可寫出中點(diǎn)位于(0,0)處、長(zhǎng)為a的均勻帶電長(zhǎng)條在點(diǎn)(x,y)處產(chǎn)生的電位

其中,有

那么,當(dāng)長(zhǎng)條中心位于(X,Y)處時(shí),其在(x,y)點(diǎn)出激發(fā)的電位為

從上式可以看出,平行板電容器的空間電位分布與板上的電荷密度有關(guān),由于數(shù)學(xué)表達(dá)式復(fù)雜,直接求解存在一定的難度。此處采用逼近思想,間接求出平板電容器極板上的電荷分布。

將平行板平均分為2N塊窄長(zhǎng)條,上下各為N塊,如圖記作1,2,…,2N-1,2N號(hào)。每塊窄長(zhǎng)條帶電均勻,且電荷密度分別為ρ(1),ρ(2),…,ρ(2N-1),ρ(2N)。

由對(duì)稱性知:

xoy平面內(nèi)任意一點(diǎn)(x,y)處的電位為2N個(gè)窄長(zhǎng)條在此處產(chǎn)生電位的疊加,表示為

圖4 平板電容器在xoy平面產(chǎn)生的電位

如果利用vi表示第i塊長(zhǎng)條中心點(diǎn)處的電位,由上式則有

利用上式,可由計(jì)算機(jī)求出電荷密度σ數(shù)組,這樣由式

可得出空間電位分布,利用式 E(x,y)=-φ(x,y),也可以得到空間電場(chǎng)分布。

利用Matlab仿真可以計(jì)算,N=10時(shí)的電荷密度分布ρ,如圖5(a)所示。此處只給出極板N=10個(gè)長(zhǎng)條分別對(duì)應(yīng)的電荷密度大小。

當(dāng)N=100時(shí),計(jì)算出的ρ如圖5(b)所示。

圖5 不同N時(shí)平板電容器電荷密度分布

從圖5可以看出,平板電容器極板上的電荷密度呈現(xiàn)兩端多,中間少的分布情形,即平板電容器的“邊緣效應(yīng)”。且N越大,所得出的結(jié)果越逼近實(shí)際情況。利用quiver函數(shù),可以得到對(duì)應(yīng)電位的電場(chǎng)分布。N=20時(shí)電位和電場(chǎng)分布的Matlab仿真圖形如圖6所示。

圖6 平板電容器電位和電場(chǎng)連續(xù)分布的Matlab仿真

可見,導(dǎo)體表面電場(chǎng)線仍然垂直于導(dǎo)體表面,但在無限大的空間,呈現(xiàn)的則是曲線。

3 結(jié)語

考慮邊緣效應(yīng)的平板電容器電場(chǎng)和電位場(chǎng)分布逼近法,并沒有推導(dǎo)出嚴(yán)格的電荷分布函數(shù),但是卻適應(yīng)于任何形狀的導(dǎo)體電荷密度的近似求解。只要得到電荷密度,電位、電場(chǎng)分布也就迎刃而解。將此結(jié)果與通過S-C變換得到的理論值的仿真結(jié)果作比較,結(jié)果非常吻合,說明此逼近方法切實(shí)可行。

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