冷永剛，趙爾華，石 鵬，張 瑩

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)

自從 1981年 Benzi等[1]研究古氣象冰川問題提出隨機(jī)共振(stochastic resonance，SR)概念以來，SR現(xiàn)象受到了廣泛的關(guān)注．隨機(jī)共振現(xiàn)象是一種非線性現(xiàn)象，它利用噪聲的積極作用，使淹沒于噪聲中的弱信號(hào)得到共振加強(qiáng)，從而實(shí)現(xiàn)從強(qiáng)噪聲干擾中檢測微弱信號(hào)的目的．利用雙穩(wěn)SR技術(shù)處理一維信號(hào)的理論和實(shí)驗(yàn)研究在國內(nèi)外已比較成熟，發(fā)表的相關(guān)文獻(xiàn)也很多[1-3]．雙穩(wěn) SR對于淹沒在噪聲中的周期和非周期信號(hào)均具有很好地增強(qiáng)作用，即對于任意的一維序列，雙穩(wěn) SR有助于突出其中的特征成分．隨著隨機(jī)共振應(yīng)用研究的深入，其應(yīng)用范圍逐漸延伸到數(shù)字圖像處理領(lǐng)域[4-8]，如Ye等[4]利用雙穩(wěn)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了圖像直流分量的增強(qiáng)，另外在閾值系統(tǒng)中，Marks等[5]發(fā)現(xiàn)通過向圖像添加適當(dāng)強(qiáng)度的噪聲可以使圖像更加符合人的視覺特征，文獻(xiàn)[6]提出了雙穩(wěn)SR能夠改變信號(hào)的直方圖分布，從而將雙穩(wěn)隨機(jī)共振用于二維圖像的處理．二維圖像的SR處理方法通常是將二維圖像先按行或列次序展開為一維數(shù)列，然后輸入給雙穩(wěn)系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)共振處理，此處稱之為一維雙穩(wěn)SR．為進(jìn)一步分析二維圖像的隨機(jī)共振現(xiàn)象，深入研究SR在圖像識(shí)別和視覺理解過程中的作用，筆者以一幅經(jīng)典的lena灰度圖為研究對象，進(jìn)一步完善一維雙穩(wěn)SR，并在此基礎(chǔ)上提出圖像的二維雙穩(wěn)SR方法．同時(shí)，由于系統(tǒng)參數(shù)的變化會(huì)引起勢壘高度、勢阱間距和粒子躍遷速率的改變[9]，并使能量相對重新分布，使輸出圖像的質(zhì)量不同，因此筆者在二維雙穩(wěn)隨機(jī)共振的研究基礎(chǔ)上，重點(diǎn)研究二維灰度圖像 SR的參數(shù)調(diào)節(jié)規(guī)律及其輸出圖像質(zhì)量的變化情況，并比較了一維SR和二維SR兩種圖像處理方法的優(yōu)劣．

1 雙穩(wěn)態(tài)SR概述

在 SR的研究中，非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)模型通常由勢函數(shù)表示，即

式中a和b為系統(tǒng)參數(shù)．在不考慮噪聲的情況下得到一維非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)的確定性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)方程

由定態(tài)方程d/d 0x t= 得到雙穩(wěn)系統(tǒng)的 3個(gè)解為1個(gè)不穩(wěn)定的定態(tài)解10x= 和兩個(gè)穩(wěn)定的定態(tài)解從物理意義上理解，雙穩(wěn)系統(tǒng)的響應(yīng)輸出可以表現(xiàn)為一個(gè)粒子在雙穩(wěn)勢阱內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，如圖1所示．

圖1 非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)勢函數(shù)Fig.1 Non-linear bistable system potential function

在噪聲為零時(shí)，系統(tǒng)存在著臨界值 Ac．當(dāng) A ＜ Ac時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌道將在附近進(jìn)行局域的周期運(yùn)動(dòng)，只有在 A ＞Ac時(shí)，軌道才能圍繞這兩個(gè)定態(tài)吸引域做大范圍的躍遷運(yùn)動(dòng)．當(dāng)引入噪聲后，在噪聲幫助下，即使在 A ＜Ac時(shí)，系統(tǒng)仍可以在兩定態(tài)解之間進(jìn)行躍遷．

鑒于上述理論源自絕熱近似[10]或線性響應(yīng)理論[11]，其研究對象必須符合小參數(shù)要求，即信號(hào)的幅度和頻率以及噪聲強(qiáng)度均比 1小得多．為了擴(kuò)展雙穩(wěn) SR的應(yīng)用領(lǐng)域，文獻(xiàn)[12-13]提出變尺度的方法處理工程實(shí)際中經(jīng)常遇到的大參數(shù)信號(hào)，取得了較好的成效．此外，在一定條件下，噪聲通過雙穩(wěn)系統(tǒng)對非周期信號(hào)的檢測也具有積極的作用，以此產(chǎn)生和發(fā)展了非周期SR理論[14]．

信號(hào)的 SR是利用雙穩(wěn)系統(tǒng)中隨機(jī)力的非線性作用，利用噪聲能量轉(zhuǎn)移為信號(hào)能量來實(shí)現(xiàn)噪聲的抑制和信號(hào)的增強(qiáng)，使系統(tǒng)的輸出能夠很好地跟蹤信號(hào)的變化．圖像是一種特殊的數(shù)據(jù)信號(hào)，它的像素值只能取正值，且在一定的范圍內(nèi)，超出這個(gè)范圍，圖像就會(huì)失真．由于圖像信號(hào)的特殊性，因此筆者將圖像的 SR限制在正勢阱中，即研究圖像二維 SR的單阱SR特性．

2 雙穩(wěn)態(tài)圖像SR

2.1 圖像二維SR原理

根據(jù)絕熱近似理論或線性響應(yīng)理論，系統(tǒng)的輸入應(yīng)滿足SR的小參數(shù)要求．實(shí)際含噪二維灰度圖像的灰度值范圍通常是[0，255]，為滿足 SR 小參數(shù)的要求，將其歸一化，即讓輸入圖像灰度范圍歸一化為[0，1]．這種歸一化既滿足 SR的小參數(shù)要求，又不會(huì)引起圖像信息的丟失．

空間二維靜態(tài)灰度圖像可以表示為空間坐標(biāo)x軸和y軸的函數(shù) S = f( x , y)，它是連續(xù)函數(shù)．圖像處理時(shí)，必須對一幅灰度連續(xù)的圖像進(jìn)行采樣．圖像的采樣是將在空間上連續(xù)的圖像轉(zhuǎn)化為離散點(diǎn)集的過程，把一幅連續(xù)的圖像在空間上分割成mn×個(gè)網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格對應(yīng)為一個(gè)像素點(diǎn)．圖像是二維分布的信息，任一像素的灰度值都與周圍的像素有關(guān)，所以采樣是在x軸和y軸兩個(gè)方向上進(jìn)行．這里定義采樣頻率sf為單位尺寸內(nèi)的采樣像素點(diǎn)數(shù)，單位為像素/mm，于是圖像 SR處理的計(jì)算步長為s1/h f= ．根據(jù)變尺度SR方法[9-10]，可以對計(jì)算步長進(jìn)行縮放，選擇合適的步長，以達(dá)到圖像SR的最優(yōu)輸出質(zhì)量．

二維灰度圖像的SR可由連續(xù)兩次一維SR來實(shí)現(xiàn)．其過程是，首先對輸入的二維灰度圖像進(jìn)行歸一化預(yù)處理，然后按行掃描得到一維序列并輸入到雙穩(wěn)系統(tǒng)中進(jìn)行 SR，將 SR輸出序列按照行掃描的方式重新組成一個(gè)方陣，并將此方陣歸一均化到[0，1]之間，得到一幅一維 SR 的圖像．對這幅一維SR圖像，按列掃描得到一維序列并再次輸入到雙穩(wěn)系統(tǒng)中進(jìn)行第 2次 SR，將共振輸出得到序列按照列掃描過程的方式重新組成一個(gè)方陣，并再將這個(gè)方陣進(jìn)行歸一均化處理，就可得到二維 SR圖像．圖像二維 SR處理的基本原理過程如圖 2所示．顯然，上述過程改為先沿列后沿行進(jìn)行二維 SR，其結(jié)果也是一樣．

圖2 二維SR圖像增強(qiáng)算法原理示意Fig.2 Schematic diagram of two-dimensional SR image enhancement algorithm

需要說明的是，圖像經(jīng)過雙穩(wěn) SR后，其結(jié)果矩陣不一定能夠顯示為一幅圖像，需要將這個(gè)結(jié)果矩陣進(jìn)行歸一化處理，轉(zhuǎn)換為灰度圖像．這時(shí)的灰度圖像其灰度值可能分布在某個(gè)很窄的灰度區(qū)域內(nèi)，對比度很弱，圖像細(xì)節(jié)不清晰．如果通過線性映射使分布密集的灰度區(qū)域重新均化到[0，1]之間，拉大圖像的對比度，使圖像的直方圖均勻化，那么圖像的細(xì)節(jié)又會(huì)變得清晰可辨．稱這個(gè)過程為“歸一均化”過程，具體實(shí)例過程如圖3所示，它是將SR后的密集灰度區(qū)域[1.2，1.32]之間的灰度值歸一均化到[0，1]之間．歸一均化過程雖然造成了灰度區(qū)域[1，1.2]和[1.32，1.4]的信息丟失，但只是非常少的一部分信息丟失，可以忽略不計(jì)．

圖3 SR圖像的歸一均化過程Fig.3 Normalizing and homogenizing of SR image

2.2 圖像二維SR仿真

為觀察圖像的二維SR情況，從式(3)模型入手，以一幅經(jīng)典的 lena灰度圖為研究對象，通過仿真來考察雙穩(wěn)SR對圖像及其直方圖的影響．給出一組仿真參數(shù)：采樣頻率 fs根據(jù)變尺度 SR設(shè)為 fsr＝10像素/mm，對應(yīng)的計(jì)算步長為 h＝1/fsr＝0.1，系統(tǒng)參數(shù)a＝5、b＝10，輸入信號(hào)為原始無噪圖像．圖像二維SR的數(shù)值計(jì)算采用四階龍哥-庫塔(Runge-Kutta)法，雙穩(wěn)輸出圖像的直方圖及對應(yīng)的圖像如圖4所示．

圖4(d)是原始圖像 4(a)的直方圖．由圖 4可以看出，二維雙穩(wěn) SR改變了圖像的直方圖，使雙穩(wěn)響應(yīng)圖像的灰度和對比度發(fā)生了變化，灰度響應(yīng)范圍變小(見圖 4(e))，集中在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，對比度降低，幾乎看不到圖像及其細(xì)節(jié)信息(見圖4(b))．但是對二維SR后的圖像序列進(jìn)行歸一均化后，圖像所包含的細(xì)節(jié)就會(huì)變得清晰(見圖 4(c))，對應(yīng)的直方圖為圖 4(f)．表明二維 SR后，圖像所含的信息量并沒有減少丟失．當(dāng)圖像不含有噪聲時(shí)，一維 SR與二維SR的結(jié)果類似，這里不再給出一維SR的圖像．

下面給出含有高斯噪聲的 lena灰度圖的仿真例子．按照二維 SR方法，仍然取計(jì)算步長 h＝1/fsr＝0.1，系統(tǒng)參數(shù) a＝5、b＝10，向標(biāo)準(zhǔn) lena灰度圖中添加均值為0、方差為0.4的高斯白噪聲．其雙穩(wěn)SR響應(yīng)圖像的直方圖及對應(yīng)的圖像如圖5所示．

作為對比，圖 5給出了一維 SR圖像和二維 SR圖像．由圖 5可以看出，SR可以有效濾除圖像中的噪聲，使圖像變得清晰，而且比較圖 5(b)和(c)可知，二維SR圖像比一維 SR圖像噪聲量明顯減少，具有更清晰的效果，有更好的圖像輸出質(zhì)量．因此，二維SR比一維SR具有更好的濾除噪聲的效果．

圖4 無噪圖像的SR結(jié)果與直方圖Fig.4 SR image and corresponding histogram of image without noise

圖5 含噪圖像SR結(jié)果與直方圖Fig.5 SR image and corresponding histogram of image with noise

3 參數(shù)變化對二維SR圖像的影響

二維 SR圖像的處理效果與雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù) a、b以及變尺度SR步長h密切相關(guān)．先固定SR計(jì)算步長，討論雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)對二維SR圖像質(zhì)量的影響，然后再考察SR步長對二維SR圖像質(zhì)量的影響．

3.1 雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)對二維SR圖像的影響

對于給定的一幅含噪圖像，二維 SR處理效果的好壞可以通過對二維 SR圖像與標(biāo)準(zhǔn)參考圖像進(jìn)行比較判斷．圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)有主觀評(píng)價(jià)和客觀評(píng)價(jià)．主觀評(píng)價(jià)主要是利用人的視覺進(jìn)行評(píng)價(jià)，客觀評(píng)價(jià)(即圖像的逼真度)是一種定量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)．圖像的逼真度既可以用被評(píng)價(jià)圖像與標(biāo)準(zhǔn)參考圖像之間相似程度表示，也可以用被評(píng)價(jià)圖像與標(biāo)準(zhǔn)參考圖像之間的偏離程度表示．本文中主要研究客觀評(píng)價(jià)的這兩種判別方法．

圖像的相似程度可用相似系數(shù) C ( X , Y )表示，其表達(dá)式為[15]

式中：X為標(biāo)準(zhǔn)參考圖像，歸一化到[0，1]；Y為二維SR圖像； ?表示圖像的平均值；

圖像的偏離程度用偏離系數(shù)(即均方根誤差)表示，其表達(dá)式[15]為

根據(jù)被評(píng)價(jià)圖像與標(biāo)準(zhǔn)參考圖像的逼真程度，可以得出系統(tǒng)參數(shù)a和b的選擇規(guī)律．以含有高斯噪聲的 lena灰度圖為例，討論相似系數(shù) C ( X , Y)和偏離系數(shù) E ( X , Y)隨系統(tǒng)參數(shù)a和b的變化規(guī)律，并選擇最優(yōu)的a和b使圖像的雙穩(wěn)響應(yīng)達(dá)到最佳，進(jìn)而得到最佳的二維 SR圖像．分析中取計(jì)算步長 h = 1 /fsr=0.1，標(biāo)準(zhǔn)lena灰度圖中添加均值為0、方差為0.4的高斯白噪聲．

圖6為相似系數(shù)C隨參數(shù)a和b的變化規(guī)律．相似系數(shù)越大，二維 SR圖像與標(biāo)準(zhǔn)參考圖像的逼真度就越大，二維雙穩(wěn)SR的圖像處理效果就越好．

圖6 h＝0.1時(shí)相關(guān)系數(shù)C隨參數(shù)a和b的變化規(guī)律Fig.6 Law of similarity correlation changing with regards to difference of a and b with h＝0.1

在圖6中，當(dāng)相似系數(shù)取得可行值(能夠使二維SR取得較好效果的相似系數(shù)值)時(shí)，在a、b參數(shù)平面投影的區(qū)域可以確定 a、b取值范圍，這個(gè)區(qū)域大致是直線L在a、b參數(shù)平面投影與a、b參數(shù)軸所圍成的平面．在這個(gè)區(qū)域內(nèi)取值，二維圖像的 SR都可以得到較好的效果．例如當(dāng)任意取 a＝7，b＝1，相似系數(shù)C＝0.926 5時(shí)，圖像的二維SR結(jié)果如圖7所示．

圖7 相似系數(shù)C＝0.926 5時(shí)的SR 圖像Fig.7 SR image with similarity coefficient C＝0.926 5

圖8 為偏離系數(shù)E隨參數(shù)a和b的變化規(guī)律．偏離系數(shù)越小，二維 SR圖像與標(biāo)準(zhǔn)參考圖像的偏離程度就越小，二維雙穩(wěn)SR的圖像處理效果就越好．

在圖8中，當(dāng)偏離系數(shù)取得可行值(能夠使二維SR取得較好效果的偏離系數(shù)值)時(shí)，在a、b參數(shù)平面投影的區(qū)域可以確定 a、b取值范圍，這個(gè)區(qū)域大致是直線L在a、b參數(shù)平面投影與a、b參數(shù)軸所圍成的平面．在這個(gè)區(qū)域內(nèi)取值，二維 SR可以得到較好的圖像處理效果．例如當(dāng)任意取 a＝4，b＝100，偏離系數(shù)E＝0.223 5時(shí)，圖像的二維SR結(jié)果如圖9所示．

由圖6和圖8可以看出，在相同的SR計(jì)算步長下，對于含有相同噪聲強(qiáng)度的圖像，相似系數(shù)和偏離系數(shù)這兩種圖像評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)對圖像的評(píng)價(jià)具有相同的效用，圖 6中相似系數(shù) C取得較大值的可行區(qū)域與圖8中偏離系數(shù)E取得較小值的可行區(qū)域幾乎是相對應(yīng)的，都在直線 L的左方區(qū)域．在它們相對應(yīng)的區(qū)域內(nèi)取值，二維SR的圖像都能取得較好的效果，如圖7和圖9所示．因此，對于含噪圖像可以通過調(diào)節(jié)雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)a和b得到最佳的二維SR響應(yīng)圖像．

圖8 h＝0.1時(shí)偏離系數(shù)E隨參數(shù)a和b的變化規(guī)律Fig.8 Law of deviation correlation changing with regards to difference of a and b with h＝0.1

圖9 偏離系數(shù)E＝0.223 5時(shí)的SR圖像Fig.9 SR image with departure coefficient E＝0.223 5

3.2 SR步長對二維SR圖像的影響

根據(jù)變尺度 SR方法，可以對計(jì)算步長進(jìn)行縮放，選擇合適的步長，以達(dá)到圖像 SR的最優(yōu)輸出質(zhì)量．任意選擇步長 h分別為 0.05、0.1和 0.2，即壓縮采樣頻率 fsr分別為 20、10和 5，觀察不同步長 h條件下相似系數(shù)C和偏離系數(shù)E隨系統(tǒng)參數(shù)a、b的變化規(guī)律．由于相似系數(shù) C和偏離系數(shù) E具有相似的變化規(guī)律，在這里只給出不同步長下相似系數(shù) C隨a、b的變化規(guī)律，且圖像添加均值為0、方差為0.4的高斯白噪聲．

圖10和圖11分別是h＝0.05和h＝0.2時(shí)相似系數(shù)C隨a、b的變化規(guī)律．由圖10、圖7和圖11比較可知，隨著步長h的增加，相似系數(shù) C取得可行值的范圍變小，并且逼真度也隨著步長的增加而降低．這表明，選擇較小的步長，可以使參數(shù) a、b有更大的選擇范圍，二維SR圖像的輸出質(zhì)量可以提高．

圖10 h＝0.05時(shí)相關(guān)系數(shù)C隨參數(shù)a和b的變化規(guī)律Fig.10 Law of similarity correlation changing with regards to difference of a and b with h＝0.05

圖11 h＝0.2時(shí)相關(guān)系數(shù)C隨參數(shù)a和b的變化規(guī)律Fig.11 Law of similarity correlation changing with regards to difference of a and b with h＝0.2

4 結(jié) 語

由雙穩(wěn)系統(tǒng)特性出發(fā)，提出了含噪圖像的二維SR處理方法，該方法可有效降低圖像中的噪聲量，提高圖像質(zhì)量．為評(píng)價(jià)二維 SR圖像的處理效果，采用相似系數(shù)和偏離系數(shù)指標(biāo)來對圖像質(zhì)量進(jìn)行客觀評(píng)價(jià)，得出了雙穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)a和b以及變尺度SR步長h對二維SR圖像的影響規(guī)律，從而確定了系統(tǒng)參數(shù)a、b和步長h的選擇方式，為實(shí)現(xiàn)參數(shù)的最優(yōu)化與自適應(yīng)參數(shù)調(diào)節(jié)的 SR圖像處理奠定了可行的研究基礎(chǔ)．

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