唐進(jìn)元，聶金安，王智泉

(中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，現(xiàn)代復(fù)雜裝備設(shè)計(jì)與極端制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

機(jī)械式螺旋錐齒輪加工機(jī)床結(jié)構(gòu)復(fù)雜，調(diào)整參數(shù)繁冗，傳動(dòng)鏈為機(jī)械傳動(dòng)，精度等級(jí)低。五軸聯(lián)動(dòng)型機(jī)床與機(jī)械型機(jī)床相比，機(jī)床體積減小，加工精度提高，可操作性增強(qiáng)。五軸聯(lián)動(dòng)型機(jī)床采用五軸聯(lián)動(dòng)來擬合機(jī)械型的搖臺(tái)運(yùn)動(dòng)和刀傾刀轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)變化，實(shí)現(xiàn)了全數(shù)控控制[1]，將復(fù)雜的加工運(yùn)動(dòng)通過數(shù)控軸的聯(lián)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)，提高了控制精度與加工精度。目前，有許多學(xué)者對(duì)2類螺旋錐齒輪加工機(jī)床的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換關(guān)系進(jìn)行了研究。Goldrich[2]提出了機(jī)械式機(jī)床與五軸聯(lián)動(dòng)型機(jī)床的等效轉(zhuǎn)換思想，由于考慮到商業(yè)秘密沒有給出任何轉(zhuǎn)換公式和計(jì)算方法；Litvin等[3]隨后提出耦合2種機(jī)床坐標(biāo)系使2種機(jī)床運(yùn)動(dòng)關(guān)系完全等效的原理，但沒有給出各軸運(yùn)動(dòng)方程的求解算法；張艷紅等[4]在齒面參考點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，通過高階科氏加速度方法研究了機(jī)械型向五軸聯(lián)動(dòng)型機(jī)床的模型轉(zhuǎn)換問題；魏冰陽等[5]在 litvin基礎(chǔ)上推導(dǎo)了機(jī)械型向五軸聯(lián)動(dòng)型機(jī)床的顯式轉(zhuǎn)換公式，但此法僅對(duì)無刀傾刀轉(zhuǎn)的直接展成法有效，基于刀傾法的機(jī)械型向五軸聯(lián)動(dòng)型機(jī)床的轉(zhuǎn)換比展成法要困難得多；張威等[6]繼承文獻(xiàn)[4]的思想與方法，用矢量旋轉(zhuǎn)方法，通過矩陣導(dǎo)數(shù)理論對(duì)麥克勞林級(jí)數(shù)中的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似求解替代，近似得到刀傾法加工時(shí)各軸的運(yùn)動(dòng)方程。這種方法由于需要對(duì)轉(zhuǎn)換方程中的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似求解，理論上存在原理性誤差，轉(zhuǎn)換的精度受到影響。本文作者以Litvin方法為出發(fā)點(diǎn)，基于運(yùn)動(dòng)等效與位置等效原理，建立從機(jī)械型到五軸聯(lián)動(dòng)型機(jī)床的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型，得到一組五軸聯(lián)動(dòng)型機(jī)床各軸的非線性運(yùn)動(dòng)方程；通過麥克勞林級(jí)數(shù)擬合機(jī)床各軸的非線性運(yùn)動(dòng)方程，在擬合過程中直接求取麥克勞林級(jí)數(shù)中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，最終得到各軸運(yùn)動(dòng)方程的多項(xiàng)式形式，轉(zhuǎn)換精度可以根據(jù)多項(xiàng)式階次控制。

1 2類機(jī)床加工調(diào)整參數(shù)的轉(zhuǎn)換原理

在切齒過程中，假想有1個(gè)平頂齒輪與機(jī)床搖臺(tái)同心，它通過機(jī)床搖臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)而與被切齒輪進(jìn)行無隙嚙合。該假想平頂齒輪的輪齒表面由銑刀盤刀片切削刃相對(duì)于搖臺(tái)運(yùn)動(dòng)的軌跡表面所代替，在相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中，代表假想平頂齒輪輪齒的刀片切削刃就在被切齒輪的輪坯上逐漸切出齒形[7]。

一種相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系是不依賴于所建立的旨在描述這種運(yùn)動(dòng)的參考系而存在的[8]。以相同加工原理進(jìn)行的各類數(shù)控機(jī)床的螺旋錐齒輪加工運(yùn)動(dòng)是為了實(shí)現(xiàn)該相對(duì)運(yùn)動(dòng)，使刀具與輪坯以符合加工原理的運(yùn)動(dòng)規(guī)律來完成相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

2類機(jī)床的轉(zhuǎn)換原理(即保證刀具和輪坯在任意時(shí)刻的相對(duì)位姿恒定)[9]如圖1所示。本文中保證刀盤軸線和輪坯軸線在任意時(shí)刻的夾角和固定點(diǎn)之間的長(zhǎng)度矢量相等。

式中：Lpt為標(biāo)架St到Sp的旋轉(zhuǎn)變換矩陣；(opot)p為輪坯軸交錯(cuò)點(diǎn)到刀盤中心在輪坯坐標(biāo)系下的矢量長(zhǎng)度；上標(biāo)C和G分別代表五軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床加工過程和機(jī)械型加工小輪的展成過程，下標(biāo)p和t代表坐標(biāo)系。式(1)保證了2種刀具相對(duì)于工件運(yùn)動(dòng)姿態(tài)相同，式(2)保證了兩者的相對(duì)位置相同。

圖1 2種類型機(jī)床的轉(zhuǎn)換原理Fig.1 Transform theory between two machines

2 機(jī)械式機(jī)床的數(shù)學(xué)模型

傳統(tǒng)搖臺(tái)機(jī)床結(jié)構(gòu)如圖2所示，其調(diào)整參數(shù)十分復(fù)雜。加工坐標(biāo)系如圖3所示[10]，其中：So(xo，yo，zo)為與床身固連的坐標(biāo)系；Sc(xc，yc，zc)為與搖臺(tái)固連的坐標(biāo)系，且原點(diǎn)為搖臺(tái)中心；Sp(xb，yb，zb)為與刀盤固連的坐標(biāo)系；Sp(xp，yp，zp)為與工件固連的坐標(biāo)系；Se(xe，ye，ze)為與工件箱固連的坐標(biāo)系；Sn(xn，yn，zn)為與床鞍固連的坐標(biāo)系，其原點(diǎn)On在So中用坐標(biāo)(0，-Em，Xb)來表示；Sq(xq，yq，zq)是過渡坐標(biāo)系，各個(gè)坐標(biāo)軸與Sn平行，其原點(diǎn)Oq在Sn中用坐標(biāo)(X1，0，0)來表示；Sc繞zc有1個(gè)轉(zhuǎn)角q；Sp繞xp有1個(gè)轉(zhuǎn)角φp；Se繞ye有1個(gè)轉(zhuǎn)角rm；q為角向刀位；i為總刀傾角；j為基本刀轉(zhuǎn)角；Em為垂直輪位；Sd為徑向刀位；rm為安裝根錐角；X1為水平輪位；Xb為床位；C為刀盤中心(刀盤旋轉(zhuǎn)軸與刃平面的交點(diǎn))。機(jī)床調(diào)整參數(shù)為螺旋錐齒輪加工的基本參數(shù)，本文以最復(fù)雜的刀傾法加工小輪為例，具體數(shù)值見表1。

圖2 傳統(tǒng)機(jī)械式搖臺(tái)型機(jī)床及運(yùn)動(dòng)部件Fig.2 Conventional machines consisted of many components

圖3 機(jī)械式搖臺(tái)機(jī)床加工坐標(biāo)系Fig.3 Coordinate systems for mechanical machine

由傳統(tǒng)搖臺(tái)式機(jī)床加工調(diào)整參數(shù)的計(jì)算，可以建立如下各矢量的表達(dá)式：

式中：tn為刀盤旋轉(zhuǎn)軸單位矢量，過刀盤中心C并指向刀盤外部；w為工件旋轉(zhuǎn)軸單位矢量，指向遠(yuǎn)離錐頂方向。

由Descartes坐標(biāo)變換，可得到刀盤坐標(biāo)系到輪坯坐標(biāo)系的變換矩陣，即可得到 (o )和L(ζ)。 t k其中：ζk代表傳統(tǒng)機(jī)床各調(diào)整參數(shù)，具體數(shù)值見表1。

3 五軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床的數(shù)學(xué)模型

五軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床用6坐標(biāo)軸實(shí)現(xiàn)了齒輪加工的全部運(yùn)動(dòng)，機(jī)床結(jié)構(gòu)如圖4(a)所示即3個(gè)平動(dòng)軸(X，Y，Z)和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸(A，B，C)，提供 6個(gè)自由度，可靈活地控制工件與刀具在空間中的位置和運(yùn)動(dòng)。

首先建立如圖 4(b)所示的一組坐標(biāo)系[11]。Sf(Xf，Yf，Zf) 與床身Ⅴ固聯(lián)；St(xt，yt，zt)和 Sp(xt，yt，zt)分別與刀盤、工件固聯(lián)；Sh和 Sm與 Sf平行，分別與 Y方向滑臺(tái)Ⅰ和Z方向滑臺(tái)Ⅲ固聯(lián)；Sh原點(diǎn)oh在Sf中的位置，用坐標(biāo)(x，y，0)表示，描述X和Y自由度；Sm原點(diǎn) om在 Sf中的位置用坐標(biāo)(0，0，z)表示，描述 Z自由度；St繞坐標(biāo)軸zh轉(zhuǎn)動(dòng)(即C旋轉(zhuǎn)自由度)轉(zhuǎn)角c；Se與轉(zhuǎn)臺(tái)Ⅳ固聯(lián)，繞 ym軸有一轉(zhuǎn)角 b(即 B旋轉(zhuǎn)自由度)；Sd為過渡坐標(biāo)系與Se坐標(biāo)軸平行，原點(diǎn) od位置由 L(對(duì)應(yīng)機(jī)械式搖臺(tái)機(jī)床中的水平輪位)確定；Sp繞xd軸做旋轉(zhuǎn)(即A旋轉(zhuǎn)自由度)，轉(zhuǎn)角為a。通過坐標(biāo)變換即可得到 (o )和L(a,b,c)。

PHOENIX I型五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床各部件的運(yùn)動(dòng)

圖4 PHOENIX I型五軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床加工坐標(biāo)系Fig.4 Coordinate systems for PHOENIX I Machine

轉(zhuǎn)換矩陣如下：

則PHOENIX I型機(jī)床坐標(biāo)系下刀盤到輪坯坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣如下：

由于刀具到輪坯坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣可以表示為：

則有角度旋轉(zhuǎn)變化矩陣和長(zhǎng)度矢量為：

4 不同加工方法的五軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床運(yùn)動(dòng)參數(shù)的求解

由式(1)知式(4)和(8)對(duì)應(yīng)各矩陣元素相等，由式(2)知式(5)和(9)對(duì)應(yīng)各矩陣元素相等，可求出都是關(guān)于t的函數(shù)。

(1)當(dāng)無刀傾刀轉(zhuǎn)即i=0，j=0時(shí)，得Phoenix I的運(yùn)動(dòng)參數(shù)如下：

(2) 當(dāng)用變性法加工時(shí)，僅改變 2個(gè)量之間的比例關(guān)系，通過修正滾比，使螺旋錐齒輪的傳動(dòng)誤差滿足預(yù)先設(shè)計(jì)的高階幾何傳動(dòng)誤差曲線。此種情況下，僅改變?chǔ)誴與t之間的比例關(guān)系，將φp代入式(10)即可。

(3) 當(dāng)具有刀傾刀轉(zhuǎn)角加工螺旋錐齒輪時(shí)，通過耦合2種機(jī)床坐標(biāo)系求得各軸運(yùn)動(dòng)方程的解析解，如式(11)所示。

通過一組麥克勞林級(jí)數(shù)簡(jiǎn)化上述表達(dá)式，如式(12)，可以求得近似的多項(xiàng)式表達(dá)形式，級(jí)數(shù)階次 n的選取根據(jù)所需精度確定。t=0時(shí)刻表示刀盤位于初始搖臺(tái)角位置。

5 實(shí)例分析

螺旋錐齒輪數(shù)學(xué)模型是根據(jù)嚙合理論和相對(duì)應(yīng)的加工方法而建立的。從建立數(shù)學(xué)模型的角度來考慮，對(duì)于小輪采用刀傾法加工建立的齒面數(shù)學(xué)模型，可以作為大輪和小輪的通用數(shù)學(xué)模型，其他加工方法的數(shù)學(xué)模型可以看作是其特例，如將刀傾法建立的錐齒輪數(shù)學(xué)模型中刀傾斜角和刀轉(zhuǎn)角設(shè)置為0°，可看作是展成法加工大輪的數(shù)學(xué)模型；將小輪對(duì)大輪的偏置距設(shè)為 0 mm，則準(zhǔn)雙曲面齒輪實(shí)際上就變成了弧齒錐齒輪；若大輪在這個(gè)數(shù)學(xué)模型中滾比為 0，就成了大輪成形法加工。

下面以某準(zhǔn)雙曲面齒輪副的小輪為例，用本文方法將刀傾法調(diào)整參數(shù)轉(zhuǎn)換為五軸聯(lián)動(dòng)型機(jī)床五軸運(yùn)動(dòng)方程。齒輪副的刀傾法調(diào)整參數(shù)見表 1，轉(zhuǎn)換后五軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床主軸方程見表2，轉(zhuǎn)換精度取10-3。

表1 輪坯設(shè)計(jì)與機(jī)床調(diào)整參數(shù)(HFT調(diào)整卡)Table 1 Parameters and installment settings of pinion (HFT)

表2 鳳凰I型數(shù)控機(jī)床加工小輪各主軸控制方程Table 2 Motions of Gleason PHOENIX I machine axes

用 θ代表刀具與工件軸矢量相對(duì)姿態(tài)(夾角)，則在傳統(tǒng)坐標(biāo)系中，θ由式(3)中刀具軸與工件軸的點(diǎn)積求出，在鳳凰一代機(jī)床中由B軸表達(dá)式求出。夾角θ在機(jī)械型機(jī)床坐標(biāo)系和鳳凰一代機(jī)床坐標(biāo)系中的余弦變化曲線及其差值如圖5所示。

由圖5可以看出：θ在這2種機(jī)床坐標(biāo)系下，其余弦曲線基本重合。在螺旋錐齒輪的1個(gè)加工周期內(nèi)，余弦曲線的差值在 10-3以內(nèi)(此時(shí)麥克勞林級(jí)數(shù)的階次n=5)，遠(yuǎn)小于機(jī)床本身的運(yùn)動(dòng)誤差。

長(zhǎng)度矢量(opot)p在1個(gè)加工周期中在2種機(jī)床坐標(biāo)系下的矢量差值見圖6。由圖6可知：其數(shù)量級(jí)在10-8mm以內(nèi)，轉(zhuǎn)換精度高。

通過 θ余弦曲線和不同機(jī)床坐標(biāo)系中長(zhǎng)度矢量(opot)p差值可知：簡(jiǎn)化后的近似模型完全滿足螺旋錐齒輪的高精度加工。下面以GLEASON公司軟件計(jì)算結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)轉(zhuǎn)換精度進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證。

利用求解得到的鳳凰I型數(shù)控機(jī)床的各主軸控制方程，根據(jù)本文提出的齒輪虛擬制造方法[12]，在虛擬制造系統(tǒng)中可以加工出1個(gè)仿真的小齒輪(見圖7)。通過GLEASON公司軟件計(jì)算出本套調(diào)整卡加工齒輪的理論齒面，按照格里森測(cè)量全齒面誤差方法[13]，選取如圖7所示的45個(gè)點(diǎn)，并建立近似模型與理論齒面的差曲面[14]，如圖8所示。從圖8可見：當(dāng)n=5時(shí)，本文的近似模型與理論齒面在齒面法矢方向的偏差在±1.5×10-4mm以內(nèi)。在實(shí)際加工中，齒面的最大法向誤差在10 μm左右，本文的轉(zhuǎn)換模型對(duì)螺旋錐齒輪的齒面修正所帶來的誤差可以忽略，因此，在螺旋錐齒輪的實(shí)際加工和齒面修正中，本文提出的轉(zhuǎn)換模型是有效的。

圖5 不同機(jī)床坐標(biāo)系中θ角余弦曲線Fig.5 Transformation error of angle between two machines

圖6 不同機(jī)床坐標(biāo)系中長(zhǎng)度矢量(opot)p差值Fig.6 Transformation error of vetor between two machines

圖7 虛擬制造小輪與理論點(diǎn)的比較Fig.7 Flank topographic deviations derived by comparing theoretical teeth-surface and virus manufacturing pinion

圖8 全齒面法向誤差分析Fig.8 Flank form errors analysis

6 結(jié)論

(1) 通過麥克勞林級(jí)數(shù)擬合機(jī)床各軸的非線性運(yùn)動(dòng)方程，在擬合過程中直接求取麥克勞林級(jí)數(shù)中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，最終得到各軸運(yùn)動(dòng)方程的多項(xiàng)式形式。轉(zhuǎn)換精度可以根據(jù)多項(xiàng)式階次控制。所提出的方法避免了現(xiàn)有方法存在的原理性誤差。

(2) 給出從機(jī)械式搖臺(tái)機(jī)床求解到五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床的五軸聯(lián)動(dòng)控制模型生成方法。該方法具有精度高、可操作性強(qiáng)的特點(diǎn)。通過實(shí)例計(jì)算分析，驗(yàn)證了所給出方法的可行性與正確性，為螺旋錐齒輪數(shù)字化制造提供了基礎(chǔ)技術(shù)。

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