劉 慧 ，彭良玉 ，劉美華

(1.湖南師范大學(xué) 物理與信息科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410081；2.湖南工程學(xué)院，湖南 湘潭 411104)

噪聲可以理解為“妨礙人們感覺(jué)器官對(duì)所接收的信源信息進(jìn)行理解的因素”?，F(xiàn)實(shí)中，數(shù)字圖像在數(shù)字化和傳輸過(guò)程中常受到成像設(shè)備與外部環(huán)境噪聲干擾等影響，成為含噪圖像[1-2]。常用的去噪方法有均值濾波、中值濾波、維納濾波和小波變換等。大多數(shù)方法從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)都是低通濾波的方法，而圖像細(xì)節(jié)包含在高頻信號(hào)中，因此，在去噪的同時(shí)很容易將圖像細(xì)節(jié)部分也去掉。小波變換能同時(shí)給出信號(hào)的時(shí)域和頻域信息，其多分辨率特性使其能比傳統(tǒng)算法很好地在去噪的同時(shí)保護(hù)圖像邊緣信息?；谛〔ㄗ儞Q的去噪方法利用小波變換中的變尺度特性，對(duì)確定信號(hào)具有一種“集中”能力[1]。小波能夠去噪是因?yàn)樗哂幸韵绿攸c(diǎn)：(1)低熵性，小波系數(shù)的稀疏分布能降低圖像處理后的熵；(2)多分辨特性，能夠精確描述信號(hào)的非平穩(wěn)性，可以在不同分辨率下根據(jù)信號(hào)和噪聲的分布情況來(lái)去噪；(3)去相關(guān)性，可對(duì)信號(hào)去相關(guān)，噪聲在變換后有白化趨勢(shì)；(4)基函數(shù)選擇很靈活，可以針對(duì)不同的信號(hào)特點(diǎn)和降噪要求或者不同場(chǎng)合，靈活選擇小波基函數(shù)[2-4]。小波變換后，對(duì)應(yīng)圖像特征奇異點(diǎn)處的系數(shù)幅度較大，且相鄰尺度層間有很強(qiáng)的相關(guān)性，便于提取和保護(hù)特征。一般認(rèn)為，經(jīng)小波變換后，信號(hào)的小波系數(shù)幅值較大，而噪聲的系數(shù)較小。只要設(shè)置一個(gè)適當(dāng)?shù)拈撝担Ａ舴递^大的小波系數(shù)，將小于該閾值的系數(shù)置零或者進(jìn)行相應(yīng)的收縮處理，最后用處理過(guò)后的小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)就能得到去噪后的圖像[5]。

1 小波閾值去噪

1.1 數(shù)學(xué)模型

設(shè)原始信號(hào)為 fi，j，含噪圖像為 gi，j，則 受干擾的圖 像模型為[5-7]：

其中，i，j=1，2， …，N，N 為 2 的整數(shù)次冪，εi，j是噪聲分量，獨(dú)立同分布于 N(0，σ2)，且與 fi，j獨(dú)立。圖像去噪的目的 就 是 從 含 噪 圖 像 gi，j中得 到原 圖像數(shù) 據(jù)fi，j的 估 計(jì) f′i，j，使其均方根誤差(MSE)最小。對(duì)式(1)進(jìn)行離散小波變換(DWT)，又因小波變換是一種線性變化，因此得到：

1.2 閾值化方法

小波閾值化最常用的兩種方法[8]為硬閾值化和軟閾值化。

(1)硬閾值化用公式表示為：

其中，δ為閾值，Wδ為小波系數(shù)。

絕對(duì)值小于δ的小波系數(shù)置零，絕對(duì)值大于δ的小波系數(shù)保持不變。硬閾值函數(shù)如圖1所示。

圖1 硬閾值函數(shù)

(2)軟閾值化用公式表示為：

絕對(duì)值小于的δ小波系數(shù)置零，絕對(duì)值大于δ的小波系數(shù)絕對(duì)值都減小固定的δ。軟閾值函數(shù)如圖2所示。

圖2 軟閾值函數(shù)

小波變換去噪通常采用全局閾值法，即對(duì)小波分解后的所有高頻系數(shù)采用同一個(gè)閾值去噪。事實(shí)上，小波分解后得到的不同尺度、不同方向的噪聲系數(shù)是有很大差異的，如果單純地把全局閾值調(diào)高，雖然可以去掉絕大部分噪聲，但是某個(gè)尺度、某個(gè)方向的高頻圖像信息也會(huì)全部丟失；如果調(diào)低全局閾值，又會(huì)把高于閾值的噪聲系數(shù)當(dāng)成有用信息保留下來(lái)，造成去噪效果不理想。綜合來(lái)說(shuō)，全局閾值去噪效果相對(duì)較差，因此對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，針對(duì)不同尺度、不同方向的小波系數(shù)使用不同閾值處理，方法步驟如下[9]：

(1)選擇一個(gè)合適的小波和分解層數(shù)對(duì)加噪圖像進(jìn)行小波分解；

(2)計(jì)算每一層每個(gè)方向(水平、垂直、對(duì)角)的小波系數(shù)的閾值δ；

(3)利用軟閾值法對(duì)各小波系數(shù)進(jìn)行閾值化，得到新的小波系數(shù) Wδ；

(4)計(jì)算小波逆變換，完成重構(gòu)得到去噪后的圖像。

2 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證該方法優(yōu)于全局硬閾值及軟閾值去噪法，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，采用 512×512的 lena和 liftingbody圖，編譯環(huán)境為Matlab7.0。在lena和liftingbody圖中分別加入噪聲水平為15、20、25的高斯白噪聲，選用的小波基為Daubechies3，分解尺度為2。噪聲水平在15時(shí)的lena和25時(shí)的liftingbody仿真圖如圖3和圖4所示。

從仿真圖可以看出，多尺度多方向閾值法去噪后的圖像紋理要比全局閾值去噪法清晰，說(shuō)明多尺度多方向閾值去噪法在去噪的同時(shí)能夠比全局閾值法更好地保護(hù)圖像邊緣紋理。

為了驗(yàn)證該方法的去噪效果優(yōu)于全局軟、硬閾值，用去噪后圖像的峰值信噪比(PSNR)及均方根誤差(MSE)來(lái)評(píng)判[10]。

表1、表2給出了對(duì)lena圖分別進(jìn)行全局閾值去噪和多尺度多方向去噪的MSE和PSNR。

表1 全局閾值去噪和本文方法去噪結(jié)果(MSE)

表2 全局閾值去噪和本文方法去噪結(jié)果(PSNR)

從表1和表2可以看出，不管是用硬閾值還是軟閾值函數(shù)去噪，此方法都能比全局閾值去噪得到更小的均方根誤差和更大的峰值信噪比。

本文在常規(guī)的小波閾值去噪方法的基礎(chǔ)上，將運(yùn)用于全局的統(tǒng)一閾值換成適合不同尺度、不同方向的不同閾值。從仿真結(jié)果可以看出，本文方法不僅改善了圖像質(zhì)量 (提高了峰值信噪比PSNR且有最小均方誤差MSE)，而且也使圖像更加清晰，并適合人眼的視覺(jué)特性，充分說(shuō)明了該法的有效性。

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