劉 慧 ，彭良玉 ，劉美華

(1.湖南師范大學(xué) 物理與信息科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410081；2.湖南工程學(xué)院，湖南 湘潭 411104)

噪聲可以理解為“妨礙人們感覺器官對所接收的信源信息進(jìn)行理解的因素”。現(xiàn)實中，數(shù)字圖像在數(shù)字化和傳輸過程中常受到成像設(shè)備與外部環(huán)境噪聲干擾等影響，成為含噪圖像[1-2]。常用的去噪方法有均值濾波、中值濾波、維納濾波和小波變換等。大多數(shù)方法從本質(zhì)上來說都是低通濾波的方法，而圖像細(xì)節(jié)包含在高頻信號中，因此，在去噪的同時很容易將圖像細(xì)節(jié)部分也去掉。小波變換能同時給出信號的時域和頻域信息，其多分辨率特性使其能比傳統(tǒng)算法很好地在去噪的同時保護(hù)圖像邊緣信息?；谛〔ㄗ儞Q的去噪方法利用小波變換中的變尺度特性，對確定信號具有一種“集中”能力[1]。小波能夠去噪是因為它具有以下特點：(1)低熵性，小波系數(shù)的稀疏分布能降低圖像處理后的熵；(2)多分辨特性，能夠精確描述信號的非平穩(wěn)性，可以在不同分辨率下根據(jù)信號和噪聲的分布情況來去噪；(3)去相關(guān)性，可對信號去相關(guān)，噪聲在變換后有白化趨勢；(4)基函數(shù)選擇很靈活，可以針對不同的信號特點和降噪要求或者不同場合，靈活選擇小波基函數(shù)[2-4]。小波變換后，對應(yīng)圖像特征奇異點處的系數(shù)幅度較大，且相鄰尺度層間有很強(qiáng)的相關(guān)性，便于提取和保護(hù)特征。一般認(rèn)為，經(jīng)小波變換后，信號的小波系數(shù)幅值較大，而噪聲的系數(shù)較小。只要設(shè)置一個適當(dāng)?shù)拈撝?，保留幅值較大的小波系數(shù)，將小于該閾值的系數(shù)置零或者進(jìn)行相應(yīng)的收縮處理，最后用處理過后的小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)就能得到去噪后的圖像[5]。

1 小波閾值去噪

1.1 數(shù)學(xué)模型

設(shè)原始信號為 fi，j，含噪圖像為 gi，j，則 受干擾的圖 像模型為[5-7]：

其中，i，j=1，2， …，N，N 為 2 的整數(shù)次冪，εi，j是噪聲分量，獨立同分布于 N(0，σ2)，且與 fi，j獨立。圖像去噪的目的 就 是 從 含 噪 圖 像 gi，j中得 到原 圖像數(shù) 據(jù)fi，j的 估 計 f′i，j，使其均方根誤差(MSE)最小。對式(1)進(jìn)行離散小波變換(DWT)，又因小波變換是一種線性變化，因此得到：

1.2 閾值化方法

小波閾值化最常用的兩種方法[8]為硬閾值化和軟閾值化。

(1)硬閾值化用公式表示為：

其中，δ為閾值，Wδ為小波系數(shù)。

絕對值小于δ的小波系數(shù)置零，絕對值大于δ的小波系數(shù)保持不變。硬閾值函數(shù)如圖1所示。

圖1 硬閾值函數(shù)

(2)軟閾值化用公式表示為：

絕對值小于的δ小波系數(shù)置零，絕對值大于δ的小波系數(shù)絕對值都減小固定的δ。軟閾值函數(shù)如圖2所示。

圖2 軟閾值函數(shù)

小波變換去噪通常采用全局閾值法，即對小波分解后的所有高頻系數(shù)采用同一個閾值去噪。事實上，小波分解后得到的不同尺度、不同方向的噪聲系數(shù)是有很大差異的，如果單純地把全局閾值調(diào)高，雖然可以去掉絕大部分噪聲，但是某個尺度、某個方向的高頻圖像信息也會全部丟失；如果調(diào)低全局閾值，又會把高于閾值的噪聲系數(shù)當(dāng)成有用信息保留下來，造成去噪效果不理想。綜合來說，全局閾值去噪效果相對較差，因此對其進(jìn)行改進(jìn)，針對不同尺度、不同方向的小波系數(shù)使用不同閾值處理，方法步驟如下[9]：

(1)選擇一個合適的小波和分解層數(shù)對加噪圖像進(jìn)行小波分解；

(2)計算每一層每個方向(水平、垂直、對角)的小波系數(shù)的閾值δ；

(3)利用軟閾值法對各小波系數(shù)進(jìn)行閾值化，得到新的小波系數(shù) Wδ；

(4)計算小波逆變換，完成重構(gòu)得到去噪后的圖像。

2 仿真驗證

為了驗證該方法優(yōu)于全局硬閾值及軟閾值去噪法，進(jìn)行仿真實驗，采用 512×512的 lena和 liftingbody圖，編譯環(huán)境為Matlab7.0。在lena和liftingbody圖中分別加入噪聲水平為15、20、25的高斯白噪聲，選用的小波基為Daubechies3，分解尺度為2。噪聲水平在15時的lena和25時的liftingbody仿真圖如圖3和圖4所示。

從仿真圖可以看出，多尺度多方向閾值法去噪后的圖像紋理要比全局閾值去噪法清晰，說明多尺度多方向閾值去噪法在去噪的同時能夠比全局閾值法更好地保護(hù)圖像邊緣紋理。

為了驗證該方法的去噪效果優(yōu)于全局軟、硬閾值，用去噪后圖像的峰值信噪比(PSNR)及均方根誤差(MSE)來評判[10]。

表1、表2給出了對lena圖分別進(jìn)行全局閾值去噪和多尺度多方向去噪的MSE和PSNR。

表1 全局閾值去噪和本文方法去噪結(jié)果(MSE)

表2 全局閾值去噪和本文方法去噪結(jié)果(PSNR)

從表1和表2可以看出，不管是用硬閾值還是軟閾值函數(shù)去噪，此方法都能比全局閾值去噪得到更小的均方根誤差和更大的峰值信噪比。

本文在常規(guī)的小波閾值去噪方法的基礎(chǔ)上，將運用于全局的統(tǒng)一閾值換成適合不同尺度、不同方向的不同閾值。從仿真結(jié)果可以看出，本文方法不僅改善了圖像質(zhì)量 (提高了峰值信噪比PSNR且有最小均方誤差MSE)，而且也使圖像更加清晰，并適合人眼的視覺特性，充分說明了該法的有效性。

[1]岡薩雷斯.數(shù)字圖像處理(MATLAB版)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2009.

[2]李旭超，朱善安.小波域圖像降噪概述[J].中國圖象圖形學(xué)報，2006，11(9)：1201-1208.

[3]飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心.小波分析理論與MATLAB7實現(xiàn)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005.

[4]謝杰成，張大力，徐文立.小波圖象去噪綜述[J].中國圖象圖形學(xué)報，2002，7(3)，209-217.

[5]DONOHO D L.De-noising by soft-thresholding[J].IEEE Transactions on Information Theory，1995(41)： 613-627.

[6]DONOHO D L.JOHNSTONE I M. Ideal spatial adaptation by waveletshrinkage[J].Biometrika，1994，81(3)，425-455.

[7]田沛，李慶周，馬平，等.一種基于小波變換的圖像去噪新方法[J].中國圖象圖形學(xué)報，2008，13(3)：394-399.

[8]涂丹，沈建軍，沈振康.小波閾值技術(shù)在圖像降噪中的應(yīng)用研究[J].國防科技大學(xué)學(xué)報.1999，21(2)，42-45.

[9]KAUR L， GUPTA S， CHAUHAN R C.Image denoising using wavelet thresholding [J]. Indian Conference on Computer Vision， Graphics&Image Processing(ICVGIP)，2002.

[10]CHANG S G， Yu Bin， VETTERLI M.Adaptive wavelet thresholding for image denoising and compression[J].IEEE Transactions on Information Theory，2000，9(9)：1532-1546.