張 波

(江蘇省口岸中學(xué),江蘇泰州 225321)

圖1

原題.如圖 1,3個(gè)質(zhì)點(diǎn) a、b、c質(zhì)量分別為 m1、m2、M(M ?m1,M?m2).在 c的萬有引力作用下,a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng),軌道半徑之比 ra∶rb=1∶4,則它們的周期之比 Ta∶Tb=_______;從圖示位置開始,在b運(yùn)動(dòng)一周的過程中,a、b、c共線了________次.

各種資料上都給出了本題的答案及解析,原解析如下:

第2空的解析(1)是:當(dāng)b轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)周期,a轉(zhuǎn)動(dòng)8個(gè)周期,在第1個(gè)周期內(nèi),三者共線1次,最后一個(gè)周期共線1次,其他每個(gè)周期共線2次,共計(jì) 14次.解析(2)是:在 b運(yùn)動(dòng)1周的過程中,a運(yùn)動(dòng)8周,由于共線不單指在同一側(cè)還有異側(cè),所以在b轉(zhuǎn)動(dòng)1周的過程中 a、b、c共線了 14次.

答案:Ta∶Tb=1∶8,14 次.

筆者發(fā)現(xiàn)解析(1)有不當(dāng)之處,解析(2)的講解比較含糊,現(xiàn)用作圖法對(duì)本題進(jìn)行了探究.通過以上分析知道 a、b的周期之比為1:8,圖中只給出了 a、b的相對(duì)位置:a超前b一定角度.設(shè) a的周期為T,則b轉(zhuǎn)一周所用的時(shí)間為8 T,設(shè)初始時(shí) a超前b位置,如圖 1所示(說明:圖中坐標(biāo)軸和直虛線將 a、b、c所在的平面均勻分成 8等份).

在[0-T)時(shí)間里相遇的位置如圖2所示,從圖中看出相遇1次.

圖1

圖2

在[T-2T)時(shí)間里相遇的位置如圖 3、圖 4所示,從圖中看出相遇2次.

圖3

圖4

在[2T-3T)時(shí)間里相遇的位置如圖6、圖7所示,圖5是2T時(shí)刻兩球的位置.從圖中可以看出相遇2次.

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

在[3T-4T)時(shí)間里相遇的位置如圖9、圖10所示,圖8是3T時(shí)刻兩球的位置.從圖中可以看出相遇2次.

在[4T-5T)時(shí)間里相遇的位置如圖12所示,圖11是4 T時(shí)刻兩球的位置.從圖中可以看出相遇1次.

圖11

圖12

在[5T-6T)時(shí)間里相遇的位置如圖13、圖14所示,從圖中可以看出相遇2次.

圖13

圖14

在[6T-7T)時(shí)間里相遇的位置如圖16、圖17所示,圖15是6T時(shí)刻兩球的位置.從圖中可以看出相遇2次.

圖15

圖16

圖17

圖18

圖19

圖20

圖21

在[7T-8T)時(shí)間里相遇的位置如圖19、圖 20 所示,圖 18、圖21分別是6T和8T時(shí)刻兩球的位置,從圖中可以看出相遇2次.

從以上分析可以發(fā)現(xiàn),共線一次的情況并不一定發(fā)生在第一個(gè)周期和最后一個(gè)周期,而是發(fā)生在某一個(gè) T時(shí)刻兩者共線的前或后,如果說將共線的 T時(shí)刻算到前面的T時(shí)間里,則會(huì)在下一個(gè) T時(shí)間里共線1次,繼而推之,如將共線的 T時(shí)刻算到后面的T時(shí)間里,則會(huì)在前一個(gè) T時(shí)間里共線1次,所以對(duì)于第2空的解析(1)筆者認(rèn)為是值得商榷的.