秦曉峰，謝里陽(yáng)，何雪浤，錢文學(xué)，馬園園

(東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 110819)

0 引言

受均勻內(nèi)壓厚壁圓筒結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于工業(yè)管道、高壓氣瓶及槍管、炮管中。由于建造材料本身和加工制造過程的缺陷及使用中交變載荷或應(yīng)力腐蝕等各種因素的影響，使得這些結(jié)構(gòu)同一橫斷面上往往同時(shí)存在以徑向裂紋為主的多條裂紋。研究分析多裂紋下影響裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的因素和這些因素作用下應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化規(guī)律，對(duì)評(píng)價(jià)受均勻內(nèi)壓厚壁筒結(jié)構(gòu)的安全性尤為關(guān)鍵。

近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，有限元法在厚壁筒多裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算及研究中得到了大力推廣。Pook L P［1］利用有限元對(duì)裂紋形狀比小于0.16的厚壁筒徑向多裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行了研究;Perl M等［2］運(yùn)用有限單元法對(duì)受內(nèi)壓厚壁筒內(nèi)表面徑向多裂紋在不同裂紋長(zhǎng)度下的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行了計(jì)算;Kirkhope K J等［3］運(yùn)用有限元法計(jì)算了不同壁厚、裂紋數(shù)目及不同裂紋深度比下厚壁筒徑向多裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子;劉永仁等［4］利用有限單元法對(duì)化工容器、軍械槍炮管等厚壁圓筒存在多條裂紋情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行了研究，通過對(duì)裂紋數(shù)目 n=2，4，8，16，36 五種對(duì)稱內(nèi)緣裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算和分析，得到了多裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子與裂紋數(shù)的函數(shù)關(guān)系，結(jié)果表明，應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋數(shù)增多而減小。署恒木［5］運(yùn)用有限元法計(jì)算了含2條和3條徑向裂紋的厚壁筒裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子，分析了裂紋數(shù)目和夾角對(duì)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，并認(rèn)為當(dāng)雙徑向裂紋間夾角為180°時(shí)，裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子最大。

但是，上述研究主要針對(duì)不同數(shù)目裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算和部分影響因素對(duì)尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響進(jìn)行，并沒有對(duì)厚壁筒多裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響因素及隨不同因素的變化規(guī)律進(jìn)行系統(tǒng)的分析。王慶豐等［6－7］對(duì)平面結(jié)構(gòu)中任意分布多裂紋相互作用影響因素的研究認(rèn)為，非共線裂紋的裂紋面夾角、裂紋中心距離及裂紋長(zhǎng)度，共線裂紋的裂尖距離及裂紋長(zhǎng)度對(duì)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子有影響。在分析上述研究的基礎(chǔ)上，文中結(jié)合厚壁筒軸向表面單裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)式，提出了厚壁筒雙軸向表面裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子半解析表達(dá)式，并運(yùn)用有限元法對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子隨不同因素的變化規(guī)律進(jìn)行了研究，為工程實(shí)際中受內(nèi)壓含裂紋厚壁筒安全評(píng)價(jià)中影響因素的分析提供參考和指導(dǎo)。

1 受內(nèi)壓厚壁筒雙軸向表面裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子

《應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)》［8］中利用邊界配置法對(duì)含軸向表面單裂紋厚壁筒裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行了理論計(jì)算，并提出了包含形狀因子的應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)式:

式中 R1，R0——厚壁筒內(nèi)徑、外徑

P——厚壁筒內(nèi)表面施加的內(nèi)壓

a——裂紋長(zhǎng)

f［a/(R0－R1)，R0/R1］——形狀因子

文中結(jié)合式(1)及文獻(xiàn)［6－7］的研究結(jié)果，提出了厚壁筒雙軸向表面裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)式:

式中 θ——裂紋間夾角

f［θ，a/(R0－ R1)，R0/R1］——包含厚壁筒多裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子影響因素的形狀因子

a/(R0－R1)——裂紋深度比

R0/R1——壁厚比

2 含雙軸向表面裂紋厚壁筒有限元模型

2.1 模型的簡(jiǎn)化及材料性能

以含雙軸向表面裂紋受內(nèi)壓普通碳鋼厚壁筒為研究對(duì)象，根據(jù)厚壁筒受力狀態(tài)及現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)軸向表面單裂紋的分析結(jié)果，將含雙軸向表面裂紋的受內(nèi)壓厚壁筒簡(jiǎn)化為含雙裂紋的二維圓環(huán)模型，如圖1所示。

圖1 受內(nèi)壓厚壁筒二維幾何模型

含雙軸向表面裂紋厚壁筒有限元模型的計(jì)算參數(shù)如表1所示。建立了內(nèi)徑確定，不同壁厚比、裂紋夾角及裂紋深度比等情況下厚壁筒的線彈性有限元模型來(lái)計(jì)算裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子值，分析應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響因素及變化規(guī)律。

2.2 有限元模型及邊界條件

圖2(a)示出根據(jù)圖1中簡(jiǎn)化幾何模型建立的含雙軸向表面裂紋厚壁筒線彈性有限元模型，厚壁筒內(nèi)壁及裂紋面施加均勻分布內(nèi)壓P=1 MPa。圖2(b)示出裂紋區(qū)域的局部放大圖，B為裂紋尖端，BA，BA'為裂紋面，裂紋面由兩條在裂紋尖端點(diǎn)重合的線進(jìn)行模擬。為了捕捉裂紋尖端的應(yīng)力奇異性，圍繞尖端圓周每隔30°設(shè)置一個(gè)退化的奇異等參單元，奇異單元的長(zhǎng)度為裂紋長(zhǎng)度的1/20，整周共設(shè)置12個(gè)單元，圖2(c)示出奇異單元的幾何模型，其積分點(diǎn)(M，O)由單元邊中節(jié)點(diǎn)移到距離尖端1/4處。

表1 含雙軸向表面裂紋厚壁筒有限元計(jì)算參數(shù)

圖2 含雙軸向表面裂紋厚壁筒二維有限元模型

3 厚壁筒雙軸向表面裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子影響因素分析

根據(jù)表1中的參數(shù)，結(jié)合圖1的幾何模型分別建立了 R1=50 mm，R0/R1=1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，a/(R0－ R1)=0.2，0.3，0.4，0.5，0.6 及 θ=30°，60°，90°，120°，150°，180°的含雙軸向表面裂紋受內(nèi)壓厚壁筒有限元模型，對(duì)不同情況下雙軸向表面裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的值進(jìn)行了計(jì)算。根據(jù)式(2)中形狀因子 f［θ，a/(R0－ R1)，R0/R1］，結(jié)合厚壁筒雙軸向表面裂紋不同情況下尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子有限元計(jì)算值，分別分析了θ，a/(R0－R1)及R0/R1對(duì)雙裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響及變化規(guī)律。

3.1 夾角對(duì)雙軸向表面裂紋尖端KⅠ的影響

圖3 示出了 R1=50 mm，R0/R1=1.5，1.7，a/(R0－R1)=0.2，0.4，0.6 及不同裂紋夾角情況下，受內(nèi)壓厚壁筒中雙軸向表面裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子有限元計(jì)算結(jié)果及應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋夾角θ的變化曲線。

圖3 不同 R0/R1時(shí)，KⅠ隨裂紋間夾角θ變化曲線

圖4 不同R0/R1時(shí)，KⅠ隨a/(R0－R1)變化曲線

由圖3(a)可以看出:在R1，R0/R1及a/(R0－R1)確定時(shí)，尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子隨夾角θ的增加而逐漸增大，且在夾角θ=180°時(shí)達(dá)到最大值;當(dāng)R1，R0/R1確定時(shí)，裂紋夾角θ的變化對(duì)尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響隨著a/(R0－R1)的增加而逐漸增強(qiáng)。由圖3(b)可以看出:在R1，R0/R1及a/(R0－R1)確定時(shí)，尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子隨夾角θ的增加而逐漸增大且在θ=180°時(shí)達(dá)到最大值;當(dāng)R1，R0/R1確定時(shí)，裂紋夾角θ的變化對(duì)尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響隨著a/(R0－R1)的增加而逐漸增強(qiáng)。

3.2 裂紋深度比對(duì)雙軸向表面裂紋尖端KⅠ的影響

圖4 示出 R1=50 mm，R0/R1=1.5，1.7，θ=30°，90°，150°及不同裂紋深度比情況下，受內(nèi)壓厚壁筒中雙軸向表面裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子有限元計(jì)算結(jié)果及應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋深度比a/(R0－R1)的變化曲線。

由圖4(a)可以看出:在R1，R0/R1及θ確定時(shí)，尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子隨a/(R0－R1)的增加而逐漸增大;當(dāng)R1，R0/R1確定時(shí)，裂紋深度比a/(R0－R1)的變化對(duì)尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響隨著θ的增加而逐漸增強(qiáng)。由圖4(b)同樣可以看出:在R1，R0/R1及θ確定時(shí)，尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著a/(R0－R1)的增加而逐漸增大;當(dāng) R1，R0/R1確定時(shí)，裂紋深度比a/(R0－R1)的變化對(duì)尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響隨著θ的增加而逐漸增強(qiáng)。

3.3 壁厚比對(duì)雙軸向表面裂紋尖端KⅠ的影響

圖5示出了 R1=50 mm，a/(R0－R1)=0.2，0.4，θ=30°，90°，150°及不同壁厚比情況下，受內(nèi)壓厚壁筒中雙軸向表面裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子有限元計(jì)算結(jié)果及應(yīng)力強(qiáng)度因子隨壁厚比R0/R1的變化曲線。

由圖5(a)可以看出:在 R1，a/(R0－R1)及 θ確定時(shí)，尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著R0/R1的增加而逐漸減小且趨勢(shì)逐漸減緩。由圖5(b)同樣可以看出:在R1，a/(R0－R1)及θ確定時(shí)，尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著壁厚比R0/R1的增加而逐漸減小且趨勢(shì)逐漸減緩。

圖5 不同a/(R0－R1)時(shí)，KⅠ隨R0/R1變化曲線

4 結(jié)論

(1)根據(jù)文獻(xiàn)［6］中對(duì)含任意分布裂紋平面結(jié)構(gòu)中裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子影響因素結(jié)論及文獻(xiàn)［7］含軸向表面單裂紋厚壁筒裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子公式，含雙軸向表面裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子可以由下式表示:

式中形狀因子 f［θ，a/(R0－ R1)，R0/R1］包含了雙軸向表面裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響因素。

(2)有限元計(jì)算結(jié)果表明:

1)當(dāng)厚壁筒內(nèi)徑、壁厚比及裂紋深度比確定時(shí)，雙軸向表面裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋間夾角的增加而逐漸增大，且在夾角θ=180°時(shí)達(dá)到最大;當(dāng)其他因素確定時(shí)，夾角對(duì)雙裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響隨著裂紋深度比的增加而逐漸增強(qiáng);

2)厚壁筒內(nèi)徑、壁厚比及裂紋間夾角確定時(shí)，雙軸向表面裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著裂紋深度比的增加逐漸增大，且在其他因素確定時(shí)，裂紋深度比的變化對(duì)雙裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響隨著夾角的增加逐漸增強(qiáng);

3)當(dāng)厚壁筒內(nèi)徑、裂紋深度及裂紋間夾角確定時(shí)，雙軸向表面裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著壁厚比R0/R1的增加而逐漸減小，且趨勢(shì)逐漸減緩。

(3)基于上述研究，認(rèn)為厚壁筒雙軸向表面裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的大小受裂紋間夾角θ、壁厚比R0/R1及裂紋深度比a/(R0－R1)的綜合影響，驗(yàn)證了本文提出的雙軸向表面裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子公式中形狀因子的合理性。在工程實(shí)際中可以綜合考慮上述公式中影響因素的作用，合理評(píng)價(jià)含裂紋厚壁筒結(jié)構(gòu)的安全。

［1］Pook L P.Stress Intensity Factors Expression for Regular Crack Arrays in Pressurized Thick Cylinders［J］.Fatigue Fracture Engng.Mater.Struct，1990，13(1):135－143.

［2］Perl M，Arone R.Stress Intensity Factors for Large Arrays of Radial Cracks in Thick－walled Steel Cylinders［J］.Engineering Fracture Machanics，1986，25(2):341－348.

［3］Kirkhope K J，Bell R，Kirkhope J.Stress Intensity Factor Equations for Single and Multiple Cracked Pressurized Thick － walled Cylinders［J］.International Journal of Pressure Vessels and Piping，1990，41(1):103 －111.

［4］劉永仁，李宗瑢.厚壁圓筒多裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子［J］.上海力學(xué)，1983，4(1):56 －63.

［5］署恒木.厚壁筒徑向裂紋最危險(xiǎn)分布［J］.石油化工設(shè)備，2000，29(5):12 －14.

［6］王慶豐，黃小平，崔維成.不同位置裂紋間的相互作用及其影響規(guī)律的有限元分析［J］.江蘇科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2006，20(1):16 －19.

［7］王清遠(yuǎn)，劉永杰，曾祥國(guó)，等.多裂紋相互作用下混凝土斷裂參量的有限元數(shù)值分析［J］.四川建筑科學(xué)研究，2006，32(6):73 －77.

［8］中國(guó)航空研究院.應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)［M］.北京:科學(xué)出版社，1993.

［9］Shu H M，Petit J，Bezine G.Stress Intensity Factors for Radial Cracks in Thick Walled Cylinders－Ⅰ.Symmetrical Cracks［J］.Engineering Fracture Mechanics，1994，49(4):611 －623.

［10］Shu H M，Petit J，Bezine G.Stress Intensity Factors for Radial Cracks in Thick－walled Cylinders－Ⅱ.Combination of Auto－frottage and Internal Pressure［J］.Engineering Fracture Mechanics，1994，49(4):625－629.