歐永華

(福建省仙游第一中學,福建仙游 351200)

1 問題的提出

2011年福建卷理科綜合第22題:如圖1-甲,在 x＞0(原考題如此—編者)的空間中存在沿y軸負方向的勻強電場和垂直于xOy平面向里的勻強磁場,電場強度大小為E,磁感應強度大小為 B.一質(zhì)量為 m,帶電荷量為 q(q＞0)的粒子從坐標原點O處,以初速度 v0沿x軸正方向射入,粒子的運動軌跡見圖1-甲,不計粒子的重力.

(1)求該粒子運動到y(tǒng)=h時的速度大小v;

(2)現(xiàn)只改變?nèi)肷淞Ｗ映跛俣鹊拇笮?發(fā)現(xiàn)初速度大小不同的粒子雖然運動軌跡(y-x曲線)不同,但具有相同的空間周期性,如圖1-乙所示;同時,這些粒子在y軸方向上的運動(y-t關(guān)系)是簡諧運動,且都有相同的周期 T

Ⅰ.求粒子在一個周期內(nèi),沿x軸方向前進的距離s;

Ⅱ.當入射粒子的初速度大小為 v0時,其 y-t圖像如圖1-丙所示,求該粒子在y軸方向上做簡諧運動的振幅Ay,并寫出 y-t的函數(shù)表達式.

圖1

本題第(2)問中將“這些粒子在y軸方向上的運動(y-t關(guān)系)是簡諧運動,且都有相同的周期直接陳述為已知條件并應用求解.現(xiàn)將參考答案轉(zhuǎn)錄如下.

解析:(2)Ⅰ.由圖1-乙可知,所有的求粒子在一個周期T內(nèi),沿 x軸方向前進的距離相同,即都等于恰好沿 x軸方向勻速運動的粒子在T時間內(nèi)前進的距離.設(shè)粒子恰好沿x軸方向勻速運動的速度大小為v1,則

由(1)、(2)式解得

(2)Ⅱ.設(shè)粒子在 y方向上的最大位移ym(圖1-丙曲線的最高點處),對應的粒子運動速度大小為 v2(方向沿 x軸),因為粒子在 y方向上的運動為簡諧運動,因而在 y=0和y=ym處粒子所受的合外力大小相等、方向相反,則

由動能定理有

由(3)～(5)式解得

可寫出圖1-丙曲線滿足的簡諧運動y-t函數(shù)表達式為

但是為什么帶電粒子在y軸方向上的運動一定是簡諧運動而且都有相同的周期,周期一定為呢?是否有其他的求解方法?

2 做簡諧運動及周期的證明

當帶電粒子以初速度 v0沿 x軸正方向射入時,設(shè)帶電粒子還具有圖2所示的沿 x軸方向上的兩個速度+v1和-v1(即+v1和-v1疊加的合速度為零).

圖2

圖3

首先讓帶電粒子由+v1這個速度引起的洛倫茲力正好與電場力相平衡,有

那么,帶電粒子還具有沿x軸正方向上的速度v0和負方向上的速度-v1的合速度

帶電粒子在v這個速度引起的洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動如圖 3,即

則勻速圓周運動的周期

可見帶電粒子的運動形式可以視為由沿 x軸正方向以速度v1做勻速直線運動和以速度v做勻速圓周運動的兩個分運動的合成.所以初速度大小不同的粒子雖然運動軌跡(y-x曲線)不同,但具有相同的空間周期性,周期為是與初速度 v0的大小無關(guān)的物理量.

其中帶電粒子在y軸方向上的運動(y-t關(guān)系)是由v這個速度引起的洛倫茲力作用下的勻速圓周運動在y軸方向上的投影隨時間的變化關(guān)系來表述的(如圖3),即

這正是簡諧運動的運動公式,所以粒子在y軸方向上的運動(y-t關(guān)系)是簡諧運動.

3 解題應用

第(1)問略.

第(2)問:

Ⅰ.帶電粒子的沿 x軸正方向以速度v1做勻速直線運動,且周期為則

Ⅱ.帶電粒子還具有沿 x軸正方向上的速度v0和負方向上的速度-v1的合速度

帶電粒子在v這個速度引起的洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動,即

由(7)～(11)式解得

角速度

可寫出簡諧運動的y-t的函數(shù)表達式為