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        基于核實數(shù)據(jù)的正態(tài)總體估計問題探討

        2011-07-24 09:35:18宇世航堵秀鳳張水勝
        統(tǒng)計與決策 2011年21期
        關(guān)鍵詞:正態(tài)置信區(qū)間核實

        宇世航,堵秀鳳,張水勝

        (齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院,黑龍江 齊齊哈爾 161006)

        0 引言

        關(guān)于正態(tài)總體參數(shù)的估計,在利用準(zhǔn)確數(shù)據(jù)樣本下的統(tǒng)計推斷,是非常經(jīng)典也非常完善的。然而,在許多實際問題中,準(zhǔn)確測得我們感興趣的變量Xi是很困難的,或所需成本很高,或需要花費(fèi)大量時間。因此通常的辦法是,用可觀測的替代變量來代替,這些替代變量可由一些相對簡單的方法獲得。在一般情況下與Xi之間具有很復(fù)雜的關(guān)系,例如=φ(Xi,ei),這里ei是測量誤差且與Xi獨(dú)立,φ是一個任意已知的函數(shù)。在這種情況下要對未知參數(shù)進(jìn)行有效的統(tǒng)計推斷是相當(dāng)困難的。一種解決辦法是使用一小部分核實數(shù)據(jù)撲捉變量與替代變量的關(guān)系,基于替代數(shù)據(jù)和核實樣本的推斷已經(jīng)引起國內(nèi)外學(xué)者的重視.例如。Sepanski和Lee[1]研究了基核實數(shù)據(jù)的非線性EV模型;Qihua Wang[2-5]、薛留根[6]等考慮基于替代與核實數(shù)據(jù)樣本應(yīng)用到線性和部分線性回歸模型中。本文,考慮替代與核實數(shù)據(jù)的樣本觀測下,構(gòu)造正態(tài)總體參數(shù)估計問題。

        1 參數(shù)點(diǎn)估計

        考慮總體X~N(μ,σ2),帶有測量誤差的樣本數(shù)據(jù)是獨(dú)立同分布樣本,且與小部分核實樣本相互獨(dú)立,V為小部分核實數(shù)據(jù)的下標(biāo)集,再令

        眾所周知,正態(tài)總體均值μ和方差σ2的極大似然估計為:

        顯然在替代樣本數(shù)據(jù)下,此估計可能會存在很大的誤差,下面我們利用小部分核實數(shù)據(jù)重新修改這兩個參數(shù)的估計。這里用條件數(shù)學(xué)期望作為X的估計,則:

        利用核實數(shù)據(jù),

        定理1

        Appendix A

        (A?W):W(?)有有界支撐的非負(fù)有界核函數(shù),且 ∫W(u)du=1。

        (A?EX2):EX2<∞。

        有:

        定理37]在滿足Appendix A條件下,有:

        2 參數(shù)區(qū)間估計

        在大樣本情況下,由定理3知μ的1-α置信度的置信區(qū)間為:

        設(shè)X~N(1, 1),X=1.5X+δε,其中ε~N(0, 1),取bn=n-1/4,W(?)為Un(-1,1)的密度函數(shù)。核實數(shù)據(jù)與主要樣本的大小分別取 (n,N)=(10,30),(30,90),(60,180),(10,50),(30,150),(60,300),并在δ=0.35 和δ=0.75 下分別做了5000次重復(fù)運(yùn)算,計算結(jié)果見表1和表2。

        表1 δ=0.35時均值μ的置信度為95%的置信區(qū)間

        表2 δ=0.75時均值μ的置信度為95%的置信區(qū)間

        從表中數(shù)據(jù)可見,每個置信區(qū)間均覆蓋了總體μ的真實值,λ值越大,區(qū)間長度越小,并且δ越小,區(qū)間長度越小。這種借助核實數(shù)據(jù)的置信區(qū)間,增大了其覆蓋概率和置信精度。

        [1] Sepanski.J.H,Lee L.F.Semiparametric Estimation of Monlinear Error-in-variables Models with Validation[J].Nonparametric Statist,1995,(4).

        [2] Q.H.wang.Estimation of Partial Linear Error-in-variables Model with Validation Data[J].J.Multivaiate Anal,1999,(69).

        [3] Wang Q.H.Estimation of Linear Error-in-covariable Models with Validation Data under Random Censorship[J].J Multivariate Anal.,2000,(74).

        [4] Wang Q.H.,Rao J.N.K.Empirical Likelihood-based Inference in Linear Error-itovariables Models with Validation Data[J].Bioraetrika,2002,(89).

        [5] 王啟華.核實數(shù)據(jù)幫助下誤差在反映線性模型經(jīng)驗似然降維推斷[J].中國科學(xué)A輯,2004,(5).

        [6] 薛留根.核實數(shù)據(jù)下非線性半?yún)?shù)EV模型的經(jīng)驗似然推斷[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2006,(1).

        [7] 宇世航.核實數(shù)據(jù)下均值的估計[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計,2010,(10).

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