蘇進展，方宗德，蔡香偉

(西北工業(yè)大學 機電學院，710072西安，sujinzhan@mail．nwpu．edu．cn)

三次樣條齒線圓柱齒輪齒面接觸分析

蘇進展，方宗德，蔡香偉

(西北工業(yè)大學 機電學院，710072西安，sujinzhan@mail．nwpu．edu．cn)

對三次樣條齒線圓柱齒輪滾切加工和齒面幾何接觸進行了分析．在推導修形滾刀齒面方程的基礎(chǔ)上，利用三次樣條齒線滾切原理和嚙合方程得到其齒面數(shù)學模型;根據(jù)兩齒面在嚙合中連續(xù)相切條件，建立了考慮安裝誤差的齒面接觸分析(TCA)模型．齒面接觸分析仿真結(jié)果表明，用拋物線形齒廓刀具對齒面修形，可獲得拋物線型的幾何傳動誤差，改善了嚙合性能;在安裝誤差條件下，調(diào)整控制結(jié)點位置可降低接觸印痕對安裝誤差的敏感性．

三次樣條齒線圓柱齒輪;滾切加工;齒面接觸分析;齒面修形

圓柱齒輪廣泛應用于機械傳動系統(tǒng)中．目前，許多研究工作都集中在齒廓，而對齒線的研究還比較少，主要有直線、螺旋線、拋物線［1］等．近些年來，國內(nèi)外研究學者對圓弧齒線進行了研究，證明了圓弧齒線圓柱齒輪具有綜合強度高和承載能力大的特點，在實際工程中得到了一定的應用［1－7］．圓弧齒線圓柱齒輪的嚙合性能對安裝誤差較為敏感，通過增大刀盤半徑可以降低誤差敏感性［3］，但卻減小了齒輪副的重合度，從而影響傳動的平穩(wěn)性［6］．Litvin 等［8－9］研究了各種修形方式的圓柱齒輪，以降低對安裝誤差敏感性和振動噪聲．

本文在圓弧齒線圓柱齒輪的基礎(chǔ)上，提出了三次樣條齒線圓柱齒輪，研究了滾切加工方法，對齒面嚙合進行仿真．比較分析兩種不同齒線的齒輪副，結(jié)果表明，三次樣條齒線圓柱齒輪可降低接觸印痕對安裝誤差的敏感性，提高齒輪副的承載能力．該圓柱齒輪設(shè)計和加工方法對研究其他圓柱齒輪的各種齒形、齒線及綜合拓撲修形都具有參考價值．

1 三次樣條齒線展成原理

三次樣條齒線是在圓弧齒線的基礎(chǔ)上提出的，如圖1所示．M1、M2為圓弧齒線上點，M'1、M'2為三次樣條齒線上控制結(jié)點;以點 N1、M'1、G、M'2、N2為結(jié)點，圓弧齒線端點 N1、N2處切矢(最大螺旋角)作為三次樣條齒線端點的切矢條件，構(gòu)造出如下三次樣條函數(shù):

所得三次樣條齒線是二階導數(shù)連續(xù)的光滑曲線，與圓弧齒線具有相同單一凹凸性，否則需要重新確定控制結(jié)點位置;調(diào)整M'1、M'2得到不同齒線，保證在N1、N2處螺旋角不變．本文齒線設(shè)計方法:通過調(diào)整控制結(jié)點位置，使得齒線在齒寬中點附近區(qū)域螺旋角的變化較小，達到降低接觸印痕對安裝誤差的敏感性的目的．

圖1 三次樣條齒線

圖2為六軸聯(lián)動NC(Numerical Control)滾齒機示意圖，滾刀安裝角轉(zhuǎn)動A，滾刀轉(zhuǎn)動B，工件轉(zhuǎn)動C;滾刀沿著工件徑向運動X、切向運動Y、軸向進給運動Z．如圖3所示，由三次樣條齒線上任一點的切矢和法矢相互垂直，可以得到滾刀位置lz(lz=Zd)與滾刀安裝角φe(φe=φA+β，φA為滾刀軸線與Yd夾角，β為滾刀導程角)之間的關(guān)系式為

對式(1)求導可得到滾刀沿著Zd的速度為

工件安裝角和工件轉(zhuǎn)角的關(guān)系式為

其中，φw、φB、Δφw分別為工件轉(zhuǎn)角、滾刀轉(zhuǎn)角、附加轉(zhuǎn)角(即將滾刀沿著切向方向位移ly=Y(i)d(lz)轉(zhuǎn)化到工件轉(zhuǎn)角，Δφw=ly/rw，rw為齒輪節(jié)圓半徑);Th、Tw為滾刀頭數(shù)、齒輪齒數(shù)．滾刀需要軸向運動和徑向運動而沒有切向運動，工件與滾刀的角速度之間關(guān)系式為

圖2 六軸聯(lián)動NC滾齒機示意圖

圖3 三次樣條齒線展成原理

2 滾刀齒面方程

本文采用法截面為直線型齒廓的右旋ZN型蝸桿滾刀加工三次樣條齒線圓柱齒輪，其齒面方程推導可參考文獻［ 1， 3，10 －11］．坐標系 Sc固聯(lián)在滾刀的法截面上，αn為滾刀壓力角，β為滾刀導程角，bn為節(jié)圓處齒寬，采用拋物線齒廓代替直線齒廓對滾刀法截面齒廓進行修形．從圖4可以得到刀具齒廓位置矢量為

圖5為滾刀齒面展成坐標系，Sb和Sh分別為滾刀參考坐標系和滾刀齒面動坐標系，滾刀齒面位置矢量和法向矢量為

圖4 蝸桿滾刀

圖5 滾刀齒面展成坐標系

其中，Mbc為Sc到Sb的齊次變換矩陣，Mhb為Sb到Sh的齊次變換矩陣．

3 嚙合方程

圖6為六軸聯(lián)動NC滾齒機的加工坐標系．

圖6 滾切加工坐標系

坐標系 Sh、Sr、Sw、Sd分別為滾刀動坐標系、滾刀固定坐標系、齒輪動坐標系、齒輪固定坐標系;φB、φw分別為滾刀加工轉(zhuǎn)角、齒輪轉(zhuǎn)角．滾刀安裝φA在加工過程中按照式(1)規(guī)律變化，同時沿著Zr軸向進給運動Vd和沿著Xr的徑向進給運動，以保證滾切出完整齒形．齒面的位置矢量和法向矢量為

式中，Mrh為Sh到Sr的齊次變換矩陣，Mdr為Sr到Sd的齊次變換矩陣，Lrh、Ldr分別為 Mrh、Mdr的旋轉(zhuǎn)變換矩陣．

切削過程中，滿足以下的嚙合方程:

其中，相對速度為V(wh)d=V(w)d－V(h)d．齒輪切削點P的速度為V(w)d=ww×r(w)d，ww=wwkd為齒輪轉(zhuǎn)動的角速度，r(w)d為P點的位置矢量;滾刀對應的P點的速度為

由于加工中轉(zhuǎn)角φA、φB均為獨立變量，有如下的兩個嚙合方程:

在齒輪動坐標系Sw下，齒面的位置矢量和法向矢量為

式中:Mwd為Sd到Sw的齊次變換矩陣，Lwd為Mwd的旋轉(zhuǎn)矩陣．

4 齒面接觸分析

齒輪副嚙合坐標系(圖7)中，坐標系S1、Sn分別為小輪的動坐標系、固定參考坐標系;S2、Sm分別為大輪的動坐標系、固定參考坐標系;Sk和Sv是模擬安裝誤差的輔助坐標系，其中Δγv為垂直安裝誤差，Δγk為水平安裝誤差，ΔC為中心距安裝誤差，C為齒輪副中心距，φ1、φ2分別為小輪和大輪的嚙合轉(zhuǎn)角．小輪和大輪齒面的位置矢量r1、r2和法向矢量n1、n2可分別用式(2)求得，并在固定坐標系Sn中表示為

圖7 齒輪嚙合坐標系

式中，Mni=MnkMkvMvi(i= 1，2)分別為Si到Sn的齊次變換矩陣，Lni為Mni的旋轉(zhuǎn)變換矩陣．根據(jù)小輪和大輪齒面Σ1、Σ2在小輪固定坐標系Sn中連續(xù)相切接觸條件，得到以下TCA基本方程組:

其中，l1、φ1為小輪的齒面參數(shù)，l2、φ2為大輪的齒面參數(shù)．式(3)包含6個標量方程，但由于|nn(1)|=|nn

(2)|= 1，所以只有5個獨立的標量方程，而未知量卻有6個，取φ1為輸入量，求式(3)可得到兩齒面的一個接觸點，再以固定步長改變小輪的嚙合轉(zhuǎn)角φ1值，繼續(xù)求解，直至所求出的接觸點超出兩齒面的有效邊界，從而獲得接觸跡線．定義傳動誤差定義為

式中:φ02、φ01為大小輪初始嚙合轉(zhuǎn)角，Z2、Z1為大輪齒數(shù)、小輪齒數(shù)．

5 算例

蝸桿滾刀和齒輪副設(shè)計參數(shù)如表1所示，表2、表3是兩次調(diào)整控制結(jié)點位置所得的三次樣條齒線系數(shù)，第一次調(diào)整時控制結(jié)點M'1=( 15，6.4)和M'2=(－ 15，6.4)，第二次調(diào)整時控制結(jié)點M'1=( 15，6.8)和M'2=(－ 15，6.8)．以小輪凹面和大輪凸面為研究對象，分別對修形前后齒輪副進行TCA分析，得到齒面接觸印痕和傳動誤差見圖8;圖9為2種齒輪副在同等安裝誤差條件下3種設(shè)計方案的接觸印痕．

表1 蝸桿滾刀和齒輪副設(shè)計參數(shù)

表2 三次樣條齒線系數(shù)(第一次調(diào)整)

圖8 不考慮安裝誤差接觸印痕和傳動誤差

表3 三次樣條齒線系數(shù)(第二次調(diào)整)

圖9 三種齒輪副接觸印痕

從圖8可以看出，對于未經(jīng)過修形的齒輪副，其傳動誤差為零，經(jīng)拋物線齒廓修形后，產(chǎn)生的拋物線型傳動誤差曲線可吸收由安裝誤差產(chǎn)生線性誤差［8］．傳動誤差幅值可由齒廓拋物線系數(shù)ac來確定，ac增大，傳動誤差幅值隨之增大，圖8(b)為第一次調(diào)整時接觸印痕，同時也可以看出三次樣條齒線圓柱齒輪接觸橢圓長軸較圓弧線要長．圖9為考慮安裝誤差條件為 Δγv=－ 0.12°，Δγk=0.1°，ΔC=0.05 mm的接觸印痕變化;在不同誤差誤差組合下，接觸印痕將偏離齒寬中心，至于偏向左端或者右端是由安裝誤差向量來確定的，可由TCA程序計算得到;由多種組合安裝誤差條件下齒輪副TCA仿真結(jié)果可以看出，三次樣條齒線圓柱齒輪副接觸印痕對安裝誤差敏感性較圓弧線圓柱齒輪副低(在同等安裝誤差條件偏離齒寬中心的程度小);圖9(a)為圓弧齒線圓柱齒輪副偏離齒寬中心情況，可以看出其接觸印痕偏離程度比三次樣條齒線圓柱齒輪副(圖9(b)、(c))大．從圖9(b)、(c)也可以看出:第二次調(diào)整后齒輪副的接觸印痕偏離程度較第一次的偏離程度低;通過調(diào)整控制結(jié)點得到的三次樣條齒線圓柱齒輪可降低對安裝誤差的敏感性;因此，所設(shè)計的三次樣條齒線圓柱齒輪副可產(chǎn)生拋物線形幾何傳動誤差和接觸印痕對安裝誤差敏感性低的特性，可以提高齒輪副的嚙合性能．

6 結(jié)論

1)在圓弧齒線圓柱齒輪的基礎(chǔ)上設(shè)計了三次樣條齒線圓柱齒輪，通過刀具對齒面進行拋物線修形，獲得拋物線形幾何傳動誤差．修形后的齒輪副可避免邊緣接觸及吸收由安裝誤差引起的不連續(xù)幾何傳動誤差，傳動誤差的幅值可由拋物線齒廓參數(shù)控制．

2)采用TCA方法，比較分析了兩種齒輪副接觸印痕對安裝誤差的敏感性，結(jié)果表明，三次樣條齒線齒輪副可有效降低對接觸印痕對安裝誤差敏感性．

3)可以通過不斷調(diào)整三次樣條控制結(jié)點位置來改變齒線形狀，達到優(yōu)化嚙合性能的目的．

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Contact characteristics of cylindrical gear with cubic spline tooth traces

SU Jin-zhan，F(xiàn)ANG Zong-de，CAI Xiang-wei

(School of Mechanical Engineering，Northwestern Polytechnical University，710072 Xi’an，China)

Contact characteristics and hobbing cutting of cylindrical gear with cubic spline tooth traces are investigated．On the basis of the derivation of the hobbing cutter’s tooth surface，the hobbing generated method and gearing theory，the mathematical model of cylindrical gear with cubic spline tooth trace was developed．And，the tooth contact analysis model in which the assemble errors was also considerated，was established on the conditions of continuous tangency of two contact surfaces．The computerized simulation of meshing and contact shows that the meshing characteristics of the modified gears can be improved by using the generating tool with parabolic curved profile which obtains a parabolic transmission error curve;the sensitivity of contact pattern of the cylindrical gear with cubic spline tooth traces can be reduced by adjusting the position of control nodes．

cylindrical gear with cubic spline tooth traces;hobbing cutting;tooth contact analysis;tooth modification

TH132

A

0367－6234(2011)09－0112－05

2010－05－26．

國家自然科學基金資助項目(50875211)．

蘇進展(1982—)，男，博士后;

方宗德(1948—)，男，教授，博士生導師．

(編輯 楊 波)