趙望勝 劉 澔 葉建新

在土木工程中，由于基體材料的性能不足，大量使用各種加筋材料來(lái)增強(qiáng)和改善結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。加筋結(jié)構(gòu)中加筋材料與基本材料作用方式復(fù)雜，選擇合理的有限元模型便于模擬加筋構(gòu)件布置的情況，可以很好的模擬加筋構(gòu)件與基本材料之間相互作用情況，實(shí)現(xiàn)對(duì)加筋結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力特性和動(dòng)力響應(yīng)分析。

目前，在實(shí)際過(guò)程中，總伴有不同類(lèi)型的阻尼力，產(chǎn)生這種阻尼力的因素可歸結(jié)為兩個(gè)方面:1)外部介質(zhì)的摩擦阻尼力;2)結(jié)構(gòu)內(nèi)部變形時(shí)的內(nèi)耗。由于材料結(jié)構(gòu)組成復(fù)雜，導(dǎo)致阻尼力性質(zhì)很復(fù)雜，這類(lèi)振動(dòng)力學(xué)計(jì)算尚沒(méi)有很好的解決。

1 動(dòng)力學(xué)的精細(xì)積分算法

一般而言，確定線(xiàn)性系統(tǒng)的動(dòng)力方程可寫(xiě)為:

其中，M，C，K分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣;f(t)代表激勵(lì)，假設(shè)自由度為n，將式(1)寫(xiě)成狀態(tài)方程:

對(duì)式(2)，它的解可寫(xiě)成如下形式:

對(duì)式(3)進(jìn)行數(shù)值離散，并假設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)Δt=tk+1－tk，則第k+1步時(shí)的響應(yīng)公式可寫(xiě)為:

對(duì)式(4)可作如下變形:

在式(5)中，T=exp(ΔtH)，它可用數(shù)值方法精細(xì)計(jì)算而得。為使式(5)也能直接進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，可用數(shù)值積分方法將其式中的第二項(xiàng)算出。在這里，選用格式較為簡(jiǎn)單同時(shí)精度又較高的辛普森積分法，也即:

其中，Tt=exp m(0.5ΔtH)，所以式(4)可變?yōu)?

式(7)即是計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的迭代公式。

2 模型

加筋構(gòu)件靜力學(xué)算例問(wèn)題，如圖1所示?；炷烈欢斯潭?，另一端一節(jié)點(diǎn)處受有集中力作用，混凝土的彈性模量E=2.0e10、密度 ρ=2 400 kg/m3、泊松比 v=0.3，鋼筋彈性模量 E=2.0e11、密度 ρ=9 000 kg/m3、截面面積 0.08 m2、泊松比 v=0.3。集中力F=1.0e4。

圖1 加筋結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 加筋結(jié)構(gòu)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)

圖3 無(wú)鋼筋結(jié)構(gòu)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)

圖4 無(wú)鋼筋結(jié)構(gòu)和加筋結(jié)構(gòu)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)比較

3 模型結(jié)果和分析

針對(duì)如圖1所示的模型，在這里為了表示結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)模型的準(zhǔn)確性，選取加筋結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移作為結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的初始位移，而速度假設(shè)為0?？梢岳斫鉃榧咏罱Y(jié)構(gòu)受到靜力荷載后突然釋放的自由振動(dòng)，這種情況更適合實(shí)際情況。阻尼C=1.0e－2M+2.0e－4K(M，K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣和剛度陣)。圖2，圖3是加筋結(jié)構(gòu)和不考慮加筋結(jié)構(gòu)在初始位移激勵(lì)下的無(wú)阻尼自由振動(dòng)，圖4是考慮鋼筋和不考慮鋼筋結(jié)構(gòu)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)對(duì)比示意圖。

圖5 加筋結(jié)構(gòu)的固有頻率對(duì)數(shù)曲線(xiàn)

從圖4可以看出，加了鋼筋后，結(jié)構(gòu)抵抗振動(dòng)的能力變強(qiáng)，也說(shuō)明鋼筋對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)的固有頻率有增大的作用。為了更直觀(guān)的說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，在求解出結(jié)構(gòu)(加筋和非加筋結(jié)構(gòu))的質(zhì)量陣和剛度陣之后，就可以得到其固有頻率，如圖5，圖6所示。

圖6 無(wú)筋結(jié)構(gòu)的固有頻率對(duì)數(shù)曲線(xiàn)

圖7 加筋結(jié)構(gòu)有阻尼自由振動(dòng)

表1是得到結(jié)構(gòu)的剛度陣和質(zhì)量陣后，求解出來(lái)的結(jié)構(gòu)的部分自振頻率。從表1的頻率對(duì)比可以看出，加筋結(jié)構(gòu)的自振頻率比無(wú)筋結(jié)構(gòu)的自振頻率要大，這也說(shuō)明了鋼筋對(duì)結(jié)構(gòu)有剛度貢獻(xiàn)，從而提高了結(jié)構(gòu)的自振頻率。圖7是有阻尼的自由振動(dòng)結(jié)構(gòu)的示意圖，從圖7可以看出位移有規(guī)律的逐漸衰減，這正是所期待的結(jié)果。

表1 加筋和無(wú)筋結(jié)構(gòu)的固有頻率比較

4 結(jié)語(yǔ)

狀態(tài)方程直接積分法不僅用于求解在線(xiàn)性激勵(lì)、簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，還可以求解在一般荷載作用下系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng);不僅可以用于求解線(xiàn)性系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，還可以用于求解非線(xiàn)性系統(tǒng)動(dòng)力的響應(yīng)計(jì)算，且精度高，速度快。

為有阻尼和無(wú)阻尼結(jié)構(gòu)振動(dòng)計(jì)算分析帶來(lái)極大的方便，進(jìn)而解決加筋結(jié)構(gòu)中加筋的布置，從而為提高結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析研究做出了理論計(jì)算分析價(jià)值。算例就是很好表明了加筋后結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性明顯提高。

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