劉 偉，路子赟

（江蘇技術(shù)師范學(xué)院，常州 213001）

0 引言

鎮(zhèn)定和跟蹤是控制的兩個(gè)主要方面。跟蹤控制，尤其是狀態(tài)跟蹤控制更具有十分重要的研究?jī)r(jià)值。首先，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不完全由極點(diǎn)決定，也不依賴于零點(diǎn)，但目前零點(diǎn)配置未完全解決。其次，有些情況下，系統(tǒng)參數(shù)不確定或者在運(yùn)行時(shí)有一定的飄移，都會(huì)使閉環(huán)系統(tǒng)的特性變壞，甚至不穩(wěn)定而無(wú)法工作。由一個(gè)理想模型給出希望的動(dòng)態(tài)特性，并設(shè)計(jì)狀態(tài)跟蹤器常常可以解決上述問(wèn)題。T-S模糊系統(tǒng)自提出以來(lái)就引起了國(guó)內(nèi)外控制領(lǐng)域的普遍重視，許多學(xué)者對(duì)T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，并得到了許多關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)果[1～7]。然而，這些結(jié)果大部分都是利用公共Lyapunov函數(shù)方法得到的關(guān)于T-S模糊系統(tǒng)二次穩(wěn)定的充分性條件。由于模糊系統(tǒng)本質(zhì)上是非線性系統(tǒng)，因此用單一的Lyapunov函數(shù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性必定存在著很大的保守性。針對(duì)這一問(wèn)題，最近，Tanaka等[8～10]對(duì)連續(xù)模糊系統(tǒng)提出了模糊Lyapunov函數(shù)方法，對(duì)隸屬函數(shù)的導(dǎo)數(shù)給出限制，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，文獻(xiàn)[9]給出了控制器設(shè)計(jì)方法。但文獻(xiàn)[9]中給出了控制器的設(shè)計(jì)方法不是LMI的，計(jì)算量也很大，因此在應(yīng)用上存在很大的局限性。

本文針對(duì)這一問(wèn)題，將廣義系統(tǒng)方法和模糊Lyapunov函數(shù)方法結(jié)合，既克服了單一的Lyapunov函數(shù)方法保守性較大的缺點(diǎn)，又解決了模糊Lyapunov函數(shù)方法計(jì)算量過(guò)大和難以得到LMI形式結(jié)果的問(wèn)題。給出了基于LMI的PDC控制器設(shè)計(jì)方法。而且，放松了對(duì)隸屬函數(shù)導(dǎo)數(shù)的限制條件。

1 T-S模糊系統(tǒng)

考慮如下T-S模糊系統(tǒng)

其中： 是狀態(tài)向量， 是控制輸入，Ai，Bi是維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩

系統(tǒng)（1）的自治系統(tǒng)為

為了分析系統(tǒng)（2）的穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[9]引入如下假設(shè)條件：

假設(shè)1[9]

利用如下形式模糊Lyapunov函數(shù)

引理1[9]如果存在常數(shù) ，使假設(shè)1成立，且存在矩陣 滿足下面的LMIs：

那么模糊系統(tǒng)（2）是穩(wěn)定的。

對(duì)于引理1，顯然， 越小越容易得到可行解，假設(shè)1決定了 ，而且都有限制，在此對(duì)假設(shè)1進(jìn)行了放松，給出如下假設(shè)：

假設(shè)2

利用文獻(xiàn)[11]中的廣義系統(tǒng)方法，將系統(tǒng)（1）改寫為如下模糊廣義系統(tǒng)形式。

系統(tǒng)（2）可改寫為

考慮廣義模糊Lyapunov函數(shù)

其中

利用廣義Lyapunov函數(shù)（5）給出如下定理：

定理1 如果存在常數(shù)?1, ?2, , ?r使假設(shè)2成立，且存在矩陣P1i(i＝1, 2, , r), P2, P3使下面的LMIs

成立，其中：

那么模糊系統(tǒng)（2）是穩(wěn)定的。

證明：對(duì)式（5）給出的Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)式（4），假設(shè)2和 可得

系統(tǒng)（2）的穩(wěn)定性得證。 證畢。

與式（3）中的模糊Lyapunov函數(shù)相比，式（5）給出的廣義模糊Lyapunov函數(shù)引入了松弛變量P2和P3，利用它來(lái)分析原T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所得結(jié)果LMI個(gè)數(shù)比引理1少，更重要的是P2k和Ai沒(méi)有相乘的關(guān)系，這樣可以得到基于LMI的PDC控制器設(shè)計(jì)方法。

在hi(ξ)滿足如下假設(shè)的時(shí)候，可以將定理1進(jìn)一步化簡(jiǎn)。

假設(shè)3[11]

其中vk，k＝1, 2, , r是常數(shù)。

定理2[11]如果存在常數(shù)v1, v2, , vr使假設(shè)3成立，且存在矩陣P1i，i＝1, 2, , r, P2, P3使下面的LMIs

成立，其中Q2i, Q3與定理1中相同，那么模糊系統(tǒng)（2）是穩(wěn)定的。

2 模糊系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)

以上給出了T-S模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別條件，下面將討論T-S模糊系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)方法。考慮PDC控制器

將控制器（6）代入系統(tǒng)（1）得閉環(huán)系統(tǒng)

對(duì)應(yīng)的廣義模糊系統(tǒng)為

定理 3 如果存在常數(shù)?1, ?2, …, ??，使假設(shè) 2成立，且存在矩陣P1i(i＝1, 2, …, r), P2, P3滿足下面的不等式：

其中：

那么模糊系統(tǒng)（7）是穩(wěn)定的。

證明：對(duì)式（5）給出的Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)式（8）和假設(shè)2可得

閉環(huán)系統(tǒng)（7）的穩(wěn)定性得證。證畢。

下面給出基于LMI的PDC控制器設(shè)計(jì)方法。

定理 4 如果存在常數(shù)?1, ?2, …, ?r使假設(shè) 2 成立，且存在矩陣X1i, Mi, i＝1, 2, …, r, X2滿足下面的LMIs：

其中：

證明：對(duì)式（9）取P3＝P2左右分別乘

下面，考慮模糊系統(tǒng)隸屬函數(shù)性質(zhì)，對(duì)定理4的條件進(jìn)一步放松。由這一性質(zhì)，那么可以得到如下定理：

其中：

那么模糊系統(tǒng)（7）是穩(wěn)定的，且

3 例子

通過(guò)這個(gè)例子來(lái)證明本文給出方法的有效性。關(guān)系式如下：

其中：

將K11, K21代入原系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)的起始狀態(tài)為[0.5 -1]T時(shí)的狀態(tài)響應(yīng)如圖1所示。

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)

4 結(jié)論

本文應(yīng)用廣義模糊Lyapunov方法研究了T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。即克服了單一Lyapunov函數(shù)方法保守性較大的缺點(diǎn)，又解決了模糊Lyapunov函數(shù)方法計(jì)算量較大和難以得到LMI形式結(jié)果的問(wèn)題。最后的例子驗(yàn)證了方法的優(yōu)越性和有效性。

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