張 珂,張劍云

(電子工程學(xué)院 305教研室,安徽 合肥230037)

DOA估計(jì)[1]中的MUSIC算法具有分辨力高、性能穩(wěn)定以及精度高的特點(diǎn)，但是計(jì)算量較大[2]。其計(jì)算量主要由三部分構(gòu)成：(1)利用多次快拍數(shù)據(jù)構(gòu)成自相關(guān)陣R；(2)對(duì)R進(jìn)行特征分解；(3)進(jìn)行空域搜索。其中第三部分的計(jì)算量直接由空域搜索的范圍與搜索精度決定，如果能設(shè)法縮小搜索范圍就可以減小計(jì)算量。參考文獻(xiàn)[3]提出了在FFT粗估計(jì)DOA的基礎(chǔ)上進(jìn)行局域空間譜峰搜索的方法，即如果空間FFT得出的入射角測(cè)量值為， 則后續(xù)MUSIC法的搜索范圍就是參考文獻(xiàn) [4]提出了利用FFT多波束算法對(duì)信號(hào)預(yù)處理，將MUSIC的搜索范圍由整個(gè)空域劃分到一系列小的區(qū)域中進(jìn)行。兩種方法都涉及利用空間FFT縮小MUSIC的搜索范圍,前者確定搜索范圍的方法過于簡(jiǎn)單，缺少必要的推導(dǎo)與分析，不適應(yīng)均勻線陣角度分辨力的分布特點(diǎn)；后者的多波束理論并未明確給出一種快速確定元均勻線陣空域劃分的有效方法。

本文在深入分析空間FFT的基礎(chǔ)上，對(duì)其空間頻率輸出項(xiàng)的排序進(jìn)行了修改，使各輸出項(xiàng)對(duì)應(yīng)的空域角度更符合人的思維習(xí)慣；提出了空域分割的概念，利用L點(diǎn)空間FFT的空間頻率輸出項(xiàng)中只有L項(xiàng)這一特點(diǎn),將-90°～+90°的空域分割成不均勻的 L個(gè)角度范圍；定義了入射角測(cè)量值對(duì)應(yīng)的最小模糊范圍SCHimin,并進(jìn)一步提出了用于確定模糊范圍的相鄰值平均法。此方法適合均勻線陣角度分辨力的分布特點(diǎn)，容易實(shí)現(xiàn)且計(jì)算量較小。在實(shí)際應(yīng)用中可將對(duì)應(yīng)的SCH作為后續(xù)MUSIC法的搜索范圍，也就是本文所提出的DS-MUSIC法。理論研究和仿真實(shí)驗(yàn)均表明，在陣元數(shù)一定的情況下，該算法可得到比空間FFT算法更高的分辨率以及比MUSIC算法更快的速度。在信源數(shù)已知時(shí)，其估計(jì)性能要優(yōu)于經(jīng)典MUSIC算法。

1 空間FFT

對(duì)于有限長(zhǎng)時(shí)域離散信號(hào)的離散傅里葉變換(DFT)或FFT而言，如果輸入序列的樣點(diǎn)數(shù)為L(zhǎng)，則輸出序列的頻率點(diǎn)數(shù)也是L。若采樣頻率為fs，這L個(gè)輸出項(xiàng)對(duì)應(yīng)的頻率[5]為：

也就是說，L點(diǎn)DFT的結(jié)果只能顯示L個(gè)頻率點(diǎn)處的振幅與相位，其余頻率處不能直接顯示，但可以通過輸出的L個(gè)頻率點(diǎn)去估計(jì)或分析。將此理論運(yùn)用到空間FFT[6]中。L元均勻線陣(不妨假設(shè)L為偶數(shù))，陣元間距為 d，p個(gè)波長(zhǎng)為 λ的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào) si(i=0,1,2,…,p)入射到該陣列，入射方向與陣列法線夾角定義為入射角度φi(i=0,1,2,…,p)，則 t時(shí)刻第 k個(gè)陣元接收到的信號(hào) yk(t)(k=0,1,…,L-1)可以用矢量形式表示為：

(2)式中 n(t)為陣列的 L維高斯白噪聲數(shù)據(jù)矢量，A為空間陣列的L×P維流型矩陣，且

對(duì) t時(shí)刻一次快拍的數(shù)據(jù) yk(t)(k=0,2,…,L-1)進(jìn)行FFT變換：

對(duì) Y0(i)重新排序：當(dāng) i=0,1,…,L/2-1時(shí)，Y(i)=Y0(i)；當(dāng) i=L/2,L/2+1,…,L-1 時(shí)，Y(i-L)=Y0(i)

Y(i)為重新排序后的空間FFT的輸出項(xiàng)，即空間頻率，共有 L項(xiàng)，其中 i=-L/2,-L/2+1,…,L/2-1。

第i個(gè)輸出項(xiàng)Y(i)所對(duì)應(yīng)的入射角度為：

注意式(5)重新排序后的 Y(i)與式(6)中 i的取值是i=-L/2,-L/2+1,…,L/2-1，而不是經(jīng)典 FFT(即式(1))中的 i=0,1,2,…,L-1。

這樣處理的目的是為了使第i個(gè)輸出項(xiàng)Y(i)所對(duì)應(yīng)的入射角度可以在-90°～90°的角度范圍中從小到大依次取值，否則取值次序?qū)⒉环先说乃季S習(xí)慣，最兩側(cè)的角度將由最中間的兩個(gè)相鄰Y(i)所 對(duì) 應(yīng)[4]。

2 空域分割理論

2.1 空間FFT測(cè)量值與實(shí)際值的關(guān)系

從式(5)與式(6)可得：空間 FFT的結(jié)果只能顯示 L個(gè)方位角處的振幅與相位，其余方位不能直接顯示，但可以通過輸出的L個(gè)方位點(diǎn)去估計(jì)或分析。

圖1顯示了當(dāng)陣元數(shù)為16，SNR=10 dB，只有一個(gè)信源，DOA為 φ，陣元間距與信號(hào)波長(zhǎng)之比 d/λ=0.5，φ=20°時(shí)采用一次快拍FFT的輸出結(jié)果，Y(3)的振幅最大，根據(jù)式(6)，其對(duì)應(yīng)的入射角估計(jì)值=22.02°。

圖1 φ=20°的空間 FFT輸出結(jié)果

若以空間FFT輸出項(xiàng)中最大值Ymax對(duì)應(yīng)的入射角度作為估計(jì)值，圖2顯示了實(shí)際入射角度φ在[-90°～+90°]范圍內(nèi)取值時(shí)估計(jì)值與其對(duì)應(yīng)的關(guān)系(根據(jù)式(6)，無法取到 90°，這樣做圖只是為了保持圖形的對(duì)稱型)。如圖2 所示，不計(jì)±90°，共有 15 種可能的取值，隨著φ從小到大取值，的曲線呈階梯狀變化，這樣的“階梯”共有15級(jí)，分別代表了的15種可能的取值。階梯的寬度與高度的變化趨勢(shì)是：越接近0°越小，即角度分辨力越高；越遠(yuǎn)離0°越大，即角度分辨力越低，反映了均勻線陣的分辨力隨空域的分布。

圖2 φ的對(duì)應(yīng)關(guān)系曲線圖

2.2 L點(diǎn)空間FFT的空域分割

表1給出了16陣元均勻線陣,信噪比為10 dB，單信源時(shí)，計(jì)算出的信號(hào)到達(dá)角的實(shí)際值φ與估計(jì)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系。可以看出，除±90°以外，可能的取值只有 15種。圖3將這種對(duì)應(yīng)關(guān)系圖形化，其中，16點(diǎn)的空間FFT將-90°～90°的空域分割成不均勻的 16個(gè)角度范圍(不計(jì)最接近90°的部分)，當(dāng)φ來自其中之一時(shí)，例如φ∈(3.59°～10.81°),根據(jù)空間 FFT 得出的測(cè)量值一定也只能為 7.18°。

表1 16點(diǎn)空間 FFT中φ與的對(duì)應(yīng)關(guān)系 (°)

表1 16點(diǎn)空間 FFT中φ與的對(duì)應(yīng)關(guān)系 (°)

φ -69.64～-54.35 -54.35～-43.44 -43.44～-34.23 -61.05 -48.59 -38.68 φ -34.23～-25.95 -25.95～-18.22 -18.22～-10.81 -30 -22.02 -14.48 φ -10.81～-3.59 -3.59～3.59 3.59～10.81 -7.18 0 7.18 φ 10.81～18.22 18.22～25.95 25.95～34.23 14.48 22.02 30 φ 34.23～43.44 43.44～54.35 54.35～69.64 38.68 48.59 61.05

圖3 16點(diǎn)空間FFT空域分割圖

也就是說,當(dāng)陣元數(shù)L確定后，空間FFT法的測(cè)量值除±90°以外可能的L-1種取值也隨之確定(假設(shè)L為偶數(shù))，根據(jù)式(6)，第i個(gè)空間頻率輸出項(xiàng)對(duì)應(yīng)的測(cè)量值為i， 空間 FFT 將-90°～+90°的空域所分割成 L 個(gè)角度范圍也就隨之確定。

2.3 測(cè)量值對(duì)應(yīng)的模糊范圍

當(dāng)φi=φimin時(shí)，Y(i)=Y(i-1)=Ymax；當(dāng) φ=φimax時(shí)，Y(i)=Y(i+1)=Ymax。即：如果信號(hào)恰好來自最小模糊范圍的邊界值，則空間FFT的輸出項(xiàng)中將出現(xiàn)相鄰兩個(gè)相同的最大值。

考慮到 φimin、φimax需要通過大量的計(jì)算才能確定，且當(dāng)φi恰好為SCHimin的上下界時(shí)測(cè)量值可能隨機(jī)出現(xiàn)相鄰兩i之一，因此實(shí)際選擇模糊范圍SCH時(shí)應(yīng)使相鄰i對(duì)應(yīng)的SCHi互相有所交疊，在這里提出一種可以快速簡(jiǎn)便確定SCH的方法——相鄰值平均法。

表2 i 對(duì)應(yīng)的 SCHimin 與 SCHi (°)

表2 i 對(duì)應(yīng)的 SCHimin 與 SCHi (°)

i -61.05 -48.59 -38.68 SCHimin -69.64～-54.35 -54.35～-43.44 -43.44～-34.23 SCHi -76～-54 -55～-43 -44～-34 i -30 -22.02 -14.48 SCHimin -34.23～-25.95 -25.95～-18.22 -18.22～-10.81 SCHi -35～-26 -27～-18 -19～-10 i -7.18 0 7.18 SCHimin -10.81～-3.59 -3.59～3.59 3.59～10.81 SCHi -11～-3 -4～4 3～11 i 14.48 22.02 30 SCHimin 10.81～18.22 18.22～25.95 25.95～34.23 SCHi 10～19 18～27 26～35 i 38.68 48.59 61.05 SCHimin 34.23～43.44 43.44～54.35 54.35～69.64 SCHi 34～44 43～55 54～76

3 空域分割—MUSIC算法

3.1 算法實(shí)現(xiàn)步驟

(1)當(dāng)陣元數(shù)L確定后，空間FFT法的測(cè)量值可能的 L-1種取值i(i=-L/2+1,…,L/2-1)可由 式(6)確 定 ，并且能夠由式(7)得到各i對(duì)應(yīng)的模糊范圍 SCHi；

(2)在信源數(shù)M確定的情況下對(duì)于一次快拍數(shù)據(jù)yk(t)(k=0,2,…,L-1)根據(jù)式(5)與式(6)進(jìn)行計(jì)算，以空間FFT輸出項(xiàng)中最大的M項(xiàng)對(duì)應(yīng)的M個(gè)入射角度作為估計(jì)值。為提高空間FFT的估計(jì)性能，可對(duì)N次快拍的N組數(shù)據(jù)做自相關(guān)陣平滑 FFT法(SSS-FFT)[7]，以得到更準(zhǔn)確更穩(wěn)定的估計(jì)結(jié)果；

(4)將SCH作為MUSIC法的搜索范圍進(jìn)行搜索。

3.2 算法復(fù)雜度分析

為比較經(jīng)典MUSIC法與DS-MUSIC法的算法復(fù)雜度，需要比較空間FFT運(yùn)算所帶來的運(yùn)算量增加與MUSIC算法譜峰搜索運(yùn)算量減少之間的關(guān)系[4]。以一個(gè)信源的情況為例，對(duì)于16陣元均勻線陣N次快拍，空域搜索精度為 1°，如果采用 DS-MUSIC法，搜索范圍將由經(jīng)典 MUSIC 法的[-90°～90°]大大縮小，根據(jù)表2，最多只需在[54°～76°]范圍內(nèi)搜索，搜索點(diǎn)數(shù)由 181降至 23，對(duì)應(yīng)減小的計(jì)算量[4]為：(181-23)(162+16)=37 920。由于MUSIC算法已經(jīng)進(jìn)行了自相關(guān)陣的運(yùn)算，所以同等條件下進(jìn)行SSS-FFT的運(yùn)算量[7]近似為：因此DS-MUSIC法相比經(jīng)典MUSIC法在計(jì)算量上要減少37 920-512=37 408，直觀地說就是：前者由于空間 FFT而增加的計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不上空域分割帶來的搜索范圍縮小而減少的計(jì)算量多。

4 仿真分析

仿真條件如下:兩個(gè)信源分別從 30°與-30°入射到間距為λ/2的均勻線陣，陣元數(shù)為16，快拍數(shù)為100。圖4給出了經(jīng)典MUSIC法與DS-MUSIC法在SNR=-5 dB時(shí)空間譜曲線的比較。如圖4所示，經(jīng)典MUSIC的空域搜索范圍為[-90°～90°],而 DS-MUSIC 只需在=30°所對(duì)應(yīng)的 SCH=[26°,35°]與=-30°所對(duì)應(yīng)的SCH=[-35°,-26°]范圍內(nèi)搜索。

圖4 經(jīng)典MUSIC與DS—MUSIC的譜曲線

同等條件下,圖5給出了兩種算法在SNR∈[-10 dB,20 dB]時(shí)DOA成功概率的比較。如圖5所示,當(dāng) SNR≥-10 dB時(shí),兩種算法的成功概率幾乎相當(dāng)；當(dāng)SNR＜-10 dB時(shí)，DS-MUSIC的估計(jì)性能要優(yōu)于經(jīng)典MUSIC，這是因?yàn)榍罢呤褂肧SS-FFT算法進(jìn)行空域分割，該算法的抗噪聲性能遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于參考文獻(xiàn)[4]使用的單次快拍 FFT[7]，為后續(xù)MUSIC的空域搜索限定了一個(gè)較為準(zhǔn)確的模糊范圍SCH,使得其余范圍可能出現(xiàn)的偽峰不會(huì)影響算法性能。因此DS-MUSIC算法的性能要優(yōu)于參考文獻(xiàn)[4]提出的多波束-MUSIC算法，在處理信源數(shù)已知的DOA估計(jì)時(shí)要優(yōu)于經(jīng)典MUSIC算法。

圖5 經(jīng)典MUSIC與DS—MUSIC的成功概率

理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)表明，相對(duì)于經(jīng)典MUSIC，在同樣精度的情況下，該算法由于縮小了譜峰搜索范圍而降低了運(yùn)算量；同時(shí)由于采用SSS-FFT算法為后續(xù)MUSIC的空域搜索限定了一個(gè)較為準(zhǔn)確的模糊范圍而提高了抗噪聲性能。此方法可以在較短的時(shí)間內(nèi)獲得良好的DOA估計(jì)值，從而為工程應(yīng)用提供了一種性能良好的快速DOA估計(jì)算法。

[1]PUSKA H,SAARN ISAARIH,INATTIJ.Serial search code acquisition using an art antennas with single correlator or Matched Filter[J].IEEE Trans.on Communications,2008,56(2):299-307.

[2]YANG L,ATTAUAH S,MATHEW G.Stable noise subspace estimation algorithm suitable for vlsi implementation[C].IEEE Workshop on Signal Processing System,2007:579-583

[3]齊崇英,張永順,張明智.信號(hào)到達(dá)角的快速估計(jì)算法研究[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2004,26(10):1364-1366.

[4]計(jì)征宇,楊向華.基于FFT與 MUSIC的改進(jìn)DOA估計(jì)算法[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào),2010,22(2):487-490.

[5](美)Richard G.Lyons著.數(shù)字信號(hào)處理(第二版)[M].朱光明,等譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006:31-33.

[6]于紅旗,劉劍，黃知濤，等.空間頻率在窄帶DOA估計(jì)中的應(yīng)用[J].電子信息對(duì)抗技術(shù),2007，22(2):27-31.

[7]張珂,張劍云.一種新穎的快速 DOA算法[J].航天電子對(duì)抗,2010，26(5):50-53.