劉豐年，李 娜，果 鑫，張文平，徐 勇，張 笛

（湖南工業(yè)大學 計算機與通信學院，湖南 株洲 412007）

0 引言

光纖布拉格光柵（fiber Bragg grating，F(xiàn)BG）是一種利用光敏光纖的光致折射率沿光纖軸向周期性變化的光纖波導。FBG獨特的窄帶濾波特性，及其易于同光纖系統(tǒng)集成的優(yōu)勢，使其成為目前最有發(fā)展前途、最具代表性和發(fā)展最為迅速的光纖元件，在光纖通信、光纖傳感和光信息處理等領域得到了廣泛應用[1]。在光纖光柵的研制中，想要達到理想的光纖光柵應用效果，需要對決定光纖光柵反射性能的調制參數(shù)進行計算，獲取合適的參數(shù)才能得到理想的光纖光柵。因此，合適的參數(shù)設計對于制成擁有特定反射光譜的光纖光柵，具有重要的指導意義，對FBG基本原理及重構的分析和研究也更是廣受關注。

為實現(xiàn)光纖光柵制作的理論指導，首先需掌握光柵光譜特性分析，在此基礎上，還需研究實現(xiàn)光柵光譜重構的算法。因光譜分析較復雜且計算量龐大，目前基于耦合模理論的分段均勻傳輸矩陣法是較方便實用且常用的分析方法，其優(yōu)勢在于能對每小段光柵進行單獨的參數(shù)設置，靈活性高，運算速度快，可快速計算具有105個周期的厘米級長度光纖光柵。光纖光柵重構即基于耦合模理論，通過某種算法計算出能夠產生某種反射光譜及時延特性的光柵結構信息——耦合系數(shù)、反射率、折射率調制方式等。相對于根據(jù)光纖光柵的長度、周期、折射率調制方式來分析計算其反射譜而言，光纖光柵的重構又被稱為光纖光柵的逆問題、耦合模逆問題[4]。

1 光纖Bragg光柵

從基本光學特性來看，F(xiàn)BG即是一個以其反射波長（亦稱布拉格波長）為中心波長的窄帶光學濾波器。其光學原理圖如圖1所示。

圖1 光纖布拉格光柵的光學原理圖Fig.1Schematic diagram of FBG based on optical theory

光纖光柵的布喇格波長λB取決于光纖纖芯的有效折射率neff和光柵周期Λ，即

FBG是利用光敏光纖的光致折射率變化，把光纖放置于紫外光形成的空間干涉場中曝光而在纖芯內形成的空間相位光柵。通常在光柵長度為L的小段光纖內寫入周期為Λ的光柵前，纖芯芯區(qū)折射率為n1，寫入后，芯區(qū)的折射率發(fā)生周期性的變化，下面給出有效折射率neff及其變化Δneff的關系，即

式中：Λ為光柵周期，即折射率周期；

當前眾多的光柵寫入技術，其光柵區(qū)域的折射率調制表示形式較復雜，但對通常采用相位掩模技術寫入的FBG來說，其光致折射率的變化可簡單表示為

式中ΔnDC和ΔnAC分別表示光柵折射率的直流調制幅度和交流調制幅度。

理想折射率調制情況下，條紋可見度V=l，即ΔnDC=ΔnAC。FBG屬均勻光柵，其折射率分布如圖2所示。從圖中可見不變，=0，則FBG的折射率可寫為

圖2 FBG折射率分布圖Fig.2The profile of FBG's refractive index

2 傳輸矩陣法分析FBG

運用分段均勻的傳輸矩陣法，將FBG分為無數(shù)個均勻光柵段，每個均勻光柵段由一個2×2矩陣進行描述，將無數(shù)個矩陣相乘，就得到描述完整光柵光譜特性的傳輸矩陣。對于均勻光柵，耦合模方程存在解析解，可給出其正反向光波通過光纖光柵前后光場間的關系，即

式中：R(z)為沿z軸正向傳播的光波振幅；

S(z)為沿z軸反向傳播的光波振幅；

q為耦合系數(shù)。

用矩陣形式描述正反向光波的光場為

式（8）等號右端的2×2矩陣即稱為光柵傳輸矩陣。

采用均勻分段描述法，F(xiàn)BG可被分解為無數(shù)個均勻光柵段，每一段光柵的結束是另一段光柵的開始，利用式（8）對每一光柵段的正反向光場進行描述，若Fj（j=1, 2, …, ∞）表示任意一小段均勻光柵的傳輸矩陣[2]，即

那么，整個光柵的傳輸矩陣可用F表示為

對于整個折射率均勻的調制光柵，其入射波R和反射波S（見圖3）之間的關系為[7]

式（11）中，對初始條件進行分析，由于在光纖光柵的起始端，前向傳輸波還沒有與后向反射波發(fā)生耦合，所以必有

圖3 光柵傳輸矩陣模型Fig.3Fiber grating transfer matrix model

3 剝層算法重構FBG

剝層（layer-peeling，LP）算法是一種基于因果規(guī)律的算法[6]。將長度為L的光柵分成足夠多的N段，每一段長度為l，且周期均勻，同時，將每一段光柵看作一個反射系數(shù)為j(j=1, 2, …, N)的復反射器，耦合系數(shù)也被離散化為qj，光纖光柵就成為由多個復反射器級聯(lián)而形成的因果系統(tǒng)，相當于上述傳輸矩陣分析法的離散分析系統(tǒng)，然后通過逐層遞歸計算光纖光柵的耦合系數(shù)，從而計算出光柵的折射率調制分布參數(shù)。

對反射率r進行歸一化計算，可得其反射系數(shù) 。據(jù)剝層算法分析原理可知反射率的歸一化振幅——反射系數(shù)可表示為，所以，光纖光柵的反射率可表示為

根據(jù)光柵耦合理論，反射系數(shù)與耦合系數(shù)的關系可表示為

同時，耦合系數(shù)與折射率調制的關系為

根據(jù)式（14）可計算耦合系數(shù)，由式（15）中q(z)的幅值即可求出光柵的折射率交流調制幅度ΔnAC(z)。

剝層算法重構FBG的具體實現(xiàn)步驟如下：根據(jù)因果系統(tǒng)的特性，光波在進入光柵前，第1層反射器的耦合系數(shù)q1僅由光波到達該層時的響應決定，從而獲得第1段光柵的傳輸矩陣；據(jù)傳輸矩陣法，隨著光波的傳輸，耦合效應傳遞到下一層，故當光波傳輸?shù)降?層反射器時，只要基于因果效應剝離第1層反射器的耦合效應，就可以計算出第2層反射器的耦合系數(shù)q2；重復上述步驟逐層計算，就可得到每層反射器的耦合系數(shù)qj，然后，根據(jù)耦合系數(shù)qj的幅值求出光纖光柵折射率的調制規(guī)律，從而實現(xiàn)光纖光柵重構。

本文在理論研究的基礎上，利用Matlab軟件仿真一個目標帶寬為1 nm、中心波長為1 550 nm的光柵反射光譜，仿真結果見圖4。對比可知重構光柵的反射譜與目標反射譜的譜形基本一致，兩者的反射率相差不到1.5%。

圖4 光纖光柵的目標反射譜和重構反射譜Fig.4The reflection spectrum for the target and the reconstructed fiber Bragg grating

根據(jù)剝層算法計算得到目標FBG的耦合系數(shù)，圖5所示為耦合系數(shù)的實數(shù)部分。利用耦合系數(shù)與折射率之間的關系，進而得到光柵的折射率調制幅度ΔnAC(z)的分布，如圖6所示。由此可得Bragg光柵的折射率調制方式，同時計算了重構光柵反射譜的群時延，結果見圖7。

圖5 重構的光柵耦合系數(shù)Fig.5The coupling coefficient for reconstructed grating

圖6 重構光柵的折射率調制分布Fig.6Refractive index modulation of reconstructed grating

圖7 重構光柵的反射譜群延遲Fig.7The reflection spectrum of group delay for the reconstructed gratings

從圖7中可看出：重構光柵的整個入射譜中最大的群延遲小于0.51 ps，相對于以往的計算結果[8]，其精度有了較大提高，且反射帶寬區(qū)域內的群時延明顯小于透射譜的群時延。根據(jù)剝層算法重構的FBG，反射出的光譜效果與目標光譜基本吻合，因此，剝層算法可以較好地指導能反射出目標光譜的FBG制作。

4 結語

本文從光纖光柵折射率調制原理入手，分析了FBG光柵的特性，利用傳輸矩陣法對FBG光譜進行分析，選擇合適的切趾函數(shù)，對FBG重構原理進行了推導和詳細闡述，并利用剝層算法實現(xiàn)了光柵的重構，達到了較理想的光柵反射要求。

[1]唐 利，彭擁軍.光纖布拉格光柵非線性傳輸特性的數(shù)值研究[J].應用光學，2011, 32(2) ：308-316.Tang Li, Peng Yongjun.Numerical Simulation on Nonlinear Transmissive Characteristics of Fiber Bragg Grating[J].Journal of Applied Optics，2011, 32(2) ：308-316.

[2]Turan Erdogan.Fiber Grating Spectra[J].Journal of Lightwave Technology，1997(8) ：1277-1294.

[3]Feced Ricardo, Zervas Michalis N, Muriel Miguel A.An Efficient Inverse Scattering Algorithm for the Design of Nonuniform Fiber Bragg Grating[J].IEEE Journal of Quantum Electronics, 1999, 35(8)：1105-1115.

[4]黃 銳，周贏武，方祖捷.遺傳算法及其在光纖光柵逆運算中的實現(xiàn)[J].光子學報，2002，31(增刊2)：79-86.Huang Rui, Zhou Yingwu, Fang Zujie.A Genetic Algorithm for the Synthesis of Fiber Bragg Grating[J].Acta Photonica Sinica, 2002，31(S2)：79-86.

[5]Belai O V, Frumin L L, Podivilov E V, et al.Finite Bragg Grating Synthesis by Numerical Solution of Hermitian Gel’fand-Levitan-Marchenko Equations[J].Optical Society of America, 2006(23)：2040-2045.

[6]Skaar Johannes, Wang Ligang, Erdogan Turan.On the Synthesis of Fiber Bragg Gratings by Layer Peeling[J].IEEE Journal of Quantum Electronics, 2001, 37(2)：165-173.

[7]劉長軍，張偉剛，姜 萌，等.光纖布拉格光柵自致啁啾效應的研究[J].光學學報，2008, 28(9)：1671-1674.Liu Changjun, Zhang Weigang, Jiang Meng, et al.Study on Self-Induced Chirping for Fiber Bragg Grating[J].Acta Optica Sinica, 2008, 28(9)：1671-1674.

[8]黃力群，王 里，王 智，等.L波段摻鉺光纖放大器的增益平坦濾波器設計[J].中國激光，2004, 31(7)：829-832.Huang Liqun, Wang Li, Wang Zhi, et al.Design on Gain-Flattening Filters of L-Band EDFAs[J].Chinese Journal of Lasers, 2004, 31(7) ：829-832.